Теория нечетких множеств

 

Оглавление 

1. 82. Теория нечетких множеств.…………………… ……………………………….. 2
2. 92. Роль экономического анализа в процессе управления .…………………………..13
3. Задача 12. Определить влияние факторов на эффективность использования основных средств предприятия. Обобщить полученные результаты …………..17

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82.  Теория нечетких множеств

 

Теория множеств представляет собой мощный инструмент математики. Однако, лежащая в ее основе аксиома  исключенного третьего, утверждающая, что элемент либо принадлежит  множеству, либо не принадлежит, часто делает эту теорию неприменимой в реальных задачах, в которых применяются нечеткие оценки, такие как: «большая прибыль», «высокое давление»,  «умеренная температура», «надежные инструменты», «безопасные условия» т.п. К сожалению, подобные высказывания не могут быть адекватно формализованы обычными математическими методами.

Если мы хотим учесть точное значение нечеткого терма, то четкое разделение элементов (например, значений давления) на те, которые принадлежат терму «высокое», и те, которые не принадлежат, является искусственным. Это происходит в первую очередь потому, что некоторые значения могут восприниматься как «высокое давление с некоторой натяжкой», «не совсем высокое давление», «не совсем невысокое давление» и др.

Попытка развития формального  аппарата для вовлечения частичной  принадлежности в теорию множеств была предпринята в середине 60-х годов  Заде [15]. Он ввел понятие нечеткого  множества как собрания элементов, которые могут принадлежать этому  множеству со степенью от 0 до 1. Причем 0 обозначает абсолютную непринадлежность, а 1 - абсолютную принадлежность множеству. Это было сделано путем применения понятия функции принадлежности, которая ставит в соответствие каждому  элементу универсального множества  число из интервала [0,1], обозначающее степень принадлежности. Понятие  функции принадлежности является обобщением понятия характеристической функции  четкого множества, которая оперирует  значениями . Поэтому основные свойства и операции над нечеткими множествами, введенные Заде и его многочисленными последователями, являются обобщениями соответствующих свойств и операций классической теории множеств.

С момента своего возникновения  теория нечетких множеств вызвала беспрецедентный  рост интереса практически во всех отраслях науки и техники.

 

 

 

Основные понятия  теории нечетких множеств

 

Пусть - универсальное множество, т.е. полное множество, охватывающее всю проблемную область.

 

Определение 1. Нечеткое множество представляет собой набор пар , где и - функция принадлежности, которая представляет собой некоторую субъективную меру соответствия элемента нечеткому множеству .

может принимать значения от нуля, который  обозначает абсолютную не принадлежность, до единицы, которая, наоборот, говорит  об абсолютной принадлежности элемента нечеткому множеству . Иногда удобно рассматривать значение как степень совместимости элемента с размытым понятием, представленным нечетким множеством .

Часто нечеткое множество  и его функцию принадлежности рассматривают как взаимозаменяемые понятия.

Если множество  заменить на , то функция принадлежности будет представлять собой характеристическую функцию обыкновенного (не нечеткого) множества.

Если нечеткое множество  определено на конечном универсальном множестве , то его удобно обозначать следующим образом:

,

где < > - пара <функция принадлежности / элемент>, называемая синглтоном, а < + > - обозначает совокупность пар.

 

Пример 1. Пусть . Тогда нечеткое множество <большие числа> может быть представлено следующим образом:

<большие числа>=0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10.

Это можно понимать следующим  образом: 9 и 10 с абсолютной уверенностью можно отнести к <большим числам>, 8 есть <большое число> со степенью 0.8 и т.д. 1,2,...5 абсолютно не являются <большими числами>.

На практике удобно использовать кусочно-линейную аппроксимацию функции  принадлежности нечеткого множества  как это показано на рис. 1.1, так  как требуется только два значения - и .

В случае непрерывного множества  используется следующее обозначение:

.

(Знак  в этих формулах обозначают совокупность пар ) .

 

Свойства нечетких множеств

а) нечеткое множество  пустое, т.е. , если , .

б) нечеткие множества  и эквивалентны, т.е. , если

, .

в) нечеткое множество  является подмножеством нечеткого множества , т.е. , если , .

 

Пример 2. Пусть ,

0.3/1 + 0.5/2 + 1/3,

0.4/1 + 0.6/2 + 1/3.

Тогда .

Кардинальное  число (мощность) нечеткого множества

находится следующим образом:

.

 

Пример 3. Если и 0.1/1 + 0.4/2 + 0.7/3 + 1/4,

то  =2.2.

 

Операции над  нечеткими множествами

 

а) Дополнением нечеткого множества называется нечеткое множество , функция принадлежности которого равна:

, .

б) Пересечением двух нечетких множеств и называется нечеткое множество , функция принадлежности которого равна:

, ,

где - знак операции минимума.

в) Объединением двух нечетких множеств и называется нечеткое множество , функция принадлежности которого равна:

, ,

• - знак операции максимума.

Пример 4. Пусть ,

<малые числа> = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.5/4 + 0.3/5 + 0.1/6,

<большие числа> = 0.1/5 + 0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10,

Тогда

<НЕ малые числа> = 0.2/3 + 0.5/4 + 0.7/5 + 0.9/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 +1/10,

= <малые числа> И <большие  числа> = 0.1/5 + 0.1/6,

= <малые числа> ИЛИ <большие  числа> = 1/1 + 1/2 + 0.8/3 + 0.5/4 + 0.3/5 + 0.2/6 + 0.5/7 + 0.8/8 + 1/9 + 1/10.

Приведенные определения  операций над нечеткими множествами  являются наиболее распространенными, однако существуют и другие определения, использующие и нормы [84].

 

Определение 2. нормой называется отображение :

,

если: 

а) a t 1 = a 

б) a t b = b t a  

в) a t b c t d, если a c, b d 

г) a t b t c = a t (b t c).

Примеры норм: 

- наиболее распространенная, 

, 

, .

 

Определение 3. нормой называется отображение :

,

если:  

а) a s 0 = a 

б) a s b = b s a  

в) a s b c s d, если a c, b d 

г) a s b s c = a s (b s c).

Примеры норм:

- наиболее распространенная,

, .

 

 

Некоторые дополнительные понятия

 

Определение 4. срезом (множеством уровня ) нечеткого множества , называется (четкое) множество такое, что

, .

 

Пример 5. Если 1/1 + 0.8/2 + 0.5/3 + 0.1/4, то , , .

Принцип обобщения [15] дает формальный аппарат для переноса операций (арифметических, алгебраических) с обычных множеств на нечеткие.

Пусть функция  представляет собой отображение и есть нечеткое множество в . В соответствии с принципом обобщения, функция отображает нечеткое множество в нечеткое множество такое, что:

.

 

Пример 6. Пусть , и .  
Если теперь 0.1/1 + 0.2/2 + 0.7/3 + 1/4, то 0.1/3 + 0.2/4 + 0.7/5 +1/6.

 

Нечеткие отношения

 

Пусть и .

 

Определение 5. Нечетким отношением называется нечеткое множество, определенное на декартовом произведении , которому соответствует функция принадлежности .

отражает силу зависимости между  и .

Пример 7. Пусть { конь, осел } и { мул, корова }. Нечеткое отношение <подобный> может быть определено следующим образом:

<подобный> = 0.8/(конь, мул) + 0.4/(конь, корова) + 0.9/(осел, мул) + 0.5/(осел, корова) ,

т. е. конь похож на мула со степенью 0.8, конь похож на корову со степенью 0.4 и т.д.

Определение 6.  Если и , то max-min композицией называется нечеткое множество , определенное на , функция принадлежности которого имеет вид:

Max-min композиция позволяет ответить на вопрос, какое нечеткое множество в следует поставить в соответствие нечеткому множеству , если известно, что нечеткое множество соответствует нечеткому множеству .

Операция нахождения такого соответствия называется нечетким логическим выводом и выполняется по следующей формуле:

,

где - нечеткое отношение:

,

- max-min композиция, в соответствии с которой:

,

, .

Нечеткие числа

 

Введенный принцип обобщения  является служит для переноса четких отношений в нечеткие. Например, его можно применить для определения  нечеткой арифметики.

