Листы рабочей тетради на тему «Переходные процессы»

Принужденная  составляющая тока (напряжения) физически представляет собой составляющую, изменяющуюся с той же частотой, что и действующая в схеме принуждающая ЭДС. Если в схеме действует принуждающая синусоидальная ЭДС частоты со, то принужденная составляющая любого тока и любого напряжения в схеме является соответственно синусоидальным током (синусоидальным напряжением) частоты ω.

Определяются  принужденные составляющие в цепи синусоидального  тока с помощью символического метода. Если в схеме действует источник постоянной ЭДС (как, например, в схеме рис. 2), то принужденный ток есть постоянный ток.

Постоянный  ток через конденсатор не проходит, поэтому принужденная составляющая тока через него в цепях с источниками постоянной ЭДС равна нулю. Кроме того, напомним, что паление напряжения на индуктивной катушке от неизменного во времени тока равно нулю.

В линейных электрических цепях свободные  составляющие токов и напряжений затухают во времени по показательному закону e^pt. Так, в рассмотренном примере . С увеличением времени t множитель быстро уменьшается. Название "свободная” объясняется тем, что эта составляющая есть решение уравнения, свободного от вынуждающей силы (однородного уравнения без правой части).

Из трех токов (полного, принужденного и свободного) и трех напряжений (полного, принужденного и свободного) основное значение имеют полный ток и полное напряжение.

Полный ток  является тем током, который в действительности протекает по той или иной ветви при переходном процессе. Его можно измерить и записать на осциллограмме. Аналогично, полное напряжение — это напряжение, которое в действительности имеется между некоторыми точками электрической цепи при переходном процессе. Его также можно измерить и записать на осциллограмме.

Принужденные  и свободные составляющие токов  и напряжений во время переходного процесса играют вспомогательную роль; они являются теми расчетными компонентами, сумма которых дает действительные величины.

Обоснование невозможности скачка тока через  индуктивную катушку и скачка напряжении на конденсаторе.

Доказательство  того, что ток через индуктивную  катушку не может изменяться скачком, проведем на примере схемы рис. 2. По второму закону Кирхгофа

 

Ток i и ЭДС Е могут принимать конечные (не бесконечно большие) значения.

Допустим, что  ток i может измениться скачком. Скачок тока означает, что за бесконечно малый интервал времени Δt→0 ток изменится на конечное значение Δi. При этом Δi/Δt→∞. Если вместо в уравнение (1) подставить ∞, то его левая часть не будет равна правой части и не будет выполнен второй закон Кирхгофа.

Следовательно, допущение о возможности скачкообразного изменения тока через индуктивную катушку противоречит второму закону Кирхгофа.

Ток через L не может изменяться скачком, но напряжение на L, равное , скачком измениться может. Это не противоречит второму закону Кирхгофа.

Доказательство  того, что напряжение на конденсаторе не может изменяться скачком, проводится аналогично.

Обратимся к  простейшей цепи с конденсатором (рис. 3). Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа:

 

где Е — ЭДС источника, конечная величина; — напряжение на конденсаторе.

Рисунок 3

Так как , то

                                          (4)

Если допустить, что напряжение ис может измениться скачком, то и левая часть (4) не будет равна правой части. Отсюда следует, что допущение о возможности скачкообразного изменения напряжения на конденсаторе противоречит второму закону Кирхгофа. Однако ток через конденсатор, равный , может изменяться скачком; это не противоречит второму закону Кирхгофа.

Из указанных  двух основных положений следуют  два закона (правила) коммутации.

Первый  закон (правило) коммутации.

Ток через  индуктивный элемент L непосредственно до коммутации i_L(0_-) равен току через этот же индуктивный элемент непосредственно после коммутации i_L(0₊):

                                            (5)

Время t = представляет собой время непосредственно до коммутации, t = — после коммутации. Равенство (5) выражает собой первый закон коммутации.

Второй закон (правило) коммутации.

Обозначим напряжение на конденсаторе непосредственно до коммутации , а напряжение на нем непосредственно после коммутации .

В соответствии с невозможностью скачка напряжения на конденсаторе

                                            (6)

Равенство (6) выражает собой второй закон коммутации.

Перед тем  как приступить к изучению методов расчета переходных процессов, необходимо условиться о некоторых дополнительных определениях.

Начальные значения величин.

Под начальными значениями величин (в литературе их называют еще начальными условиями) понимают значения токов и напряжений в схеме при t=0.

Как уже отмечалось, токи через индуктивные элементы и напряжения на конденсаторах непосредственно после коммутации равны их значениям непосредственно до коммутации. Остальные величины: напряжения на индуктивных элементах, напряжения на резисторах, токи через конденсаторы, токи через резисторы могут изменяться скачком, и поэтому их значения после коммутации чаще всего оказываются не равными их значениям до коммутации. Поэтому следует различать докоммутационные и послекоммутационные начальные значения.

Докоммутационными начальными значениями называют значения токов и напряжений непосредственно до коммутации (при t=0_- ); послекоммутационными начальными значениями — значения токов и напряжений непосредственно после коммутации (при t=0₊).

Независимые и зависимые (послекоммутационные) начальные значения.

Для любой  схемы после коммутации в ней  можно записать уравнения по законам  Кирхгофа и из этих уравнений определить значения токов во всех ветвях и напряжений на любых участках схемы в послекоммутационном режиме(при t=0₊).

С этой целью  значения токов в ветвях, содержащих индуктивные элементы, и значения напряжений на конденсаторах берут равными тем значениям, которые они имели до коммутации при t=0_- , а остальные токи и напряжения после коммутации при t=0₊ находят из уравнений Кирхгофа, поскольку часть слагаемых в них известна.

Значения  токов через индуктивные элементы и напряжений на конденсаторах, известные  из доком мутационного режима, условимся называть независимыми начальными значениями.

Значения  остальных токов и напряжений при t=0₊ в послекоммутационной схеме, определяемые по независимым начальным значениям из законов Кирхгофа, будем называть зависимыми начальными значениями.

Нулевые и ненулевые начальные условия.

Если к  началу переходного процесса непосредственно  перед коммутацией все токи и  напряжения на пассивных элементах  схемы равны нулю, то в схеме  имеют место нулевые начальные условия. Если же к началу переходного процесса хотя бы часть токов и напряжений в схеме не равны нулю, то в схеме имеют место ненулевые начальные условия.

При нулевых  начальных условиях токи в индуктивных  элементах и напряжения на конденсаторах  начнут изменяться с нулевых значений, при ненулевых условиях — с  тех значений, которые они имели  непосредственно до коммутации.

Составление уравнений для свободных токов  и напряжений.

Для послекоммутационной схемы составляют уравнения по законам Кирхгофа для полных токов и напряжений, так же как это делалось и раньше: сначала обозначают токи в ветвях и произвольно выбирают для них положительные направления, затем составляют уравнения по первому и второму законам Кирхгофа. Так, для

Рисунок 4

схемы 4, а после выбора положительных направлений для  токов имеем:

;

;

.

В этих уравнениях i₁,i₂ и i₃ — полные токи. Каждый из них состоит из свободного и принужденного токов. Для того чтобы от этой системы уравнений перейти к уравнениям для свободных токов, «освободим» систему от вынуждающих ЭДС (в нашем случае от ЭДС Е) и вместо i₁ запишем i_1св вместо i_св — i_2св и т. д. В результате получим:

;

;                                 (7)

.

Заметим, что  для любого контура любой электрической  цепи сумма падений напряжений от свободных составляющих токов равна  нулю.

Составление характеристического уравнения  системы.

Число алгебраических уравнений равно числу неизвестных  свободных токов. Положим, что р известно (в действительности оно пока не найдено и будет определено в дальнейшем) и решим систему (7) относительно i_1св,i_2св и i_3св:

;  ;  ,

где Δ – определитель системы. В рассмотренном примере

.

Определитель Δ₁ получим из выражения для определителя Δ путем замены первого столбца правой частью уравнений (7):

.

Определитель  Δ₂ получим из выражения для Δ путем замены второго столбца правой частью системы (7) и т. д.

