Теория портфеля Г. Марковица

Рис. 1. Зона возможных существований портфелей

Заштрихованная  площадь S представляет зону возможного существования портфелей, создаваемых из n выбранных ценных бумаг.

Для другого  набора этих же ценных бумаг с определенным “весом” каждой бумаги получим  другое соотношение ожидаемой доходности и риска (например, точка N на рис. 1). Можно показать, что из любого ограниченного набора ценных бумаг, выбранных инвестором, путем варьирования их “веса” можно получить бесконечное количество портфелей2. Если для каждого из портфелей определить ожидаемую доходность и стандартное отклонение, отложить их на графике (рис. 1), то получим совокупность точек – зону, определяющую все возможные портфели для выбранного количества ценных бумаг.

Строго говоря, для того, чтобы портфелей было бесконечно много необходимо допустить, что каждая ценная бумага может быть разделена, то есть инвестор способен приобрести часть облигации или акции. Без такого допущения количество портфелей будет хоть и велико, но ограниченно.

Ключ к  решению проблемы выбора оптимального портфеля лежит в теореме о  существовании эффективного набора портфелей, так называемой границы эффективности. Суть теоремы сводится к выводу о том, что любой инвестор должен выбрать из всего бесконечного набора портфелей такой портфель, который:

1. Обеспечивает  максимальную ожидаемую доходность  при каждом уровне риска.

2. Обеспечивает  минимальный риск для каждой  величины ожидаемой доходности. [19, с.90]

Иначе говоря, если инвестор выбрал n ценных бумаг  со своими характеристиками [E(ri); σi; σij; ρij, где i,j = 1,2,…,n], то найдется только одна комбинация ценных бумаг в портфеле, минимизирующая риск портфеля при каждом заданном значении ожидаемой доходности портфеля. Если обратиться к рисунку 1, то вывод теоремы сводится к тому, что какую бы величину ожидаемой доходности не определил инвестор (например, E(rm) на рис. 1), всегда путем перебора весов ценных бумаг портфеля можно найти такой портфель, при котором уровень риска достигает минимального значения (на рис.1 – точка М).

Набор портфелей, которые минимизируют уровень риска  при каждой величине ожидаемой доходности, образует так называемую границу эффективности – на рис. 1 это линия R. Как видно из данного рисунка, при перемещении по границе вверх-вправо величины E(r) и σ увеличиваются, а при движении вниз-влево – уменьшаются.

Итак, эффективный  портфель – это портфель, который обеспечивает минимальный риск при заданной величине E(r) и максимальную отдачу при заданном уровне риска.

Как отмечалось, на риск портфеля основное влияние  оказывает степень корреляции доходностей  входящих в портфель ценных бумаг – чем ниже уровень корреляции, то есть чем ближе коэффициент корреляции приближается к (- 1), тем ниже риск портфеля. Тогда можно предположить, что путем диверсификации – изменения количества входящих в портфель ценных бумаг и их весов – инвестор способен снизить уровень риска портфеля, не изменяя при этом его ожидаемой доходности.

Та часть  риска портфеля, которая может  быть устранена путем диверсификации, называется диверсифицируемым, или  несистематическим риском. Доля же риска, которая не устранятся диверсификацией, носит название недиверсифицируемого, или систематического риска.

Если портфель состоит из более чем из 2 ценных бумаг, то для любого заданного уровня доходности существует бесконечное  число портфелей, или, иными словами, можно сформулировать бесконечное количество портфелей, имеющих одну и ту же доходность.

Тогда задача инвестора сводится к следующему: из всего бесконечного набора портфелей  с ожидаемой нормой отдачи E(rn) необходимо найти такой, который обеспечивал  бы минимальный уровень риска. Иными словами, можно задачу инвестора свести к следующему:

необходимо  найти минимальное значение дисперсий  портфеля

[3]

при заданных начальных условиях:

E(rпортфеля) = [4]

[5]

Существуют  три способа решения подобного  рода задач – графический, математический и с использованием компьютерных программ.

Графический способ был предложен Г. Марковицем. Необходимо учитывать, что при n > 3 этот способ мало применим, поскольку  не позволяет графически представить  границу эффективных портфелей. Математический способ позволяет оптимизировать портфель, содержащий много больше ценных бумаг, и широко используется на практике. Наконец, с помощью специальных программ можно решать подобные задачи с дополнительными начальными условиями.

Итак, для  решения задачи нахождения оптимального портфеля, содержащего n ценных бумаг, необходимо первоначально вычислить:

а) n значений ожидаемой доходности E(ri), где i = 1, 2,…, n каждой ценной бумаги в портфеле;

б) n значений дисперсий σ2i каждой ценной бумаги;

в) n(n-1)/2 значений ковариации σi,j, где i,j = 1, 2,…, n.

