Теорема Ерроу

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНА  РОБОТА

 

З ДИСЦИПЛІНИ "МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРОГНОЗУВАННЯ СОЦІАЛЬНО-ЕКОНОМІЧНОГО РОЗВИТКУ"

ВАРІАНТ 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗМІСТ

 

ВСТУП…………………………………………………………………………..……3

1 ТЕОРЕМА ЕРРОУ……………………………………………………………..…..4

2 РОЗРАХУНКОВА ЧАСТИНА……………………………………………………9

ВИСНОВКИ………………………………………………………………………...14

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ………………………………..…….15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

 

Ерроу (Arrow) Кеннет Джозеф (н. 1921) – професорСтенфордськогоГарвардського та іншихуніверситетів, лауреат Нобелівськоїпремії з економіки (1972). Цієюнагородоювін разом з професоромОксфордськогоуніверситету Дж. Хіксомвідзначений за «новаторськийвнесок у загальнутеоріюрівноваги та благополуччя». Післязакінченняколеджу в Нью-Йорку Ерроу – офіцервійськово-повітряних сил (1942-46). Викладацьку і науково-дослідницьку роботу почав у 1948 в Чиказькомууніверситеті, де впродовждвохроківпрацював на посадіасистента-професора. Захистившидисертацію та отримавшинауковийступінь доктора (1951), з 1949 по 1968 працював на посадіпрофесораСтенфордськогоуніверситету, а з 1968 по 1974 – професораГарвардськогоуніверситету. НиніЕрроу – професор-емерітусСтенфордськогоуніверситету, член НаціональноїАкадемії наук США, Економетричноготовариства та іншихорганізацій.

Кеннет Ерроусформулювавтеорію «неможливостіЕрроу». Він у 1951 р. довів теорему, яка сьогоднівідома як теорема «неможливостіЕрроу» (власнаназва - «загальнатеоріяможливості»). Цяматематична модель пов'язана з процесомприйняттягруповихрішень за умов врахуванняіндивідуальнихінтересів/переваг. Суть теоремитака: не існуєдемократичного методу врахуванняіндивідуальнихінтересів для трьох і більше альтернатив, якийбизабезпечував результат, що не суперечитьпевнимлогічнимумовам. К.Ерроувисунувперелік умов, якісьогоднівважаютьзагальнообов'язковими, коли суспільнірішенняприймають шляхом врахуванняпереваггромадян - за допомогоюголосування/виборів.

 

 

 

 

Теорема Ерроу

 

Прагнення економістів визначити  оптимум добробуту без визначення індивідуальних корисностей має  давню історію. Теоретики не могли  чітко розмежувати поняття «ефективність» і «справедливість». Це зробив італійський  учений В. Парето, визначивши поняття  суспільного добробуту. Його концепція  оптимального розміщення ресурсів ґрунтується  на трьох припущеннях, які належать до оцінних суджень:

1) кожна особа найкраще оцінює  свій добробут;

2) суспільний добробут визначається  добробутом окремих, незалежних  один від одного індивідів;

3) добробут окремих осіб не  можна порівняти.

Однак вчений вважав, що висновки про  економічну політику можна робити лише на основі міркувань про ефективність.

На початку 30-х років XX ст. американський  економіст Абрам Бергсон вивів  дискусію з глухого кута, запропонувавши оцінювати добробут за допомогою  функції суспільного добробуту -- множини суспільних кривих байдужості, які ранжують різні комбінації індивідуальних корисностей відповідно до системи оцінних суджень про розподіл доходу. Однак він не пояснив, кому мають належати такі судження і як треба враховувати різницю в них. Тому концепція суспільного добробуту А. Бергсона дещо відірвана від дійсності.

Спроба визначити функцію соціального  добробуту, зважаючи на обмеження, які  відображають основні етичні аксіоми (ціннісні установки учасників демократичного процесу), привела Ерроу до формулювання теореми неможливості (неможливості демократії).

Автор доводить, що суспільство не може знайти процедури прийняття  несуперечливих, узгоджених рішень, якщо ці рішення не віддані на розсуд однієї особи. Це положення ілюструється парадоксом голосування -- суперечністю, яка виникає внаслідок того, що голосування на основі принципу більшості не забезпечує вияву переваг суспільства щодо економічних благ.

