Теория игр и возможности ее применения

Необходимость в социальных институтах возникает  в тех ситуациях, когда имеется  несколько равновесий (проблема координации), неэффективность равновесия (дилемма заключенных) или несправедливость равновесия (ситуация неравенства) в тех типах взаимодействий людей, которые ведут к их возникновению.

Итак, можно  обобщить представленный выше анализ, указав на два положительных эффекта  существования институтов-правил. Координационный эффект заключается в том, что они обеспечивают состыковку планов, т. е. создают предпосылки для осуществления правильного выбора в отношении того, что, как, кому и для кого нужно делать в хозяйственной жизни, при котором имеет место эффективное размещение ресурсов. На языке теории игр данная состыковка планов может возникать, в частности, благодаря обеспечению предсказуемости поведения людей друг для друга через формирование эволюционно-стабильных стратегий. Мотивационный эффект состоит в обеспечении ими состыковки стимулов, т. е. институты-правила делают выгодным для индивидов осуществление правильного экономического выбора. Разрешение дилеммы заключенных связано со стимулированием сотрудничества между людьми, тогда как достижение равновесия Нэша посредством смешанных стратегий означает отсутствие стимулов к стратегическому поведению, что выступает в качестве возможных иллюстраций данного эффекта. Таким образом, значение этих двух эффектов заключается в том, что благодаря существованию институтов-правил индивиды могут и хотят делать выбор, обеспечивающий эффективное размещение ресурсов.

Кроме того, имеется также и распределительный эффект, состоящий в том, что любой набор правил определяет структуру прав собственности, которая может быть более выгодна одним членам общества в ущерб другим.

 

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИГР

1. РАЗНООБРАЗИЕ СИТУАЦИЙ И СФЕР ЖИЗНИ ЧЕЛОВЕКА, В КОТОРЫХ ПРИМЕНИМА ТЕОРИЯ ИГР

 

В жизни  известно немало примеров столкновения противоположных сторон, принимающих  форму конфликта с двумя действующими сторонами, преследующими противоположные  интересы.

Такие ситуации возникают, например, тогда, когда речь идет о доверии. Соответствие действий контрагента ожиданиям становится особенно важным в тех ситуациях, когда риск принимаемых индивидом решений определен действиями контрагента. Модели теории игр служат лучшей иллюстрацией сказанному: выбор игроком той или иной стратегии зависит от действий другого игрока.

Доверие заключается в «ожидании определенных действий окружающих, которые влияют на выбор индивида, когда индивид должен начать действовать до того, как станут известными действия окружающих».

Подчеркнем  связь сделок на рынке с доверием в деперсонифицированной форме (доверия в качестве нормы, регулирующей отношения между индивидами), так как круг участников сделок не должен быть ограничен лично знакомыми людьми. Убедиться в необходимости существования доверия в деперсонифицированной форме для осуществления простейшей рыночной сделки с использованием предоплаты помогает следующая модель (рис.2).

Рисунок 2

 

Предположим, что покупателю противостоит множество  продавцов и он из своего предыдущего делового опыта знает вероятность обмана (1 — р). Рассчитаем такую величину p, чтобы сделка состоялась, т. е. «делать предоплату» была эволюционно-стабильной стратегией. EU (делать предоплату) = 10р — 5(1 — р) = 15p — 5,  EU(не делать предоплату) = 0,15p - -5 > 0, р>1/3. Иначе говоря, при уровне доверия покупателя к продавцам меньше 33,3% сделки с предоплатой при заданных условиях становятся невозможными. Иными словами, р= 1/3 является критическим, минимально необходимым уровнем доверия.

Для обобщения  результатов заменим конкретные величины выигрыша (10) и проигрыша (—5) покупателя символами G и L. Тогда при прежней структуре игры сделка состоится при р/1-р> L/G: чем выше величина проигрыша относительно выигрыша, тем выше должен быть уровень доверия между участниками сделки. Джеймс Коулмен следующим образом изобразил зависимость потребности в доверии от условий заключаемой сделки (рис. 3).

 

Рисунок 3

Расчетные данные о минимально необходимом  уровне доверия подтверждаются эмпирически. Так, уровень деперсонифицированного доверия в странах с развитой рыночной экономикой, измеренный с помощью ответа на вопрос: «Исходя из Вашего личного опыта, считаете ли Вы, что окружающим людям можно доверять? », составлял 94% в Дании24, 90 — в ФРГ, 88 — в Великобритании, 84 — во Франции, 72 — на севере Италии и 65% — на юге. Показателен низкий уровень доверия на юге Италии, где традиционно сильна мафия. Не случайно один из исследователей мафии — Д. Гамбетта объясняет ее возникновение критически низким уровнем доверия в южных регионах Италии и, следовательно, потребностью в заменителе доверия, принимающего форму вмешательства «третьей стороны», которой доверяют оба участника сделки.

Еще один яркий пример теории игр – контракты между инвестором и государством на разработку месторождений полезных ископаемых.

Для иллюстрации  этого примера возьмем контракт о купле-продаже стульев с учетом того, что наличие в них зашитых сокровищ, находится под вопросом [8, с. 231]. Изображать пример будем с учетом того, что в рамках теории игр внешние по отношению к намерениям сторон контракта факторы учитываются с помощью введения в игру с двумя участниками третьего игрока, «природы» (рис. 4).

Рисунок 4

Как следует  из представления игры в развернутой  форме, вместо четырех исходов их в игре шесть. И если проблема зависимости выигрыша Остапа от действий машиниста сцены находит свое решение при наличии любого отличного от нуля уровня доверия Остапа, то проблема зависимости выигрыша Остапа от наличия в стульях сокровищ остается неразрешимой, что, впрочем, и подтверждает финал романа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  ВОЗМОЖНЫЕ СТРАТЕГИИ В ПОВТОРЯЮЩИХСЯ ИГРАХ

 

1. Смешанные стратегии. [8, с.83]

 

Когда игроки попадают в определенную ситуацию выбора неоднократно, то их взаимодействие существенным образом усложняется. Они могут  позволить себе комбинировать стратегии, максимизируя общий выигрыш. Покажем  это с помощью модели, описывающей  отношения между Центральным  банком (ЦБ) и экономическим агентом  в связи с проводимой ЦБ кредитно-денежной политикой.

ЦБ ориентируется  либо на жесткую кредитно-денежную политику, стремясь поддержать инфляцию на фиксированном уровне (π₀), либо на эмиссию и, следовательно, повышение темпов инфляции (π₁). В свою очередь, экономический агент действует на основе своих инфляционных ожиданий π_е (устанавливает цены на свою продукцию, решает вопросы о приобретении товаров и услуг и т.д.), которые могут либо подтверждаться, либо не подтверждаться в результате проводимой ЦБ политики. В случае если π₁ > π_е, ЦБ получает прибыль от сеньоража и от инфляционного налога. Если π_е = π₁, то в проигрыше оказывается и ЦБ из-за сокращения поступлений от сеньоража, и экономические агенты, которые продолжают нести тяжесть инфляционного налога. Если π_е = π₀, то сохраняется статус-кво и в проигрыше никто не оказывается. Наконец, если π_е > π₀, то проигрывают только экономические агенты: производители — из-за потери спроса на необоснованно подорожавшую продукцию, потребители — из-за создания неоправданных запасов.

 

В предложенной модели при однократном взаимодействии у агентов нет доминирующих стратегий, отсутствует и равновесие по Нэшу. При повторяющемся многократно взаимодействии, а именно такое взаимодействие и характерно для реальных ситуаций, оба участника могут использовать и ту, и другую имеющуюся у них в распоряжении стратегии. Позволяет ли игрокам чередование стратегий в определенной последовательности максимизировать свою полезность, т. е. достичь равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях: исхода, при котором ни один участник не может увеличить свой выигрыш, изменяя в одностороннем порядке свою стратегию? Предположим, что ЦБ проводит жесткую кредитно-денежную политику с вероятностью Р₁ (в P₁ % случаев), а с вероятностью (1 – Р₁) — инфляционную политику. Тогда при выборе экономическим агентом неинфляционных ожиданий (π_e = π₀) ЦБ может рассчитывать на получение выигрыша, равного EU(ЦБ) = Р₁ 0+, 1 (1 - Р₁) = 1- -P₁ В случае инфляционных ожиданий у экономического агента выигрыш ЦБ составит EU(ЦБ) = Р₁0 + (1 – Р₁)(-2) = 2Р₁ - 2. Теперь допустим, что экономический агент имеет неифляционные ожидания с вероятностью Р₂ (в Р₂ % случаев), а инфляционные ожидания — с вероятностью (1 - Р₂). Отсюда ожидаемая полезность ЦБ составит EU(ЦБ) = Р₂(1 – Р₁) + (1 - Р₂)(2Р₁-2) = =ЗР₂-ЗР₁ Р₂+2Р₁ – 2 (рис. 5).

Рисунок 5

Аналогичные расчеты для  экономического агента дадут EU (э.а.) = Р₁(Р₂- 1) + (1 - Р₁)(-Р₂-2) = 2Р₁Р₂ + Р₁- Р₂-2. Если мы перепишем данные выражения в следующей форме EU(ЦБ) = P_l(2-3P₂) + ЗР₂-2 и EU(э.a.)= =Р₂(2Р₁-1) +Р₁-2, то нетрудно заметить, что при Р₂= ²/₃ выигрыш ЦБ не зависит от его собственной политики, а при Р₁= ¹/₂ выигрыш экономического агента не зависит от его ожиданий.

Иными словами, равновесием по Нэшу в смешанных  стратегиях будет формирование экономическим агентом в ²/₃ случаев неинфляционных ожиданий и проведение ЦБ в половине случаев жесткой кредитно-денежной политики. Найденное равновесие достижимо при условии, что экономические агенты формируют ожидания рациональным образом, а не на основе инфляционных ожиданий в предыдущий период, скорректированных на ошибку прогноза предыдущего периода8. Следовательно, изменения в политике ЦБ влияют на поведение экономических агентов только в той степени, в которой они неожиданны и непредсказуемы. Стратегия ЦБ в 50% случаев проводить жесткую кредитно-денежную политику, а в 50% — мягкую как нельзя лучше соответствует созданию атмосферы непредсказуемости.

 

2. Эволюционно-стабильная стратегия. [8, с.85]

 

Эволюционно-стабильная стратегия — такая стратегия, что если ее использует большинство индивидов, то никакая альтернативная стратегия не может ее вытеснить посредством механизма естественного отбора, даже если последняя более эффективна по Парето.

Разновидностью  повторяющихся игр являются ситуации, когда индивид многократно попадает в определенную ситуацию выбора, но его контрагент не постоянен, а в  каждом периоде индивид взаимодействует  с новым визави. Поэтому вероятность  выбора контрагентом той или иной стратегии будет зависеть не столько  от конфигурации смешанной стратегии, сколько от предпочтений каждого  из контрагентов. В частности, предполагается, что из общего числа N потенциальных контрагентов n (ⁿ/_N%) всегда выбирают стратегию А, а m (^m/_N%) — стратегию Б. Тем самым создаются предпосылки для достижения нового типа равновесия, эволюционно-стабильных стратегий. Эволюционно-стабильной (ESS — Evolutionary Stable Strategy) становится та стратегия, при которой если все члены определенной популяции используют ее, то никакая альтернативная стратегия не может ее вытеснить посредством механизма естественного отбора. Рассмотрим в качестве примера простейший вариант проблемы координации: разъезд на узкой дороге двух автомобилей. Предполагается, что в данной местности лево- и правосторонний стандарты движения равноправны (или же Правила дорожного движения просто не всегда выполняются). Автомобилю А движутся навстречу несколько автомобилей, с которыми ему нужно разъехаться. Если оба автомобиля принимают влево, въезжая на левую обочину по ходу движения, то они разъезжаются без проблем. То же самое происходит, если оба автомобиля принимают вправо. Когда же один автомобиль принимает вправо, а второй — влево и наоборот, Рисунок 6

то разъехаться они не смогут (рис.6).

