Методы оптимальных решений

Федеральное государственное образовательное бюджетное

учреждение высшего профессионального образования 
«ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ»

(Владимирский филиал)

 

 

Кафедра «Математика и информатика»

 

 

Методы оптимальных решений

 

Контрольная работа №1

 

 Вариант 9

 

 

 

 

 

                                                                   

 

 

                                                     Выполнил студент:

                                                     Направление подготовки: Бакалавр экономики

        Профиль:

                                         номер зачетной книжки:

                                                      Руководитель:

 

 

 

 

 

 

 

Владимир 2015

 

                                                     План

 

Задание 1. Изложить теоретический материал по вопросу Вашего варианта. Проиллюстрировать теоретические положения числовыми примерами………………………………………………………………………….3

 

Задание 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществить проверку правильности решения с помощью средств MS Excel (надстройки Поиск решения)……………………………………………………..7

 

Задание 3. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий………………………………………………….11

         

 Список использованной литературы……………….………………………14

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

         Задание 1. Изложить теоретический материал по вопросу Вашего варианта. Проиллюстрировать теоретические положения числовыми примерами.

     

         Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло).

Метод Монте-Карло можно определить как метод моделирования случайной величины с целью вычисления характеристик их распределений. Это численный метод решения математических задач при помощи моделирования случайных величин.

Задача метода Монте-Карло после получения ряда реализаций интересующей нас случайной величины заключается в получении некоторых сведений о ее распределении, т.е. является типичной задачей математической статистики.

Итак, сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину X, математическое ожидание которой равно а:

М(Х)=A.

Практически же поступают так: производят N испытаний, в результате которых получают N возможных значений X, вычисляют их среднее арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного значения) A’ искомого числа A.

Как правило, составляется программа для осуществления одного случайного испытания. Погрешность вычислений, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная.

Это значит, что N должно быть велико, поэтому метод существенно опирается на возможности ЭВМ. Ясно, что добиться таким путем высокой точности невозможно. Это один из недостатков метода. Во многих задачах удается значительно увеличить точность, выбрав способ расчета, которому соответствует значительно меньшее D.

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину X, как найти ее возможные значения.

Отыскание возможных значений случайной величины Х (моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».

Метод Монте-Карло позволяет моделировать любой процесс, на протекание которого влияют случайные факторы. Для многих математических задач, не связанных с какими-либо случайностями, можно искусственно придумать вероятностную модель, которая в некоторых случаях является более выгодной.

В отличие от аналитических методов, ищущих решение в виде ряда по собственным функциям, методы Монте-Карло ищут решения в виде статистических сумм. Для их применения достаточно описания вероятностного процесса и не обязательна его формулировка в виде интегрального уравнения; оценка погрешности чрезвычайно проста, их точность слабо зависит от размерности пространства.

Главный недостаток метода Монте-Карло заключается в том, что, являясь в основном численным методом, он не может заменить аналитические методы при расчете существенно новых явлений, где, прежде всего, нужно раскрытие качественных закономерностей.

Преимущество метода Монте-Карло состоит в том, что он способен “сработать” там, где отказывают другие методы.

Аналитические методы исследования позволяют существенно уменьшить погрешность метода Монте-Карло и могут поднять его до уровня получения качественных закономерностей. Синтез аналитических и статистических методов может свести D к очень малой величине, следовательно, уменьшить погрешность.

 

Простейший пример использования метода Монте-Карло

Предположим, что нам нужно определить площадь плоской фигуры, расположенной внутри единичного квадрата, т.е. квадрата, сторона которого равна единице (рис. 1). Выберем внутри квадрата наугад N точек. Обозначим через M количество точек, попавших при этом внутрь фигуры. Тогда площадь фигуры приближенно равна отношению . Отсюда, чем больше N, тем больше точность такой оценки.

 

 

Рисунок 1. Площадь фигуры приближенно равна, отношению числа точек попавших в фигуру ко всему числу точек.

В отличие от аналитических методов, ищущих решение в виде ряда по собственным функциям, методы Монте-Карло ищут решения в виде статистических сумм. Для их применения достаточно описания вероятностного процесса и не обязательна его формулировка в виде интегрального уравнения; оценка погрешности чрезвычайно проста, их точность слабо зависит от размерности пространства. В этом я убедился, проведя опыты для решения двух простых задач. Результаты опытов показали свою точность, поэтому с помощью метода Монте-Карло решаются многие сложные задачи, которые очень сложно или не возможно решить другими методами.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации. Осуществить проверку правильности решения с помощью средств MS Excel (надстройки Поиск решения).

    

При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма расхода ресурсов на производство единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице

 

Ресурсы	Норма затрат ресурсов на товары		Общее количество ресурсов
	1-го вида	2-го вида
1 2 3 4	2 1 4 0	2 2 0 4	12 8 16 12

 

Прибыль от реализации одной единицы продукции первого вида составляет 2 ден. ед., второго вида – 3 ден. ед.

Задача состоит в формировании производственной программы выпуска продукции,  обеспечивающей максимальную прибыль от ее реализации.

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

 

Решение:

Экономико-математическая модель задачи

Переменные:   Пусть  xi – количество  единиц продукции  i-го вида, где i = 1,2.

Целевая функция:

 

f(

) = 2x1 + 3x2 → max.

 

 

 

 

Ограничения:

2x1 + 2x2  ≤ 12,

                                                 x1 + 2x2  ≤ 8,

4x1 + 0x2  ≤ 16,

0x1 + 4x2  ≤ 12.

x1 ≥ 0

x2  ≥ 0

Первое ограничение (по 1-му виду ресурсов) имеет вид 2x1 + 2x2  ≤ 12. Найдем пересечение с осями координат. Прямая 2x1 + 2x2  = 12 проходит через точки (0; 6) и (6; 0). Второе ограничение (по 2-му виду ресурсов) имеет вид x1 + 2x2  ≤ 8. Прямая x1 + 2x2  = 8 проходит через точки (0; 4) и (8; 0). Третье ограничение имеет вид 4x1 + 0x2  ≤ 16. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая левее прямой x1 = 4. Четвертое ограничение имеет вид 0x1 + 4x2  ≤ 12. Решением этого неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой x2 = 3.

Пересечение графиков дает область допустимых решений задачи (см. Рис. 2.1).

Найдем координаты пересечения графиков

                                           2x1 + 2x2  = 12,

                                           4x1 = 16.

 

Получаем

, . При этих значениях

.

 

 

 

 

 Рис. 2.1. Решение  задачи графическим методом

Для получения максимальной прибыли равной 14 ден. ед. необходимо произвести 4 единицы продукции первого вида и 2 единицы второго вида.

 

Проверка

Для проверки правильности решения задачи воспользуемся MS Excel.

1. Введем исходные данные. Оптимальные значения вектора будут помещены в ячейках А2:В2 (рис. 2.2)

                 Рис. 2.2.

         

 

2. Введем зависимость  для целевой функции. В ячейку С3 вводим формулу =СУММПРОИЗВ($A$2:$B$2;A3:B3) (1).

3.Введем зависимости  для ограничений.  Скопируем формулу (1) в ячейки С4:С7.

     4. Запуск команды    Поиск решения. Данные → поиск решения.

5. Оптимизировать целевую  функцию. Устанавливаем целевую ячейку $C$3 равную максимальному значению (рис. 2.3)

6. Изменить ячейки переменных. В соотвествующем поле вводим диапазон ячеек $A$2:$B$2 (рис. 2.3)

7. Ввести ограничения. Согласно условиям задачи имеется четыре ограничения со знаком ≤ (рис. 2.3)

Рис. 2.3.

  

 

8. Сделать переменные  без ограничений неотрицательными. В окне Поиск решения → кнопка Параметры → флажок Неотрицательные значения.

9. Найти решение. Кнопка Выполнить.

Результат выполнения задачи выглядит следующим образом:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2.4.

      

Ответ: Необходимо изготовить 4 единицы продукции 1-го вида и 2 единицы продукции 2-го вида для получения максимальной прибыли 14 ден. ед. При этом нереализованными окажутся 4 единицы ресурса 4-го типа.

 

          Задание 3. Рассчитать параметры моделей экономически выгодных размеров заказываемых партий.

 

          Требуется определить оптимальный размер поставки шин  Bridgestone В250 (175/70 R13 82H)  машиностроительному заводу  и соответствующие ему годовые расходы на хранение запасов при следующих условиях:

- годовая потребность – 70 000 шт;

- расходы на один заказ – 600 руб;

- издержки по содержанию запасов  – 10 руб. за шт. в год;

- завод работает 300 дней в году;

- время доставки заказа – 3 дня.

Определите период поставок и точку заказа.

 

         Решение:

         Проведём необходимые вычисления в Excel по формулам модели наиболее  экономичного размера партии (модель Уилсона, рис 4.1)

Рис. 4.1. Вычисления по формулам Уилсона

Вводим исходные данные в ячейки. 
 С2 (спрос на продукцию λ) = 70 000,

С5 (расходы на доставку s) = 600,

С4 (ежедневная стоимость хранения единицы товара h) = 10 руб./шт в год,

С1 (период Т) = 300 дней, 
С3 (срок доставки)  = 3 дня.

а) На основании имеющихся данных найдем оптимальный размер заказываемой партии qопт по формуле:

.

б) Годовые расходы на хранение запасов являются частью общих затрат за период Т, т.е. из формулы общих затрат Ф(q):

Рассчитываем вторую часть, показывающую затраты на хранение товара в течение времени Т:

В данной задаче необходимо учитывать, каким именно образом начисляются расходы на хранение. Завод работает  300 дней в году, но товар хранится все 365. Поэтому стоит произвести дополнительные расчеты (при Т=365):

в) Период поставок, или длительность цикла заказа  τ  рассчитывается по формуле: