Имитационная модель функционирования системы с отказами

Имитационное моделирование – воспроизведение на ЭВМ (имитация) процесса функционирования исследуемой системы с соблюдением логической и временной последовательности реальных событий. 

 

Термин «имитационное  моделирование» происходит от латинских  слов imito и simulo. Русские эквиваленты слов, образующихся из этих корней, такие:

• подражание, образ, копия, изображение, имитация (imito);
• образ, подобие, воспроизведение, моделирование (simulo).

Многие ученые (напр., Ю. Адлер) считают, что сочетание  слов имитация и моделирование недопустимо и термин «имитационное моделирование» - тавтология. Но, рассматривая исторический процесс формирования этого термина, надо прийти к выводу, что он определяет в моделировании такую область, которая определяет получение экспериментальной информации о сложном объекте, которую нельзя получить иначе как путем экспериментов с его моделью на ЭВМ. По Роберту Е. Шеннону имитация есть процесс создания модели реальной системы и проведение с ней экспериментов с целью осмысления поведения системы или оценки различных стратегий, которые могут быть использованы при управлении системой. Понятие имитационное свидетельствует о близости модели к реальному объекту, о воспроизводимости характеристик этого объекта, об эмпирическом характере моделирования, о возможности «проигрывания» различных вариантов (получения ответа на вопрос – что будет, если...?).

Второй определяющей чертой термина является требование повторяемости, ибо один отдельно взятый эксперимент ничего не значит. Имитационный объект имеет вероятностный характер функционирования. В отличие от других методов имитационное моделирование представляет собой очень удобный инструмент для моделирования случайных процессов. При аналитическом моделировании учет вероятностных характеристик вызывает дополнительные трудности. Для имитационного моделирования такие трудности легко преодолимы.

При имитационном моделировании  тип и структура моделирующего  алгоритма обусловлены не типом  уравнений и  не применяемым для  их решения численным методом, а  имитацией реальных явлений с сохранением их логической структуры, временной последовательности и состава информации о состояниях процесса.

Рассмотрим пример, характеризующий  различие рассмотренных видов моделирования.

Имеется система, состоящая  из трех блоков.

Система функционирует  нормально, если исправен хотя бы один из блоков  1 и 2, а также исправен блок 3. Известны функции распределения  времени безотказной работы блоков . Требуется найти вероятность безотказной работы системы в момент  времени .

Эквивалентная логическая схема 

означает, что  отказ  системы наступает при обрыве цепи. Это имеет место в следующих  случаях:

• отказали блоки 1 и 2, исправен блок 3;
• отказал блок 3, исправен хотя бы один из блоков 1 и 2.

Вероятность безотказной  работы системы

=

=

=

=

.         (1)

Эта формула и есть основа математической модели системы.

Аналитическое моделирование. Оно возможно лишь при условии, что все интегралы предыдущей формулы выражаются через элементарные функции. Для выполнения этого условия требуется сделать определенные допущения относительно функций .

Допустим, что 

.

Тогда = = .

С учетом этого модель (1) принимает вид

.

Это и есть явное аналитическое  выражение относительно искомой  вероятности; оно справедливо лишь при сделанных допущениях.

Численное моделирование. Необходимость в нем может возникнуть, например, тогда, когда установлено, что распределения подчиняются закону Гаусса (нормальному):

.

Интегралы

не выражаются через  элементарные функции и для вычислений по формуле (1) при каждом значении они должны определяться численно, например, по методу трапеций, Симпсона, Гаусса или другими методами. Для каждого значения  вычисления проводятся заново.

Имитационное моделирование. Имитация есть воспроизведение событий, происходящих в системе, т.е. исправной работы либо отказа каждого элемента.

Если время работы системы  , а   -  время безотказной работы элемента с номером , то:

• событие означает исправную работу  элемента  за  время ;
• событие  означает отказ элемента к моменту .

Заметим, что  - случайная величина, распределенная по закону , который известен по условию.

Моделирование случайного события «исправная работа k –го элемента за время »  заключается:

1. в получении случайного числа , распределенного по закону ;
2. в проверке истинности  логического выражения  . Если оно истинно, то -й элемент исправен, если ложно – он отказал.

Алгоритм моделирования  таков:

1. Положить , . Здесь n –  счетчик числа реализаций (повторений) случайного процесса ; k – счетчик числа «успехов».
2. Получить три случайных числа , распределенных соответственно по законам .
3. Проверить истинность логического выражения

Если  , то положить и перейти к шагу 4, иначе перейти к шагу 4.

4. Положить  .
5. Если , перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести . Здесь - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.
6. Стоп.

Еще раз подчеркнем: Значение задают заранее по соображениям обеспечения заданной точности о достоверности статистической оценки искомой величины .

Таково «лобовое» решение  задачи, которое мы можем упростить.

Во-первых, это касается получения случайных чисел.

Рассмотрим общий способ получения  случайных чисел, распределенных по заданному закону.

Метод обратных функций

Лемма. Если случайная величина имеет плотность распределения ,  то   случайная величина       имеет равномерный закон распределения на  интервале  , т.е.  

 

Теорема. Пусть – функция распределения некоторой случайной величины , γ – случайная величина с равномерным законом  
распределения на интервале [0, 1]. Тогда случайная  величина  
  , где – обратная функция , подчиняется закону распределения  .    

 

                                        
     

                              1                                                                                            

 Исходя из этого, случайное  число  , подчиняющееся закону     ,

определяют по формуле:

Пример.  Пусть . Пусть получено равномерно распределенное на случайное число .Решаем уравнение

                                                                   (2)

 

С учетом этого уравнение (2) принимает вид

,

откуда  .  Последнее верно,   т. к. и , и  -  равномерно распределенные на случайные числа.

 К сожалению, интегралы могут быть «неберущимися», и тогда пришлось бы использовать численное интегрирование совместно с численным решением уравнения (2). Это крайне трудоемкая процедура, которая приводит к ощутимым затратам машинного времени.

 

Вернемся к имитационной модели.

В нашем случае от подобных процедур легко избавиться, если учесть, что на практике функция   - монотонно возрастающая. Это позволяет для заданного времени безотказной работы   найти значения . Тогда проверка работоспособности элементов сведется к проверке условия

,

где - равномерно распределенное на случайное число;

      - номер элемента;

   - номер очередной реализации случайного процесса.

Это равносильно условию  .

Как видно, громоздкая процедура  вычисления обратной функции  здесь не требуется.

Можно также существенно  упростить логическое выражение, если перейти от события «безотказная работа системы» к событию «отказ системы». Отказ системы означает истинность выражения

С учетом сделанных упрощений  алгоритм моделирования принимает  следующий вид.

1. По заданному времени безотказной работы системы вычислить

.

2. Положить , .
3. Получить три равномерно распределенных на случайных числа .
4. Проверить истинность логического выражения  .   Если оно истинно, то положить и перейти к шагу 5; иначе перейти к шагу 5.
5. Положить .
6. Если , перейти к шагу 3; иначе вычислить и вывести

.

7. Стоп.