 

Итак, автомобилисту А известен приблизительный процент автомобилистов Б, систематически принимающих влево (Р), и процент автомобилистов Б, принимающих вправо (1 — Р). Условие для того, чтобы стратегия «принять вправо» стала для автомобилиста А эволюционно-стабильной, формулируется следующим образом: EU(вправо) > EU(влево), или 0P+ 1(1 - Р) > 1Р+ 0(1 - Р), откуда Р< ¹/₂. Таким образом, при превышении доли автомобилистов во встречном потоке, принимающих вправо, уровня 50% эволюционно-стабильной стратегией становится «принять вправо» — сворачивать на правую обочину при каждом разъезде.

В общем  виде требования к эволюционно-стабильной стратегии записываются следующим образом. Стратегия I, используемая контрагентами с вероятностью p, является эволюционно-стабильной для игрока тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия: EU(I, p) > EU{J, p), что тождественно pU(I, I) + (l -p)U(I,J)>pU(J,I) + (1 -p)U(J,J). Из чего следует:

• U(I, I)> U(J, I) или

• U(I, I) = U(J, I ) и U(I, J) > U(J, J),

где —  U(I, I) выигрыш игрока при выборе стратегии I, если контрагент выбирает стратегию I; U(J, I) — выигрыш игрока при выборе стратегии J, если контрагент выбирает стратегию I, и т. д.

Можно представить эти условия  и в графической форме. Отложим по вертикальной оси ожидаемую полезность выбора той или иной стратегии, а по горизонтальной — долю индивидов в общей популяции игроков, выбирающих обе стратегии. Тогда мы получим следующий график (значения взяты из модели разъезда двух автомобилей), изображенный на рис. 7.

Рисунок 7

 

Из рисунка  следует, что и «принять влево», и  «принять вправо» имеют равные шансы  на то, чтобы стать эволюционно-стабильной стратегией до тех пор, пока ни одна из них не охватила больше половины «популяции» водителей. Если же стратегия  перешагивает этот рубеж, то она постепенно, но неизбежно вытеснит другую стратегию и охватит всю популяцию водителей. Дело в том, что, если стратегия перешагивает рубеж 50%, для любого водителя становится выгодным использовать ее в маневрах, что, в свою очередь, еще больше увеличивает привлекательность данной стратегии для остальных водителей. В строгой форме данное утверждение будет выглядеть следующим образом: ^dp/_dt = G [EU(I, p) — EU(J, p)], G'>0.

Главным результатом анализа повторяющихся  игр является увеличение числа точек  равновесия и решение на этой основе проблем координации, кооперации, совместимости  и справедливости. Даже в дилемме заключенных, переход к повторяющемуся взаимодействию позволяет достичь оптимального по Парето результата («отрицать вину»), не выходя за рамки нормы рациональности и запрета на обмен информацией между игроками. Именно в этом смысл «всеобщей теоремы»: любой исход, устраивающий индивида индивидуально, может стать при переходе к структуре повторяющейся игры равновесным. В ситуации дилеммы заключенных равновесным исходом при определенных условиях может стать и простая стратегия «не признавать», и множество смешанных стратегий. В числе смешанных и эволюционных стратегий, отметим следующие: Tit-For-Two-Tats — начинать с отрицания вины и признавать вину, только если в два предшествующих периода кряду контрагент признавал вину; DOWING — стратегия, исходящая из предположения о равновероятном использовании контрагентом стратегий «отрицать вину» и «признавать» в самом начале игры. Далее каждое отрицание вины со стороны контрагента поощряется, а каждое признание — наказывается выбором стратегии «признавать вину» в следующий период; TESTER — начинать с признания вины, и если контрагент тоже признает вину, то в следующем периоде отрицать вину.