Игры 2 лиц с нулевой суммой

 

Тема 3. Игры 2 лиц  с нулевой суммой

1. Решить  игру с матрицей (тип 2хn). В ответе  указать цену игры и вероятности  применения стратегий, т.е. v, p, q.

 

8.	7	8	2	-1	4
	-6	-8	-1	7	-4

Пусть — произвольная смешанная стратегия игрока 1 в этой игре. Найдем функции :

и построим их графики.

 

Кривая №1		Кривая №2		Кривая №3		Кривая №4		Кривая №5
0	-6	0	-8	0	-1	0	7	0	-4
1	7	1	8	1	2	1	-1	1	4

Экстремальная точка L на нижней огибающей является пересечением прямых, соответствующих 3–ой и 4–ой стратегиям игрока 2, поэтому рассматриваем игру 2´2:

 

Задача имеет решение:

цена игры при этом равна

.

 

По формулам находим:

Из полученных результатов  формируем решение исходной игры:

 

.

 

2. Решить игру  с матрицей (тип mх2). В ответе  указать цену игры и вероятности применения стратегий, т.е. v, p, q.

 

8.	2	-7
	-7	2
	-8	7
	0	-6
	4	-9

чтобы учесть интересы игрока 2, нужно исходить из соотношения (теорема):

,

где q — первая компонента смешанной стратегии игрока 2, а .

Для перехода от исходной игры к игре используется точка — нижняя точка верхней огибающей семейства прямых .

 Найдем функции :

и построим их графики.

Экстремальная точка M на верхней огибающей является пересечением прямых, соответствующих 3–ой и 5–ой стратегиям игрока 1, поэтому рассматриваем игру 2´2:

Задача имеет решение:

цена игры при этом равна

.

 

По формулам находим:

Из полученных результатов  формируем решение исходной игры:

 

.

Тема 4. Некооперативные  игры 2 лиц с ненулевой суммой

 Найти точки равновесия в биматричной игре (A – матрица выигрышей игрока 1, B – матрица выигрышей игрока 2)

 

8.	A=	5	3	B=	1	7
		4	11		9	3

 

А/В	1	2
1	(5,1)	(3,7)
2	(4,9)	(11,3)

 

1) (5,1) 1-1

Рассуждает игрок №1: 5>3 → остается в этой точке,

Рассуждает игрок №2: 1<7 → не остается в этой точке,

2) (3,7) 1-2

Рассуждает игрок №1: 3<11 → не остается в этой точке,

Рассуждает игрок №2: 7>3 → остается в этой точке,

3) (11,3) 2-2

Рассуждает игрок №1: 11>4 → остается в этой точке,

Рассуждает игрок №2: 3<9 → не остается в этой точке,

4) (4,9) 2-1

Рассуждает игрок №1: 4<5 → не остается в этой точке,

Рассуждает игрок №2: 9>1 → остается в этой точке.

Ответ: нет точек равновесия.

Тема 6. Теория игр n лиц в нормальной форме

Имеется три предприятия (I, II, III); которые выпускают продукцию #1, продукцию #2 и продукцию #3.Следующая  таблица представляет общие выпуски продукции по каждому предприятию. Продукция продается комплектами (1ед. #1, 1ед. #2 и 1ед. #3). Спрос неограничен. Комплект стоит 1 тыс. руб. Требуется решить вопрос о целесообразности объединения предприятий, найти максимальный возможный доход объединения, справедливый дележ – вектор Шепли. В левом верхнем углу указан номер варианта.

 

 

8	#1	#2	#3
I	800	500	0
II	700	0	800
III	0	1100	800

Решение. Подсчитаем выигрыши коалиций, т.е. доход, который они  получат при объединении. Для 3 игроков  имеем 2³=8 коалиций.

Так как каждое из предприятий не выпускает одного из типов продукции, то без объединения никто ничего не зарабатывает. v(Æ)=v(I)=v(II)=v(III)=0.