К.-Дж. Ерроу сформулював аксіоматичні правила раціональної поведінки  і наочно показав, що жоден процес прийняття колективного рішення  не відповідає зазначеним нормам. Згідно з теоремою неможливості Ерроу не існує демократичної соціальної функції добробуту, яка здійснює зв'язок між індивідуальними перевагами та суспільним вибором -- процесом, за допомогою якого індивідуальне бачення трансформується у колективні рішення, і одночасно відповідає таким вимогам:

1) принцип Парето-оптимальності.  Рішення не може бути вибране,  якщо при цьому існує і може  бути реалізованою альтернатива, що поліпшує життя іншим індивідам  і нікому не погіршує;

2) перехідність. Якщо соціальний  вибір А має перевагу перед  альтернативою Б, а вибір Б  -- перед альтернативою В, то  А є кращим, ніж В;

3) незалежність сторонніх альтернатив.  Людина вибудовує переваги незалежно  від дій, що на даний момент  вона не може здійснити;

4) відсутність диктатора. Серед  учасників колективного вибору  немає такого індивіда, кожна  перевага якого завжди перемагає  переваги всіх інших членів  і стає обов'язковим елементом  соціального порядку.

К.-Дж. Ерроу довів, що чотири умови  перебувають у суперечності. Отже, жодна соціальна схема добробуту  не може відповідати усім вимогам  одночасно.

Зазначені вимоги є важливою передумовою  раціональності індивідуального вибору. Однак універсального правила раціонального  колективного вибору, яке б відповідало  всім вимогам, не існує. Аналіз правила  більшості довів, що можлива ситуація зациклення (тобто за певної структури індивідуальних переваг голосування може тривати безкінечно, не приводячи до прийняття однозначного рішення) при послідовному здійсненні вибору трьома особами, бо при збільшенні числа критеріїв впорядкування зростає імовірність того, що результати виявляться зацикленими. Але аксіома транзитивності передбачає вибір лише одного з трьох варіантів. Щоб процес суспільного вибору не зайшов у глухий кут, треба знайти прийнятну альтернативу. Однак за наведених умов для довільної пари альтернатив неможливо підібрати таку коаліцію, яка б складалася більше ніж з одного індивіда. Це означає, що метод здійснення такого вибору буде диктаторським.

Єдине правило побудови колективних  рішень, що відповідає чотирьом умовам К.-Дж. Ерроу, є диктаторським(колективне рішення завжди повинно збігатися  з думкою одного з виборців). Щоб  уникнути цього необхідне пом'якшення  передумов. Незважаючи на те що дані постулати  дещо чіткіші, ніж може здатися на перший погляд, вони все ж слабші, ніж це потрібно для задоволення  розумного критерію розподільчої справедливості. Тому необхідне пом'якшення аксіом одностайності або відмова від  однієї з них. Однак така відмова  означає втрату ідеалів індивідуалізму та громадянського суверенітету.

Оскільки суспільний вибір -- це сукупність альтернатив, то К.-Дж. Ерроу вводить  аксіому транзитивності. Однак на практиці досягнення мети не вимагає  повного застосування аксіоми транзитивності. Тому А.-К. Сен довів теорему можливості, замінивши транзитивність квазітранзитивністю, або транзитивністю чітких переваг (він стверджував, що особиста свобода  повинна мати пріоритет над правилом Парето). Квазітранзитивність відкриває  можливість для нав'язування суспільству  влади олігархії (якщо існують однакові для всіх членів олігархічної групи  переваги). Подолання зациклення полягає  в тому, що кожний член олігархічної групи фактично володіє правом вето. Це означає також, що перехід від  транзитивності до квазітранзитивнос-ті не скасовує диктаторську владу загалом, а поширює її на олігархічну групу.

Вимога необмеженого охоплення (повноти  й універсальності) подібна до постулату  свободи вибору: кожний індивід вільний  вибирати, що захоче, тобто сам визначає власний порядок переваг. І хоч  багато хто виступає за свободу вибору, однак наслідком такого вибору може бути або конфлікт, або зациклення. Тому цей постулат також сприяє недемократичності  прийняття рішень.

Дещо «ослабив» теорему неможливості В.-С. Вікрі. Він додав до умов К.-Дж. Ерроу п'яту умову -- ранжування(береться не весь континуум від першої до найвищої точки, а певний проміжок між  ними). З допомогою ранжування він  отримав можливість шляхом обмеження  індивідуального вибору довести  теорему неможливості.

Існує два способи її доведення: обмеження всієї множинності  можливих варіантів (наприклад, конституція  захищає права власності) або  обмеження складу співтовариства тими членами суспільства, чиї переваги дають змогу здійснити колективний  вибір (наприклад, делегування повноважень  виборців членам парламенту). Це означає, що за представницької демократії до прийняття політичних рішень допускаються особи з більш-менш однорідними  перевагами. Це різко знижує ймовірність  зациклення (чим однорідніші переваги виборців, тим менш імовірна можливість виникнення циклу).

Теорія клубів. Ця теорія є частиною теорії змішаних благ. Клубне благо -- це благо, при споживанні якого наявне виключення, тобто можливо перешкодити  його споживанню деякій групі людей  на відміну від суспільного блага. Але воно є неконкурентним, бо споживання блага однією особою не знижує споживання того самого блага іншими особами  і особливості формування політичних партій називають умови, за яких можливе  створення однорідного співтовариства. Прийняття прогнозованих колективних  рішень є імовірнішим у співтовариствах, де сповідують загальні цінності, ніж  у довільних групах індивідів.

Якщо відмовитися від постулату  про незалежність альтернатив, то можна  одержати велике число процедур прийняття  рішень:

а) проста більшість, за якої для прийняття  рішення потрібно 50 відсотків голосів  учасників плюс один голос;

б) відносною більшістю голосів  вважається кількість голосів, більша хоча б на один голос;

в) кваліфікована більшість має  становити дві третини, три чверті або ще більше всього складу тих, хто  приймає рішення;

г) схвальне голосування.

Якщо число варіантів дорівнює двом (обрання--необрання, схвалення--несхвалення) і число виборців непарне, то єдиним правилом, що відповідає усім п'ятьом  умовам, є правило простої більшості.

Отже, теорема неможливості доводить, що не існує такого демократичного процесу прийняття рішень, який би одночасно відповідав усім п'ятьом  сформульованим аксіомам. Тому виробити лише одне правило голосування неможливо. Розв'язання цієї проблеми можливе  у разі відмови від аксіоми  транзитивності чи пом'якшення постулатів незалежності, повноти та універсальності.

На основі сформульованих етичних  норм, а також аксіом, що визначають колективний вибір, К.-Дж. Ерроу запропонував концепцію демократичного вибору, спрямовану на захист вільної ринкової конкуренції, що має підтримуватися державою. Держава, формуючи економічну стратегію, повинна  враховувати інтереси всіх громадян.

Праці К.-Дж. Ерроу є вагомим внеском  у теорію оптимальних запасів, аналіз стабільності ринкових моделей, математичне  програмування і теорію статистичних рішень. Поширеною є думка про  те, що смисл і значення теореми  неможливості Ерроу, а також теорії соціального вибору донині не усвідомлені  цілком і теорія «випереджає» їх застосування. Однак робляться спроби використання теорії соціального вибору в двох сферах. Одна з них -- розроблення  виборчих систем. Комп'ютери здатні подолати існуючі бар'єри створення  оптимальної виборчої системи. Друга  сфера -- теорія демократії, де теорія соціального  вибору сприяє переоцінці класичних  тверджень. Використовують теорію соціального  вибору і в політичній сфері, при  розгляді ринку праці та торгової політики.

 

 

2 Розрахункова  частина

Завдання  №1

 

За вихідними  даними зробити прогнозування, використовуючи  метод найменших квадратів.

Необхідно:

1. Скласти рівняння лінійної регресії.
2. Невідомі коефіцієнти оцінити методом найменших квадратів
3. Побудувати графічне розв’язання даного завдання.

Рішення

 

Прогноз з використанням  функції тенденції розраховується на підставі лінійного взаємозв’язку між результатами спостереження і часу, за яке ці спостереження зроблені.

Отримувати прогноз будемо за допомогою  рівняння і системи рівнянь:

 

            у  = а₀ + а₁х, (1)

де  х –  період;

у - фактичне значення.

 

Таблиця 1. - Розроблення  прогнозу за допомогою функції тенденції (МНК)

 

Періоди	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Рік	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Випуск на кінець року, тис.шт	200	210	182	176	195	190	185	183	181	205
Функція тенденції	194,28	193,49	192,7	191,91	191,12	190,33	189,54	188,75	187,96	187,17