Роль экономико-математических методов в управлении социально-экономических систем

Матрица текущих затрат x_ik совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

Элементы матрицы межотраслевых потоков производственных капиталовложений ΔФik показывают количество продукции i-й отрасли, направляемое в текущем периоде в k-ю отрасль в качестве производственных капиталовложений. Материально это выражается приростом в потребляющих отраслях запасов сырья и материалов,увеличением производственного оборудования, сооружений, площадей и т. д.

В статическом балансе потоки вложений не дефференцируются по отрслям-потребителям, а отражаются общей величиной  в составе конечной продукции. В динамической схеме конечный продукт zi включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, в прирост незавершенного строительства, на экспорт.

 Сумма потоков производственных капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса, т.е.

 

 Таким образом, уравнение распределения  продукции вида преобразуется в  динамическом балансе в следующее  уравнение:

 

 

Потоки текущих затрат, как и  в статической модели, выразим через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:  хik = aikXk

Если потоки текущих затрат связаны  со всей величиной выпуска продукции, то потоки вложений обусловливают прирост продукции. Если это период t, то прирост продукции ΔХk равен разнице абсолютных уровней производства в период t и в предшествующий (t-1)-й период, а именно:

 

Полагая, что прирост продукции  пропорционален приросту фондов, можно  записать: ΔФik   = bikΔXk , (9)

где bik – коэфициенты пропорциональности, равные отношению прироста фондов к приросту продукции:

                   bik =

Таким образом, коэффициенты пропорциональности bik показывают, сколько продукции i-й отрасли должно быть вложено в k-ю отрасль в целях увеличения ее производственной мощности для расширения выпуска на единицу продукции, т. е., иными словами. Характерзуют фондоемкость единицы прироста выпуска продукции k- й отрасли.

Коэффициенты пропорциональности bik называют коэффициентами вложений.

С помощью коэффициентов текущих затрат и коэффициентов вложений уравнение (8) можно представить в следующем виде:

 

Система (10) представляет собой систему  так называемых линейных разностных уравнений первого порядка. Ее можно  привести к обычной системе линейных уравнений, если исходить из того, что все объемы производства и конечная продукция относятся к некоторому периоду t, а прирост продукции определен в сравнении с периодом (t-1). Тогда имеем:

            

 

 

Отсюда  следует:

 

Предположим, что нам известны уровни производства всех отраслей в предыдущем периоде и конечный продукт t-го периода. Тогда очевидно, что выражение (11) представляет собой обычную систему n линейных уравнений с n неизвестными. В рассмотренной динамической модели межотраслевого баланса предполагается, что прирост продукции текущего периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Численный  пример

4.1. Постановка  задачи

Пусть рассматривается экономическая  система, состоящая из трех взаимосвязанных  отраслей производства. Продукция каждой отрасли частично идет на внешнее потребление, а частично используется в качесте производственных капиталовложений в основные или оборотные фонды. На основании имеющихся данных определить экономический рост в каждой отрасли за счет вложений.

Производящие  отрасли	межотраслевые потоки текущих затрат			Прирост фондов			Конечный продукт (Y) статич. баланс	Конечный продукт (Z)	Вся продук- ция
	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие
1.Промышленность	30.6	10.3	5.3	6.3	10.1	8.6	56	31	102.2
2.Сельское хозяйство	15.3	4.9	0.8	3.5	2.3	3.2	20	11	41
3. Прочие	10.2	2.1	2.1	1.9	2.7	2.4	12	5	26.4
Чистая продукция	46.1	23.7	18.2	-	-	-	-	-	-
Вся продукция	102.2	41	26.4	-	-	-	-	-	169.6

                 0.30 0.25  0.20                              0.4  0.2   0.1      

аik =    0.15  0.12  0.03     ;     bik   =       0.3   0.1   0.5    ;    ΔХk  = 10 .

                 0.10  0.05  0.08                              0.6   0.3  0.4       

4.2. Решение

1. Находим прирост продукции.

ΔФ11 = 0.4х10=4; ΔФ12 = 0.2х10=2; ΔФ13 = 0.1х10=1

ΔФ21 = 0.3х10=3; ΔФ22 = 0.1х10=1; ΔФ23 = 0.5х10=5

ΔФ31 = 0.6х10=6; ΔФ32 = 0.3х10=3; ΔФ33 = 0.4х10=4

2. Найдем валовый выпуск всех отраслей.

Х1= (0.30+0.25+0.2)102.2 + (4+2+1) +56 = 139.6

Х2= (0.15+0.12+0.03)41 + (3+1+5) +20 =41.3

Х3= (0.10+0.05+0.08)12 + (6+3+4) +12 =27.76

 

 

Производящие  отрасли	межотраслевые потоки текущих затрат			Прирост фондов			Конечный продукт (Y) статич. баланс	Конечный продукт (Z)	Вся продук- ция
	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие	1.Промыш-ть	2.Сельское хозяйство	3.Прочие
1.Промышленность	30.6	10.3	5.3	4	2	1	93.4	86	139.6
2.Сельское хозяйство	15.3	4.9	0.8	3	1	5	20.3	11.3	41.3
3. Прочие	10.2	2.1	2.1	6	3	4	13.36	0.36	27.76
Чистая продукция	46.1	23.7	18.2	-	-	-	-	-	-
Вся продукция	139.6	41.3	27.76	-	-	-	-	-	208.6

4.3. Анализ

Решение динамической системы уравнений  позволяет определить выпуск продукции  в последующем периоде в зависимости  от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами  устанавливается именно через коэффициенты вложений, характеризующих фондоемкость единицы прироста.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

¹ Борисов Е. Ф. Экономическая теория. — М.: Юрист, 1997. – С. 45-46.

² Макроэкономика. Учебное пособие. М.К.Бункина, В.А.Семенов. – М., 1996. – С. 194

³ Рыночная экономика. Учебник. Том 1, часть 1. – М., 1992. – С. 57-59

⁴ Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. - М., 1997. – С. 170