При объединении I и II предприятий, их общий выпуск равен 

 

	#1	#2	#3
I	800	500	0
II	700	0	800
итого	1500	500	800

Они могут сформировать 500 комплектов и выручить за них 500 тыс. руб.

При объединении I и III предприятий, их общий выпуск равен 

 

	#1	#2	#3
I	800	500	0
III	0	1100	800
итого	800	1600	800

 

Они могут сформировать 800 комплектов и выручить за них 800 тыс. руб.

При объединении II и III предприятий, их общий выпуск равен 

 

	#1	#2	#3
II	700	0	800
III	0	1100	800
итого	700	1100	1600

 

Они могут сформировать 700 комплектов и выручить за них 700 тыс. руб.

При объединении всех трех предприятий, их суммарный выпуск равен

 

	#1	#2	#3
I	800	500	0
II	700	0	800
III	0	1100	800
итого	1500	1600	1600

 

Они могут сформировать 1500 комплектов и выручить за них 1500 тыс. руб.

Занесем полученную информацию в таблицу  выигрышей коалиций.

 

S	v(S)		S	v(S)
Æ	0		{I, II}	500
{I}	0		{I, III}	800
{II}	0		{II, III}	700
{III}	0		{I, II, III}	1500

 

Теперь составим таблицу  всевозможных порядков образования  максимальной коалиции, раздавая каждому  участнику ту дополнительную прибыль, которую он приносит в эту коалицию. Всего существует 3!=6 порядков формирования коалиций.

 

Порядок входа  в коалицию				Сколько получает коалиция				Сколько получает каждый участник
первый	второй	третий		один	двое	трое		I	II	III
I	II	III		0	500	1500		0	500	1000
I	III	II		0	800	1500		0	700	800
II	I	III		0	500	1500		500	0	1000
II	III	I		0	700	1500		800	0	700
III	I	II		0	800	1500		800	700	0
III	II	I		0	700	1500		800	700	0
Итого								2900	2600	3500

 

Например, на 5 строке указан порядок входа III, I, II.

Сначала приходит участник III. Так как v(III)=0, то он получает 0.

Следующим приходит участник I. Так как v(I,III)=800, то он получает 800-0=800.

Последним приходит участник II. Так  как v(I,II,III)=1500, то ему достается 1500-800=700. Аналогично заполнены все остальные  строки.

В строке итого подведены все доходы отдельных участников, полученные при 6 различных порядках. Собственно, эти 6 порядков выполняются для обеспечения полной симметрии по входам.

В заключение поделим полученные выигрыши на 6 и получим вектор справедливого  платежа, который получают участники при вступлении в коалицию. .

Можно отметить, основные свойства вектора  Шепли (справедливого дележа): от вступления в коалицию каждому участнику  не становится хуже, кроме того, максимальный доход коалиции действительно получается и распределяется.

.

Тема 8. Приложения теории игр n лиц

 Располагая информацией о количестве голосов, которыми располагают партии, и о размере выигрывающей коалиции, найти веса партий при голосовании.

 

№ варианта	1	2	3	4	Размер выигрывающей коалиции
8	34,3%	27,6%	23,1%	15,1%	64%

 

Решение. Используем схему решения игры, аналогичную расчету вектора Шепли. Представим данную игру в виде таблицы. Подсчитав выигрыши коалиций, причем для коалиции S имеем v(S)=1, если |S|>64%. В противном случае v(S)=0. Для 4 участников имеем 2⁴=16 коалиций.

 

S	v(S)		S	v(S)		S	v(S)		S	v(S)
Æ	0		{4}	0		{2, 3}	0		{1, 2, 4}	1
{1}	0		{1, 2}	0		{2, 4}	0		{1, 3, 4}	1
{2}	0		{1, 3}	0		{3, 4}	0		{2, 3, 4}	1
{3}	0		{1, 4}	0		{1, 2, 3}	1		{1, 2, 3, 4}	1