Математические основы измерений в психологии

4. Задачи, с которыми чаще всего имеет дело психолог и применение для их решения матметодов

Первый тип задач. Психологу нужно дать сжатую и достаточно информативную характеристику психологических особенностей какой-то выборки, например, школьников определенного класса. Чтобы подойти к решению этой задачи, необходимо располагать результатами диагностических испытаний; эти испытания, разумеется, следует заранее спланировать так, чтобы они давали информацию о тех особенностях группы, которые в этом конкретном случае интересуют психолога. Это могут быть особенности умственного развития, психофизиологические особенности, данные об изменении работоспособности и т.д.

Получив все экспериментальные  результаты и материалы наблюдений, следует подумать о том, как их подать пользователю в компактном виде, чтобы при этом свести к минимуму потерю информации. В перечне статистических методов, используемых при решении подобных задач, обычно находят свое место и параметрические и непараметрические методы, о возможностях применения тех и других, как было сказано выше, судят по полученному материалу. Об этих статистических методах и их использовании пойдет речь ниже.

Второй тип задач. Это, пожалуй, наиболее часто встречающиеся задачи в исследовательской и практической деятельности психолога: сравниваются между собой несколько выборок, чтобы установить, являются ли выборки независимыми или принадлежат одной и той же совокупности. Так, проведя эксперименты в восьмых классах двух различных школ, психолог сравнивает эти выборки между собой.

К этому же типу относятся задачи с определением тесноты связи  двух рядов показателей, полученных на одной и той же выборке; в  такой обработке чаще всего применяют  метод корреляций.

Третий тип задач — это задачи, в которых обработке подлежат временные ряды, в них расположены показатели, меняющиеся во времени; их называют также динамическими рядами. В предшествующих типах задач фактор времени не принимался во внимание и материал анализировался так, как будто он весь поступил в руки исследователя в одно и то же время. Такое допущение можно оправдать тем, что за тот короткий период времени, который был затрачен на собирание материала, он не потерпел существенных изменений. Но психологу приходится работать и с таким материалом, в котором наибольший интерес представляют как раз его изменения во времени. Допустим, психолог намерен изучить изменение работоспособности школьников в течение учебной четверти. В этом случае информативными будут показатели, по которым можно судить о динамике работоспособности. Берясь за такой материал, психолог должен понимать, что при анализе динамических рядов нет смысла пользоваться средним арифметическим ряда, так как оно замаскирует нужную информацию о динамике.

В предыдущих главах упоминалось  о лонгитюдинальном исследовании, т.е. таком, в котором однообразный по содержанию психологический материал по одной выборке собирается в  течение длительного времени. Показатели лонгитюда — это также динамические ряды, и при их обработке следует пользоваться методами, предназначенными для таких рядов.

Четвертый тип  задач — задачи, возникающие перед психологом, занимающимся конструированием диагностических методик, проверкой и обработкой результатов их применения. Отчасти об этих задачах уже говорилось в других главах, но не уделялось внимания специально статистике. Психологическая диагностика, в особенности тестология, имеет целый ряд канонических правил, применение которых должно обеспечивать высокое качество информации, получаемой посредством диагностических методик. Так, методика должна быть надежной, гомогенной, валидной. По упрочившимся в тестологии правилам, все эти свойства проверяются статистическими методами.

Здесь уместно высказать  некоторые соображения о возможностях статистики в проведении психологического исследования.

Статистика как таковая  не создает новой научной информации. Эта информация либо содержится, либо не содержится (к сожалению, и так  бывает) в полученных исследователем материалах. Назначение статистики состоит в том, чтобы извлечь из этих материалов больше полезной информации. Вместе с тем статистика показывает, что эта информация не случайна и что добытые данные имеют определенную и значимую вероятность.

Статистические методы раскрывают связи между изучаемыми явлениями. Однако необходимо твердо знать, что как бы ни была высока вероятность таких связей, они не дают права исследователю признать их причинно-следственными отношениями. Статистика, как о ней пишут известные английские ученые Д.Э. Юл и М.Дж. Кендэл, “вынуждена принимать к анализу данные, подверженные влиянию множества причин”. Статистика, например, утверждает, что существует значимая связь между двигательной скоростью и игрой в теннис. Но отсюда еще не вытекает, будто двигательная скорость и есть причина успешной игры. Нельзя, по крайней мере в некоторых случаях, исключить и того, что сама двигательная скорость явилась следствием успешной игры.

Чтобы подтвердить или  отвергнуть существование причинно-следственных отношений, исследователю зачастую приходится продумывать целые серии экспериментов. Если они будут правильно построены и проведены, то статистика поможет извлечь из результатов этих экспериментов информацию, которая необходима исследователю, чтобы либо обосновать и подтвердить свою гипотезу, либо признать ее недоказанной.

Итак, были перечислены  типы задач, с которыми чаще всего  встречаются психологи. Теперь перейдем к изложению конкретных математических методов, которые способствуют успешному решению перечисленных задач.

Первый тип  задач. Математические методы, примеры их применения для принятия решения.

Допустим, школьному психологу  нужно представить краткую информацию о развитии психомоторных функций  учащихся 6-х классов, в которых  обучается 50 учеников. В процессе выполнения своей программы психолог провел диагностическое изучение двигательной скорости, применив методику, которая была описана раньше.

Для реализации своей  программы психологу надлежало  получить количественные характеристики, свидетельствующие о состоянии  изучаемой функции — ее центральной тенденции, величины, показывающей размах- колебаний, в пределах которого находятся все данные отдельных учеников, и то, как распределяются эти данные.

Какими методами вести  обработку — параметрическими или  непараметрическими? Визуальное ознакомление с полученными данными показывает, что возможно применение параметрического метода, т.е. будут вычислены среднее арифметическое, выражающее центральную тенденцию, и среднее квадратическое отклонение, показывающее размах и особенности варьирования экспериментальных результатов.

Нельзя ограничиться вычислением только среднего арифметического, так как оно не дает полных сведений об изучаемой выборке. Вот пример. В одном купе вагона поместилась  бабушка 60 лет с четырьмя внуками: 4 лет, двое по 5 и 6 лет. Среднее арифметическое возраста всех пассажиров этого купе 80/5 = 16.

В другом, купе расположилась  компания молодежи: двое 15-летних, 16-летний и двое 17-летних. Средний возраст  пассажиров этого купе также равен 16. Таким образом, по средним арифметическим пассажиры этих купе как бы и не различаются. Но если обратиться к особенностям варьирования, то сразу можно установить, что в одном купе возраст пассажиров варьирует в пределах 56 единиц, а во втором — в пределах 2.

Для вычисления среднего арифметического применяется формула:

 

а для среднего квадратического  отклонения формула:

 

В этих формулах х означает среднее арифметическое, х — каждую величину изучаемого ряда, Z — сумму; s — среднее квадратическое отклонение; п — число членов изучаемого ряда.

Вернемся к опыту  с проверкой двигательной скорости учащихся.

В опытах участвовали 50 испытуемых. Каждый из них выполнил по 25 проб, по 1 минуте каждая. Вычислена средняя  каждого испытуемого. Полученный ряд  упорядочен и все индивидуальные результаты представлены в последовательности от меньшего к большему:

85 — 93 — 93 — 99 — 101 — 105 — 109 — 110 — 111 — 115 —

115 — 116 — 116 — 117 — 117 — 117 — 118 — 119 — 121 —  121 —

122 — 124 — 124 — 124 — 124 — 125 — 125 — 125 — 127 —  127 —

127 — 127 — 127 — 128 — 130 — 131 — 132 — 132 — 133 —  134 —

134 — 135 — 138 — 138 — 140 — 143 — 144 — 146 — 150 — 158

Для дальнейшей обработки  удобнее эти первичные данные соединить в группы, тогда отчетливее выступает присущее данному ряду распределение величин и их численностей. Отчасти упрощается и вычисление среднего арифметического и среднего квадратического отклонения. Этим искупается несущественное искажение/ информации, неизбежное при вычислениях на сгруппированные данных.