Способы их вычисления приведены ранее. Если подставить значения E(ri), σi и σi,j в уравнения (1) - (3), то выясняется, что в этих уравнениях неизвестными оказываются только величины Wi – “веса” каждой ценной бумаги в портфеле. Следовательно, задача формирования оптимального портфеля из n акций, по сути дела, сводится к следующему: для выбранной величины доходности Е* инвестор должен найти такие значения Wi, при которых риск инвестиционного портфеля становится минимальным. Иначе говоря, для выбранного значения Е* инвестор должен определить, какие суммы инвестиционных затрат необходимо направить на приобретение той или иной ценной бумаги, чтобы риск инвестиционного портфеля оказался минимальным.

В теории Марковица  инвесторы стремятся сформировать портфель ценных бумаг, чтобы максимизировать получаемую полезность. Иными словами, каждый инвестор желает таким образом сформировать портфель, чтобы сочетание ожидаемой доходности E(r) и уровня риска σ портфеля приносило бы ему максимальное удовлетворение потребностей и минимизировало риск при желаемой доходности. Разные инвесторы имеют отличные друг от друга мнения об оптимальности сочетания E(r) и σ, поскольку отношение одного инвестора к риску не похоже на желание рисковать другого инвестора. Поэтому, говоря об оптимальном портфеле, надо иметь в виду, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные в виду того, что эта категория сугубо индивидуальна, и оптимальные портфели разных инвесторов теоретически отличаются друг от друга. Тем не менее каждый оптимальный портфель непременно является эффективным, то есть инвесторы выбирают удовлетворяющий их (оптимальный) портфель из эффективных портфелей.  
 
 
 

3 Применение  теории портфельного инвестирования  Марковица на российском фондовом рынке с помощью системы MoneyMaker  

Применение  теории Марковица всегда вызывало много  споров, особенно в условиях российского  фондового рынка. Считается, что  основная трудность применения этой портфельной теории - невозможность  корректно оценить ожидаемую доходность актива, ее среднеквадратичное отклонение и взаимосвязь с другими активами на какой-либо длительный срок. По теории Марковица, инвестор выбирает оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для заданного уровня риска и минимальный уровень риска для некоторой ожидаемой доходности. Выполнение того и другого условия подразумевает, что инвестор предполагает (прогнозирует) доходность, которая может быть получена за определенный период в будущем по каждому активу, который может быть включен в портфель, и оценивает матрицу ковариаций этих доходностей для оценки взаимосвязей между активами и расчета предполагаемого риска инвестиционного портфеля. Если за оценку матрицы ковариаций, на какой-то более-менее короткий срок, можно принять матрицу выборочных ковариаций, расчитанную по предыдущим значениям доходностей, то анализ будущего движения цен активов целиком и полностью связан с профессиональной подготовкой самого портфельного менеджера.

Как известно, существуют два основных метода анализа  цен - фундаментальный и технический. Фундаментальный анализ позволяет  сделать прогноз цен с точки  зрения финансово-экономических факторов, а технический анализ выявляет психологический  настрой участников фондовой торговли, их готовность покупать или продавать те или иные акции, а значит, сигнализирует о будущем изменении цен. Фундаментальный анализ - это тяжелые, трудоемкие исследования, требующие большого финансирования или дополнительных немалых затрат, если результаты фундаментального анализа приобретаются у рейтинговых или аналитических агентств. Издержки на собственные фундаментальные исследования в отдельных случаях могут быть соизмеримы с доходами инвесторов от операций с ценными бумагами. Кроме того, например, если по результатам фондового анализа стало известно, что рынок "неправильно" оценивает какую-либо акцию сейчас, то где гарантии, что он "исправит" это положение в будущем? Таким образом, фундаментальный анализ способен давать прогноз цен акций на дальнюю временную перспективу, однако риск такого прогноза не поддается корректной формализации и растет с увеличением срока прогноза. Технический анализ относительно дешев, позволяет быстро проанализировать большое число акций и не требует создания больших баз данных. Однако, в отличие от фундаментального анализа, технический анализ не позволяет делать прогноз цен акций на более далекую перспективу. Как правило, краткосрочный прогноз, сделанный с применением технического анализа, позволяет предположить только тенденцию (вверх или вниз) в изменении цены, но не сами цены. В то же время риск такого краткосрочного прогноза может быть достаточно хорошо оценен по предыдущим изменениям актива. (Как показано в {1}, матрица ковариаций акций приватизированных предприятий ведет себя достаточно стабильно.) Следовательно, для применения теории Марковица наиболее корректно можно использовать результаты технического анализа, при допущении, например, одинаковой ожидаемой доходности для всех активов [4, с. 56].

Для проверки этой идеи будем основываться на результатах  технического анализа индекса РТС. Для наглядности и простоты представления  результатов портфель будет формироваться  из акций трех независимых компаний - НК "ЛукОйл", РАО ЕЭС и АО "Ростелеком", торгуемых на ММВБ. За цену покупки (продажи) будет приниматься средневзвешенная цена на ММВБ на дату операции. В момент формирования портфеля предполагается, что ожидаемая доходность всех активов одинаковая, т.е. портфель будет вычисляться по критерию минимального риска для ожидаемой доходности. Для принятия решения о формировании инвестиционного портфеля или его продажи будем применять следующую торговую схему: 1. Анализируется динамика индекса РТС (рис. 1). По результатам анализа решение об операциях принимается для следующего торгового дня. 1.2 Сигнал "Купить (Продать)" формируется, когда %K Slow Stochastic {2} пересекает %D Slow Stochastic снизу вверх (сверху вниз)(Параметры Slow Stochastic: 14-3-5-10). 1.3 Сигнал "Купить" формируется, когда обе кривые (%K и %D) находятся ниже границы 20%, а огибающая MACD гистограммы {2} двинулась вверх (Параметры MACD: 12-25-9). 1.4 Сигнал "Продать" формируется, когда обе кривые (%K и %D) находятся выше границы 80%, а огибающая MACD гистограммы двинулась вниз. Совокупность перечисленных сигналов позволяет выявлять моменты изменения тренда в динамике индекса РТС. При смене тренда с отрицательного на положительный (индекс перестал снижаться и начал расти) системой генерится сигнал "Купить", и, соответственно, если тренд меняется с положительного на отрицательный (индекс РТС начал падать), генерится сигнал "Продать". 2. После появления сигнала "Купить" расчитывается структура инвестиционного портфеля. Для этого используются временные ряды 14-дневных доходностей, вычисленных для каждой из указанных акций. Ряды доходностей формируются следующим образом. На определенную дату расчитывается доходность, которая могла бы быть получена по акции, если бы она была куплена 14 дней назад (за цену покупки/продажи принимается средневзвешенная котировка ММВБ).

После получения  сигнала "Продать" все акции  продаются и инвестор переходит  в ожидание следующего сигнала "Купить".

Операции. Предположим, что на 01/09/97 у инвестора имелась  одна условная единица капитала. Инвестирование будет производиться в соответствии с описанной выше торговой схемой. (Все необходимые расчеты и вычисления оптимального портфеля проводились с помощью программных пакетов "Финансовый портфель" и "Мoney Maker" АО ВИСТА, а также программы технического анализа "Windows on Wall Street" MarketArts Inc.)

Наряду с  оптимальным по Марковицу портфелем, для сравнения, будет формироваться  альтернативный портфель из тех же акций, доля каждой акции в котором  будет одинаковой и равной 1/3.

03/09/97 появился  сигнал "Купить" (метка А рис.1)(Обе кривые Slow Stochastic оказались ниже уровня 20%, а огибающая MACD гистограммы направлена вверх.На графике Stochastic %K обозначен сплошной линией, а %D-пунктирной). Портфель, расчитанный по Марковицу, составил (0, 0, 1), т.е. весь капитал должен быть инвестирован в акции АО "Ростелеком".

04/09/97 были  куплены акции АО "Ростелеком" по цене 25.85 руб (цены в деноминированных  рублях). Одновременно был куплен  альтернативный портфель с весами (1/3, 1/3, 1/3) по ценам соответственно  НК Лукойл-145.25 руб., РАО ЕЭС - 2.32 руб. и АО "Ростелеком"-25.85 руб. (табл. 1 и 2).

26/09/97 появился  сигнал "Продать" (метка B рис.1)(%K пересек %D сверху вниз).

29/09/97 портфели  были проданы по ценам соответственно (141.95 руб., 2.32руб. и 25.51руб.).

01/10/97 появился сигнал "Купить" (метка C рис.1 )(%K пересек %D снизу вверх). Портфель, расчитанный по Марковицу, составил (0.51, 0.37, 0.12).

02/10/97 были  куплены акции по ценам соответственно (153.68 руб., 2.44 руб. и 25.72 руб.)(Табл. 1 и 2). 08/10/97 появился сигнал "Продать" (метка D рис.1)(%K и %D выше 80%, огибающая MACD гистограммы направлена вниз).

09/10/97 портфели  были проданы по ценам соответственно (156.19 руб, 2.5 руб. и 25.92 руб.).

14/11/97 появился  сигнал "Купить" (метка E рис.1 )(Обе  кривые Slow Stochastic оказались ниже уровня 20%, а огибающая MACD гистограммы направлена вверх). Портфель, расчитанный по Марковицу, составил (0.37, 0.08, 0.55).

17/11/97 были  куплены акции по ценам соответственно (105.16 руб., 1.42 руб. и 15.68 руб.)(Табл. 1 и 2).

28/11/97 появился сигнал "Продать" (метка F рис.1)(%K пересек %D сверху вниз).