Так как в  правой части системы (7) находятся  нули, то в каждом определителе Δ₁, Δ₂ и Δ₃ один из столбцов будет состоять из нулей.

Известно, что  если в определителе один из столбцов состоит из

нулей, то этот определитель равен  нулю. Следовательно, Δ₁ = 0; Δ₂ = 0; Δ₃ = 0.

Из физических соображений ясно, что каждый из свободных токов не может быть равен нулю, ибо в этом случае не будут выполнены законы коммутации. Однако из предыдущего следует, что i_1св = 0/Δ, i_2св = 0/Δ и i_3св = 0/Δ.

Свободные токи могут быть не равны нулю в том случае, когда  определитель системы

Δ = 0.                                                 (8)

Таким образом, определитель Δ алгебраизированной системы уравнений должен равняться нулю.

Уравнение Δ = 0 называют характеристическим уравнением. Единственным неизвестным в нем является р.

Свойства  корней характеристического уравнения.

Число корней характеристического уравнения  равно степени этого уравнения. Если характеристическое уравнение  представляет собой уравнение первой степени, то оно имеет один корень, если второй степени — два корня  и т. д. Уравнение первой степени  имеет всегда отрицательный действительный (не мнимый и не комплексный) корень.

Уравнение второй степени может иметь: а) два действительных неравных отрицательных корня; б) два  действительных равных отрицательных  корня; в) два комплексно-сопряженных  корня с отрицательной действительной частью.

Уравнение третьей  степени может иметь: а) три действительных неравных отрицательных корня; б) три действительных отрицательных корня, из которых два равны друг другу; в) три действительных равных отрицательных корня; г) один действительный отрицательный корень и два комплексно-сопряженных с отрицательной действительной частью.

Классический метода расчета переходных процессов.

Классическим  методом расчета переходных процессов  называют метод, в котором решение  дифференциального уравнения представляет собой сумму принужденной и свободной  составляющих. Определение постоянных интегрирования, входящих в выражение  для свободного тока (напряжения), производят путем совместного решения системы  линейных алгебраических уравнений  по известным значениям корней характеристического  уравнения, а также, по известным  значениям свободной составляющей тока (напряжения) и ее производных, взятых при t = 0₊.

Логарифм  как изображение числа.

Известно, что  для выполнения операций умножения, деления, возведения в степень и  извлечения корня из многозначных чисел  целесообразно пользоваться логарифмами.

Действительно, операция умножения сводится к сложению логарифмов, операция деления —  к вычитанию логарифмов и т. д. Таким образом, произвести расчет легче  в силу того, что сравнительно сложная  операция сводится к более простой. Каждому числу соответствует свой логарифм, поэтому логарифм можно рассматривать как изображение числа. Так, 0,30103 есть изображение (логарифм) при основании 10 числа 2.

Комплексные изображения синусоидальных функций.

С понятием изображения встречаются также  при изучении символического метода расчета цепей синусоидального  тока. Согласно символическому методу, комплексная амплитуда есть изображение  синусоидальной функции. Так, I_m — изображение синусоидального тока I_msin(ωt + φ). Между изображением числа в виде логарифма и изображением синусоидальной функции времени в виде комплексного числа имеется существенная разница. В первом случае речь идет об изображении числа (не функции), во втором — об изображении функции времени.

Подобно тому как введение логарифмов упростило проведение операций над числами, введение комплексных изображений синусоидальных функций времени позволило упростить операции над функциями времени.

Преобразование  Лапласа.

Условимся под  р понимать комплексное число 

р = а + jb,                                                        (9)

где а — действительная, а jb — мнимая части комплексного числа (в ряде книг вместо буквы р пишут s).

В дальнейшем в соответствии с установившейся практикой коэффициент b с учетом знака условимся называть не коэффициент том при мнимой части комплекса (чем он в действительности является), а мнимой частью. Функцию времени (ток, напряжение, ЭДС, заряд) обозначают •/(/) и называют оригиналом. Ей соответствует функции Р(р), называемая изображением, которая определяется следующим образом: