Наращение сложных процентов

1. Наращение сложных процентов

При наращении сложных  процентов по ставке / каждая следующая

сумма возрастает на долю / от предыдущей. Таким образом,

к концу единичного промежутка начисления сумма Р возрастет

на долю / и станет Р\ = Р + /Р = Р (1 + /) к концу 2-го

промежутка начисления эта  сумма возрастет еще на долю / от Pi

и станет Р2 = Pi + iP\ = P(l + i) + /P(l + /) =

= Р(1+ /)2 и т.д. К концу п-то промежутка начисления наращенная

сумма станет Рп = Р( 1 + /)Л. Таким образом, последовательность

наращенных сумм Р, Pi, ..., Рп есть геометрическая прогрессия

с начальным членом Р и знаменателем прогрессии (1 + /).

Пример 3. Пусть Р= 1000, / =10%, т.е. как доля / = 0,1. Следовательно,

наращенные по сложным  процентам суммы таковы:

1000, 1000 + 0,1 • 1000 = 1000 + 100 = 1100, 1100 + 0,1 • 1100 = 1210,

1210 + 0,1-1210= 1331,1 и т.д.

Пример 4. Годовая ставка сложных процентов равна 8%. Через  сколько

лет начальная сумма удвоится?

Решение. Надо решить неравенство: (1 + 0,08)" > 2. Логарифмируем

по основанию натуральных  логарифмов и получаем n > In

(2)/ln (1,08).

Ответ: через 9 лет.

Из этого примера видно, что вычисления со сложными

процентами более сложные, чем с простыми. Для занятий по

финансовой математике необходимо иметь хороший калькуля-

тор (достаточно, чтобы можно  было возводить любое положительное

число в любую степень).

Формула наращения сложных  процентов Рп = Р (1 + i)n, выведенная

для целых положительных п, может применяться и для

нецелых t

Сумма Р, наращенная по ставке i сложных процентов, через

t промежутков начисления станет Pt = Р (1 + /)'.

I Пример 5. 13 января в банк  положили сумму 1000 д.е. до востребования

под ставку 12% годовых сложных  процентов. Какую сумму

снимет вкладчик 1 сентября?

Решение. Воспользуемся формулой наращения сложных процентов

Pt = Р(1 + i)K Но как вычислить /? Надо признать, что однозначного

ответа в этой ситуации нет. Изберем самый простой вариант:

будем считать, что в году 360 дней, в квартале — 90, в одном  месяце —

30 и т.д. (учтем, что в  году есть несколько праздничных  дней и т.д.). То-

I гда t = (30* 7 + 17)/360 и искомая сумма есть 1074 д.е.

При работе со сложными процентами иногда для приближенного

оценивания полезно следующее  правило.

Правило 72. Если процентная ставка есть а, то удвоение капитала

I по такой ставке происходит  примерно за 72/а лет. |

Например, согласно этому  правилу при ставке 3% удвоение капитала

происходит за 24 года.

Это правило применяется  ддя небольших ставок.

В дальнейшем, если не указано, какие проценты используются,

то имеются в виду сложные  проценты.

2. Сравнение силы роста простых

и сложных процентов

При одной и той же ставке / наращение сложных процентов  идет

быстрее, чем простых процентов, при длине периода наращения  более

единичного и медленнее,

если период наращения  менее

единичного.

Для этого достаточно убедиться,

что

(1 + /)' > (1 + #), если / > 1и

(1 + /У<(1 + й),если0</< 1.

Графики функций (1+/)' и

(1+й) в зависимости от / показаны

на рис. 1.2. Рис. 1.2

I Пример 6. Пусть сумма 800 наращивается по ставке i = 8% простых и

I сложных процентов. Тогда  наращенные суммы таковы:

Простые проценты 800 864 928 992

Сложные проценты 800 864 933,1 1007,8

I Промежутки начисления 0 1 2 3

3. Мультиплицирующие

и дисконтирующие множители

ДЛЯ облегчения расчетов, особенно со сложными процентами,

составлены таблицы мультиплицирующих  множителей.

Мультиплицирующий множитель показывает, во сколько раз

возрастет за п лет сумма, положенная в банк под / процентов годовых:

М(п, /) = (1 + i)n.

Величина М(п, /) есть будущая стоимость одной денежной

единицы — через п лет при ставке процента /.

Так, М(5, 8) есть 1,469. Таблицы таких множителей имели

большое значение для финансовых расчетов ранее, когда не было

электронных калькуляторов. Но и сейчас во многих ситуациях

такие таблицы весьма удобны. Ниже приведен фрагмент таблицы

мультиплицирующих множителей М(п, i) для 2 < п < 11,

2 < / < 12.

Для облегчения расчетов используются также таблицы дисконтирующих

множителей.

Дисконтирующий  множитель показывает долю, которую составит

начальная сумма, положенная в банк под / процентов годовых,

от наращенной к концу я-го года:

D(n,i)=l/M(«,i) = (l + i)r".

10

Величину D (п, i) называют еще приведенной, или современной,

стоимостью одной денежной единицы через п лет при ставке процента

/.

Так, Д5,8) = 0,681. Ниже приведен фрагмент таблицы дисконтирующих

множителей D(n, /) для 2<п< 11, 2 < / < 12.

4. Удержание простых и сложных процентов

Некто попросил в банке  кредит в размере 1000 руб. Банкир

говорит: «Пожалуйста. Процентная ставка у нас 10% годовых, так

что 100 руб. мы с Вас сейчас же удержим. Итак, получите 900, но

вернете через год, конечно, все 1000». Такая операция называется

удержанием процентов. В этой операции все в пользу банкира.

Во-первых, проценты уже удержаны. Во-вторых, доходность этой

операции для банка больше, чем объявленные 10%.

Действительно, доходность операции ддя банка равна

100/900-11,1%. Поэтому подобную  операцию — удержание процентов

с конечной суммы — кредиторы  применяют довольно часто.

Долговая расписка, содержащая обязательство выплатить определенную

денежную сумму (номинал  векселя) в конкретный

срок, называется векселем. Учет векселя — обычное дело для

банка и означает оплату векселя с дисконтом, т.е. со скидкой  с

его номинала.

I Пример 7. Банк учел вексель  за 70% его номинала за полгода  до его

выкупа. Какова доходность операции для банка?

Пусть номинал векселя N, тогда банк заплатил владельцу векселя

0,7 N, а получил через полгода N, поэтому доходность операции (абсолютная

за полгода) равна 0,3/0,7-0,43, т.е. 43% (а в процентах го-

I довых это дает 104,5% — см. далее гл. 6).

Удержание процентов можно  проводить также по простым

процентам и сложным. Рассмотрим сначала удержание

простых процентов. Пусть  ставка удержания — d (доля), тогда

за каждый год удерживается одна и та же величина — доля d с

конечной суммы Р, так что если кредит выдается на п лет, то

будет удержано ndP и оставшаяся после удержания сумма есть

Pn = P-ndP = Р{\ -nd).

Оставшиеся после удержания  суммы образуют убывающую

арифметическую прогрессию.

Если же удержание проходит по сложным процентам, то за

каждый год удерживается доля d от предыдущей суммы, так

что оставшаяся сумма есть Р = Р (1 — d)n. Оставшиеся _______после

удержания суммы образуют убывающую геометрическую прогрессию.

При удержании простые  проценты уменьшают сумму медленнее,

чем сложные, на промежутках, длиннее единичного (см. § 3).

Для облегчения расчетов при  удержании сложных процентов

используются дисконтные множители.

Дисконтный множитель показывает, во сколько раз уменьшится

сумма при удержании с  нее сложных процентов по ставке

d в течение п промежутков удержания:

Dis(>*, d) = (1 - d)".

Можно также сказать, что  до величины Dis(/i, d) уменьшится

одна денежная единица, с  которой удерживаются сложные проценты

по ставке d в течение п периодов.

Удержание процентов имеет  ограниченную область применения

— оно редко применяется  для числа промежутков удержания

более двух-трех. Ниже приведен фрагмент таблицы дисконтных

множителей Dis(/j, /) для 0 < п < 4, 2 < / < 12.

Дисконтные множители

3 4 5 6 7 8 9 10 п

1 0,970 0,960 0,950 0,940 0,930 0,920 0,910 0,900 0,890

2 0,941 0,922 0,903 0,884 0,865 0,828 0,828 0,810 0,792

3 0,913 0,885 0,857 0,831 0,804 0,779 0,754 0,729 0,705

Удержание процентов аналогично начислению процентов:

начисление процентов: если сейчас положить сумму S, то через

год она станет S(l + /);

удержание процентов: чтобы через год получить с клиента

сумму S, надо сейчас выдать ему S(l - d).

5. Эквивалентность во времени денежных сумм.

Математическое  дисконтирование

Денежные суммы S(T) в момент Г и s(t) в момент / называются

эквивалентными по ставке сравнения /, если S(T) =

s(t)(l + i)(T~ >). При Т > t это означает, что сумма s{t), наращенная

по ставке / сложных процентов, превратится в момент Т в

сумму S(T); однако можно считать, что Г может быть и меньше f,

тогда это означает, что  сумма -5(7), наращенная по ставке / сложных

процентов, превратится, в  момент t в сумму s(t). Указанная выше

формула автоматически учитывает  оба эти случая. Вместе с тем

можно сказать и по-другому: при Т > t эквивалентность сумм S( T)

и s(t) означает, что сумма S(T), уменьшающаяся при движении в

прошлое за каждый единичный  промежуток в 1/(1 + /) раз, к моменту

t превратится в точности в сумму S{t) = S(T)/[(l + /)(Г~ Ч-

Такой пересчет будущей суммы  к настоящему моменту называется

приведением ее или нахождением ее современной величины. Сама формула сравнения денежных сумм в любые моменты времени

называется математическим дисконтированием.

I Пример 9. Какая сумма  предпочтительнее при ставке 6%: $1000 сегодня

или $2000 через 8 лет?

Решение. Найдем современную  величину $2000 через 8 лет при

ставке 6%: А = 2000 • (1 + 0,06)~8 = 2000 • D(8,6). По таблице дисконтирующих

множителей находим Д8, 6) = 0,627.

Итак, А » 1254 > 1000. Следовательно, надо предпочесть сумму

I $2000 через 8 лет.

6. Номинальная и эффективная

процентные ставки

Предположим, что по требованию некоторых клиентов

банк начисляет им проценты ежеквартально, хотя в договоре

указана годовая процентная ставка / = 12%. Если начислять

ежеквартально 12/4 — 3% по схеме  сложных процентов, то за

год получим/= (1 + 0,03)4 = 1,1255 (можно  взглянуть в таблицу

мультиплицирующих множителей и найти М(4, 3) = 1,126).

Ставка/= 12,6% называется эффективной, а объявленная 12% —

номинальной. Так как ставка получилась больше, чем в договоре,

то банк так делать не будет. Хорошим выходом в данной ситуации

является начисление ежеквартально  простых процентов по

ставке 3%.

В общем случае номинальной  называется процентная

ставка, используемая для  расчетов, для фиксирования в договорах

и т.п., а действительная ставка, которая при этом получается,

называется эффективной.

Пусть номинальная годовая  ставка есть /, а сложные проценты

начисляются т раз в году по ставке i/m. Тогда эффективная

годовая ставка / рассчитывается из уравнения

(1 + i/m)m = 1 + /, откуда/= (1 + i/m)m - 1 .

Если все же надо начислять  сложные проценты т раз в

году, то какова же должна быть при этом ставка t, чтобы за

год в итоге получилась нужная ставка fl Имеем уравнение

(1 + f)m = 1 + / , откуда / = (1 +f)l/m - 1 .

7. Непрерывное наращение и дисконтирование

Пусть номинальная годовая  ставка есть /. При начислении