Определение 7. Нечеткое число это нечеткое множество , определенное на множестве действительных чисел , если его функция принадлежности нормальна и выпукла, т. е.

,

.

Примеры нечетких чисел: <около 5>, <чуть больше 7>.

В соответствии с принципом  обобщения, арифметические операции над  нечеткими числами имеют вид:

·   сложение ,

·   вычитание ,

·   умножение ,

·   деление ,

К сожалению, использование  принципа обобщения для определения  арифметических операций над нечеткими  числами в общем довольно неэффективно. Поэтому часто предполагается, что  нечеткие числа представляются в  -форме, что соответствует описанию левой (left) и правой (right) частей функции.

Нечеткое число  представляется в -форме, если:

,

где и - функции, обладающие свойствами:

а)

б)

в) монотонно убывает она промежутке .

Здесь - среднее значение нечеткого числа , -отклонение слева, - отклонение справа.

Если  , то нечеткое число переходит в четкое число .

Таким образом, -форму нечеткого числа можно представить в виде тройки . Арифметические операции над нечеткими числами можно определить через операции над соответствующими им тройками:

На практике -представление упрощается за счет применения линейных функций, что приводит к треугольным нечетким числам (рис. 1.2а), которые имеют функцию принадлежности вида:

,

Кроме того, получили распространение  трапециевидные формы функций принадлежности (рис. 1.2б), которые имеют функции  принадлежности вида:

.

Нечеткость и  вероятность

 

Новички в теории нечетких множеств часто пытаются сопоставить  ее с теорией вероятности. Однако, обе эти теории трудно сравнивать поскольку они по-разному формализуют  неопределенность. В теории вероятностей рассматривается статистическая неопределенность, например, вероятность поражения цели равна 0.9. Теория нечетких множеств позволяет работать с лингвистической неопределенностью, например, меткий стрелок. Эти виды неопределенности формализуются с помощью:

·   функций распределения - в теории вероятностей,

·   функций принадлежности - в теории нечетких множеств.

Принципиальное различие двух указанных распределений иллюстрирует пример, который любит приводить  основоположник теории нечетких множеств Л. Заде [85].

 

Пример 8. Рассмотрим утверждение <Автор съедает яиц на завтрак>,

.

Величине  , которая является неопределенным параметром, могут соответствовать распределения возможности и вероятности.

Распределение возможности  может быть интерпретировано как степень (субъективная мера) легкости, с которой Автор съедает яиц. Для определения вероятностного распределения необходимо проследить за Автором на протяжение 100 дней.

Оба распределения представлены ниже.

Распределение возможности  и вероятности

	1	2	3	4	5	6	7	8
	1	1	1	1	0.8	0.6	0.4	0.2
	0.1	0.8	0.1	0	0	0	0	0

Мы видим, что высокая  степень возможности  никак не означает такую же высокую степень вероятности . Но бесспорно одно: если событие невозможно, то оно также и невероятно.

Принципиальное отличие  теории вероятности от теории возможности  состоит в том, что в этих теориях  по-разному выполняется аксиома  дополнения:

- для теории вероятности.

- для теории возможности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

92. Роль экономического анализа в процессе управления.

 

 Экономический анализ  представляет собой объективно  необходимый элемент управления  производством и является этапом  управленческой деятельности. При  помощи экономического анализа  познается сущность хозяйственных  процессов, оценивается хозяйственная  ситуация, выявляются резервы производства  и подготавливаются научно обоснованные  решения для планирования и  управления. Многообразие функций  экономического анализа в системе  управления производством порождает  многообразие его целей и задач,  содержания, методов и организационных  форм. Особую роль экономический  анализ играет в рыночной экономике,  где он во многом носит ситуационный  характер, приспосабливаясь к условиям  неопределенности, характерным для  рыночной экономики.

Хозяйственная деятельность предприятий осуществляется в условиях рыночной экономики. Основными принципами рыночной экономики являются:

- многообразие форм собственности  и преобладание частной собственности;

- наличие рынков труда,  капиталов, товаров и услуг: