Единицы измерения информации и системы счисления

Выбор количества цифр диктуется  какими-либо потребностями реальной жизни, науки или удобствами обработки. Исторически этот выбор определялся  привычками или традициями конкретного  народа.

Наиболее привычной для  нас является десятичная система  счисления. Исторически вначале, видимо, использовалась непозиционная единичная  система счета - с помощью камней или палочек. Система счета состояла из двух чисел - один и два, а все, что больше двух, обозначалось, как «много».

Затем, благодаря наличию  десяти пальцев рук у человека, возникла десятичная система счета. В этой системе используются специальные  графические знаки - арабские цифры, которые можно записать в следующем порядке: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Таких знаков десять, и они специально разделены запятыми, чтобы показать, что это отдельные («дискретные») знаки, которые не зависят друг от друга.

Идея позиционной системы  счисления выдвигалась еще Архимедом  в работе «Исчисление песка».

В разное время и у  разных народов использовались системы  счисления с различными основаниями:

• в Древнем Вавилоне - шестидесятиричная система (используемая и сейчас при измерении времени);

• в Германии и Великобритании - двенадцатеричная (при измерении количества, в денежных системах), у древних адыгов - двадцатеричная и т. д.;

• неколичественные (качество выступает в роли количества: «много», «мало» и т. д.) способы счета - например, у эскимосов.

Рассмотрим основные системы  счисления, помимо десятичной.

В двоичной системе счисления  основание равно двум. В этой системе  счисления используются всего два  знака, две цифры - «0» и «1».

Такая система получила название двоичной системы счисления. Ее еще называют бинарной, от английского  слова «binary», что, собственно, и переводится  как «двоичный». В таблице 1 представлено соответствие десятичных и двоичных чисел.

Таблица 1. Соответствие десятичных и двоичных чисел

Десятичное  число	Двоичное число	Десятичное число	Двоичное число
0	0	11	1011
1	1	12	1100
2	10	13	1101
3	11	14	1110
4	100	15	1111
5	101	16	10000
6	110	17	10001
7	111	18	10010
8	1000	19	10011
9	1001	20	10100
10	1010

В восьмеричной системе  счисления основание – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7.

Таблица 2. Соответствие десятичных и восьмеричных чисел

Десятичные  числа	Восьмеричные  числа	Десятичные  числа	Восьмеричные  числа
0-7	0-7	25-63	31-77
8	10	64	100
9-15	11-17	128	200
16	20	256	400
17-23	21-27	512	1000
24	30	1024	2000

Основание шестнадцатеричной  системы счисления – цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 и буквы A,B,C,D,E,F.

Соединим десятичные и  шестна-дцатеричные числа в единую таблицу (табл. 3).

Таблица 3. Соответствие десятичных и шестнадцатеричных чисел

	Десятичное  число	Шестнадцатеричное число	Десятичное  число	Шестнадцатеричное число
	0-9	0-9	29	1D
	10	А	30	1Е
	11 12	В С	31 32-41	1F 20-29
	13	D	42-47	2A-2F
	14	Е	48-255	30-FF
	15	F	256	100
	16	10	512	200
	17-25	11-19	1024	400
	26	1А	1280	500
	27	1В	4096	1000
	28	1C

Шестнадцатеричная система  используется, чтобы более компактно  записывать двоичную информацию. В  самом деле, «шестнадцатеричная тысяча», состоящая из четырех разрядов, в  двоичном виде занимает тринадцать разрядов (1000₁₆ = 1000000000000₂).

2. Перевод чисел из одной системы  счисления в другую

Рассмотрим способы перевода чисел из одной системы счисления  в другую.

а) Перевод двоичного  числа в десятичное.

Необходимо сложить двойки в степенях, соответствующих позициям, где в двоичном стоят единицы. Например:

Возьмем число 20. В двоичной системе оно имеет следующий  вид: 10100.

Итак (считаем слева направо, считая от 4 до 0; число в нулевой  степени всегда равно единице)

10100 = 1*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 0*2⁰ = 20

16+0+4+0+0 = 20.

б) Перевод десятичного  числа в двоичное.

Необходимо делить его  на два, записывая остаток справа налево:

20/2 = 10, остаток 0

10/2=5, остаток 0

5/2=2, остаток 1

2/2=1, остаток 0

1/2=0, остаток 1

В результате получаем: 10100 = 20

в) Перевод шестнадцатеричного числа в десятичное.

В шестнадцатеричной системе  номер позиции цифры в числе  соответствует степени, в которую  надо возвести число 16:

8A = 8*16 + 10 (0A) = 138

Напоследок приведем алгоритм перевода в двоичную и из двоичной системы, предлагаемый Л. Радюком.

Пусть А(цд) – целое десятичное число. Запишем его в виде суммы  степеней основания 2 с двоичными  коэффициентами. В его записи в  развёрнутой форме будут отсутствовать  отрицательные степени основания (числа 2):

A(цд) = a(n–1) • 2^(n–1) + a(n–2) • 2^(n–2) + … + a(1) • 2^1 + a(0) • 2^0.

На первом шаге разделим число А(цд) на основание двоичной системы, то есть на 2. Частное от деления  будет равно:

a(n–1) • 2^(n–2) + a(n–2) • 2^(n–3) + … + a(1), а остаток равен a(0).

На втором шаге целое  частное опять разделим на 2, остаток  от деления будет теперь равен a(1).

Если продолжать этот процесс  деления, то после n-го шага получим  последовательность остатков:

a(0), a(1),…, a(n–1).

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью  цифр целого двоичного числа, записанного  в свёрнутой форме:

A(2) = a(n–1)…a(1)a(0).

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной последовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Тогда сам алгоритм будет  следующим:

1. Последовательно выполнять  деление исходного целого десятичного  числа и получаемых целых частных  на основание системы (на 2) до  тех пор, пока не получится  частное, меньшее делителя, то  есть меньше 2.

2. Записать полученные  остатки в обратной последовательности, а слева добавить последнее  частное.

Для перевода чисел из восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления  в двоичную необходимо цифры числа  преобразовать в группы двоичных цифр. Для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую цифру  числа надо преобразовать в группу из трёх двоичных цифр - триаду, а при преобразовании шестнадцатеричного числа - в группу из четырёх цифр - тетраду.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

1.http://informatika.sch880.ru/p18aa1.html

2. http://www.rusedu.info/Article562.html

3.http://school.dtv.su/edinitsyi-izmereniya-teoriya/

4. Фринланд А.Я. Информатика.  – М., 2005.

5. Сидоров В.К. Системы  счисления.// Наука и жизнь 2000. №2.

6.Радюк Л. Алгоритм  перевода в двоичную и из  двоичной системы счисления.