Наращение сложных процентов

процентов т раз в году по ставке i/m эффективная годовая

ставка получается, как  показано выше, равной / = (/ + i/lm)m —

1, т.е. за год сумма  увеличится в (1 + i/m)m раз. Рассмотрим

этот коэффициент наращения, или мультиплицирующий множитель

М(т, i/m). При все более частом начислении процентов,

т.е. при /я->оо, величина М(т, i/m) имеет предел, который,

как известно, равен е', где е — основание натуральных логарифмов

(е » 2,71). Непрерывным наращением по ставке i называется

увеличение суммы в  е' раз за единичный промежуток начисления

и в общем виде — увеличение суммы в е" раз за /

промежутков начисления. Непрерывным дисконтированием называется

операция, обратная непрерывному наращению,

т.е. уменьшение суммы в  е' раз за единичный промежуток и

уменьшение в e/Y раз за t промежутков.

8. Влияние инфляции на ставку процента

Говорят, что инфляция (или  темп инфляции) составляет долю

а в год, если один и тот  же набор товаров стоит в конце

года в (1 + а) раз больше, чем в начале этого года. Можно  также

сказать, что в (1 + ос) раз  уменьшилась покупательная способность

одной денежной единицы.

Последнее означает, что  если в начале года на 1 руб. можно  было

купить, например, 100 г сахара, то в конце года только, скажем,

90 г. Ясно, что инфляция  уменьшает реальную ставку процента. Это

будет уже ставка процента с учетом инфляции. Действительно, одна

денежная единица возрастает за год в (1 + /) раз из-за наращения

процентов, но ее покупательная  способность уменьшается в

(1 + а) раз из-за инфляции. Таким образом, ее реальная  ценность —

покупательная способность  — станет (1 + /)/(1 + а), а годовая  реальная

ставка есть (1 + /)/(1 + а) - 1=(/ - а)/(1 + а). Видно, что при

малой инфляции (когда а мало) реальная процентная ставка меньше

номинальной приблизительно на величину инфляции. Для того

чтобы номинальная ставка / обеспечивала наращение реальной

ценности денежных сумм на долю j в год при годовой инфляции

а, темп инфляции должен удовлетворять  уравнению: (/ —

а)/(1 + а) =у, откуда / = a+j (1 + а).

 

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ

1. При какой ставке  сложных процентов за 9 лет сумма  удваивается?

2. В день рождения внука  бабушка положила в банк $1000 под

3% годовых. Какой будет  эта сумма к семнадцатилетию внука?

3. Как найти инфляцию  за квартал, если известна годовая  инфляция?

4. Найдите несколько сумм  в прошлом и в будущем, эквивалентных

сумме 1000 д.е. в момент 0 при  ставке 8% годовых.

5. Счет «СБ100» в Сбербанке  обещает 2,9% за 100 дней.

Сколько это составит процентов  годовых?

6. Докажите строго, что  при одной и той же ставке / наращение

сложных процентов идет быстрее, чем простых процентов,

при длине периода наращения, более единичного, и медленнее,

если период наращения  менее единичного, т.е. докажите

неравенства (1 + i)f > (1 + ti)9 если t > 1 и (1 + /)' < (1 + ti), если

0 < t< 1. Докажите, что при удержании процентов, наоборот,

простые проценты уменьшают  сумму медленнее, чем сложные.

7. Рассмотрим последовательность  оставшихся после удержания

4% сумм из примера 8 в обратном порядке и будем  считать

их наращенными суммами:

Простые проценты 672 704 736 768 800

Сложные проценты 679,5 707,8 737,3 768 800

Промежутки начисления 1 2 3 4 5

Первая последовательность есть последовательность наращенных

сумм по простым процентам, вторая — по сложным.

Найдите соответствующие  ставки.

8. Докажите, что / = (1 + i/m)m —1 > /, т.е. что эффективная

ставка больше номинальной (т — натуральное число).

9. Убедитесь, что для расчетов по инфляции (во сколько раз

упала покупательная способность  одной денежной единицы

и т.п.) можно использовать мультиплицирующие или дисконтирующие

множители.

10. Какую ставку должен  назначить банк, чтобы при годовой

инфляции 12% реальная ставка оказалась 6%?

11. Наращение простых процентов  с переменной ставкой.

Пусть простые проценты за к-й год равны /#. Найдите наращенную

сумму через п лет.

12. Наращение сложных процентов  с переменной ставкой.

Пусть сложные проценты за к-й год равны 4. Найдите

наращенную сумму через п лет.

13. По договору зафиксирован  платеж через 3 года в размере

1000 д.е. Через год процентная  ставка увеличилась. Кому это

выгодно: тому, кому будут  платить, или тому, кто будет платить?