При выборе группового интервала  следует принять во внимание такие  соображения. Если ряд не очень велик, например содержит до 100 элементов, то и число групп не должно быть очень велико, например порядка 10—12. Желательно, чтобы при группировании начальная величина — при соблюдении последовательности от меньшей величины к большей — была меньше самой меньшей величины ряда, а самая большая — больше самой большой величины изучаемого ряда. Если ряд, как в данном случае, начинается с 85, группирование нужно начать с меньшей величины, а поскольку ряд завершается числом 158, то и группирование должно завершаться большей величиной. В ряду, который нами изучается, с учетом высказанных соображений можно выбрать групповой интервал в 9 единиц и произвести разбиение ряда на группы, начав с 83. Тогда последняя группа будет завершаться величиной, превышающей значение последней величины ряда (т.е. 158). Число групп будет равно 9 (табл. 1).

Вычисление среднего арифметического и среднего квадратического отклонения.

Таблица 1

Таблица 1

Группы	Средние значения	Результат разноски	Итоги разноски	f•x	x – x	(х -x)2	f•(x -х)2
92—100	96	u	3	288	27	729	2187
101—109	105	LJ	3	315	18	324	972
110—118	114	QQ	10	1140	9	81	810
119—127	123	1300/	16	1968	0	0	0
128—136	132	Ш	9	1188	9	81	729
137—145	141	Я	5	705	18	324	1620
146—154	150	L	2	300	27	729	1458
155—163	159	/	1	159	36	1296	1296
		n = 50		Σf•x= 6150			Σf•(x -х)2= =10368

 

1-й столбец — группы, полученные после разбиения изучаемого  ряда.

2-й столбец — средние  значения каждой группы; этот  столбец показывает, в каком диапазоне варьируют величины изучаемого ряда, т.е. х.

3-й столбец показывает  результаты “ручной” разноски  величин ряда или иксов: каждая  величина занесена в соответствующую  ее значению группу в виде  черточки.

4-й столбец — это  итог подсчета результатов разноски.

5-й столбец показывает, сколько раз встречалась каждая  величина ряда — это произведение  величин второго столбца на  величины 4-го столбца по строчкам. Итоги 4-го и 5-го столбцов  дают суммы, необходимые для  вычисления среднего арифметического.

 

6-й столбец показывает  разность среднего арифметического  и значения x по каждой группе.

7-й столбец — квадрат  этих разностей.

8-й столбец показывает, сколько раз встречался каждый  квадрат разности; суммирование  величин этого столбца дает  итог, необходимый для вычисления среднего квадратического отклонения.

В заголовках 5-го и 8-го столбцов указывается, насколько часто встречается  та или другая величина. Частота  обозначается буквой f (от английского слова frequency).

Включение буквы f, означающей, насколько часто встречалась та или другая величина, ничего не изменяет в формулах среднего арифметического и среднего квадратического отклонения.

Поэтому формулы

 

вполне тождественны.

Рис.2

Остается разобрать, как вычисляются по формулам среднее арифметическое и среднее квадратическое отклонение. Обратимся к величинам, полученным в таблице:

x = 6150 : 50 = 123. При составлении  таблицы это число было заранее  вычислено, без него нельзя  было бы получить числовые  значения 6, 7, 8-го столбцов таблицы.

При обработке изучаемого ряда оказалось возможным применение параметрического метода, так как  визуально в этом ряду распределение  численностей приближается к нормальному. Это подтверждается и графиком (рис. 2).

Нормальное распределение  обладает некоторыми весьма полезными  для исследователя свойствами. Так, в границах x ± s находится примерно 68% всего ряда или всей выборки, в  границах х ± 2s — примерно 95%, а в границах x ± 3s — 97,7% выборки. В практике исследований часто берут границы — x ±2/3s. В этих границах при нормальном распределении будут находиться 50% выборки; распределение это симметрично, поэтому 25% окажутся ниже, а 25% выше границ x ±2/3s. Все эти расчеты не требуют никакой дополнительной проверки при условии, что изучаемый ряд имеет нормальное распределение, а число элементов в нем велико, порядка нескольких сотен или тысяч. Для рядов, которые распределены нормально или имеют распределение, мало отличающееся от нормального, вычисляется коэффициент вариации по такой формуле: