Использование численных методов при решении инженерных задач

Федеральное агенство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

ПГТУ

Кафедра МСИ

 

 

 

 

Курсовая работа по дисциплине информатика

Тема: использование численных методов при решении инженерных задач

Вариант 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Работу Выполнил  студент группы

КПМ-10 Жолобова Д.О.

Проверила Завельон А.М.

 

 

 

 

 

 

 

 

Пермь-2011

 

 

Содержание

 

1)Геометрические преобразования                                                                  3

                                                             

2)аппроксимация неизвестных функций                                                         5

             

3)Решение линейных уравнений. Уточнение приближенных корней методом дихотомии                                                                                                          13

 

4)вычисление определенного интеграла                                                         17

 

5)Интегрирование. Интерполяционная формула Лагранжа.                        23

 

6) Решение систем линейных алгебраических

 уравнений методом Гаусса                                                                              27

 

7)Оптимизация                                                                                                   30

 

8) основная программа                                                                                      36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Геометрические  преобразования

 

Суть данного метода заключается в том, что путем перехода в подпрограммы мы преобразуем координаты двух заданных точек, которые впоследствии меняют свои значения.

 Аппроксимация

линейной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аппроксимация

 

Метод наименьших квадратов

 

При экспериментальном  изучении функциональной зависимости  одной величины от другой производят ряд  измерений значений функции у для различных значений аргумента х.

X	X1	X2	…	Xn
Y	Y1	Y2	…	Yn

 

Задача заключается  в аналитическом представлении  функциональной зависимости, т.е. в  подборе формулы, описывающей результаты эксперимента.

Особенности метода

1. Наличие случайных ошибок измерения или, как говорят, наличие «шума» в эксперименте делает неразумным подбор такой формулы, которая точно описывала бы все опытные значения. Другими словами, график не должен проходить через все точки, а должен сглаживать «шум».

2. Эмпирическую формулу обычно выбирают из формул определенного типа, например: y=ax+b; y=bx^a; y=ax²+bx+c ... т. е. задача сводится к нахождению параметров a, b, c... формулы, в то время как вид формулы известен заранее из каких-либо теоретических соображений или из условия простоты аналитического представления.

 

Суть метода наименьших квадратов

Если все измерения  функции у произведены с одинаковой точностью, то оценки параметров а, в, с определяются из условия: чтобы сумма квадратов отклонений измеренных значений х от рассчитанных имела минимальное значение.

 

S=∑ (yi-f(xi,a,b,c))^2

 

* Линейная функция y=ax+b

 

  Задача сводится  к следующему. Получен ряд значений  функции y₁, y₂, …,y_n при соответствующих значениях аргумента x₁, x₂, …,x_n. Необходимо найти значения a и b выражения y=ax+b.

  Выражение минимизируемой функции для этого случая примет вид:

 

S=∑ (yi-f (a*xi+b)) ^2

 

  Отыскание a и b сводится к решению системы уравнений:

   dS/da

   dS/db

dS/da=2*∑(yi-a*xi-b)*xi

dS/db=2*∑(yi-a*xi-bi)

 

  Раскроем знак суммы:

∑yi*xi-a*∑xi^2-b*∑xi=0

∑yi-a*∑xi-b*N=0

 

  Для того, чтобы  набрать суммы заполним таблицу:

i	xi	yi	xiyi	x2i
1
…
N
Σ	A	B	C	D

 

 

 

 

 

 

  Переобозначим суммы

C – aD – bA = 0

B – aA – bN = 0

  где значения A, B, C, D известны из таблицы.

aD + bA = C

aA + bN = B

  Определив значения a и b, мы решим поставленную задачу определения параметров выражения y=ax+b.

         

dD = DN – AA

 

 

da = CN – AB

 

 

db = DB – CA

 

 

a=da/dD

b=db/dD

 

 

 

 

* Степенная функция y=ax^b

Задача сводится к  следующему. Получен ряд значений функции y₁, y₂, …,y_n при соответствующих значениях аргумента x₁, x₂, …,x_n. Необходимо найти значения a и b выражения y=ax^b. Для этого прологарифмируем это выражение:

ln y = b ln x + ln a

и произведем замены:

ln x = x*

ln y = y*

ln a = a*

Тогда получим знакомое выражение для прямой линии:

y* = bx* + a*

Выражение минимизируемой функции  для этого случая примет вид:

 

S=∑ (yi-f(a*xi+b))^2

 

Далее методика расчетов проводится аналогично рассмотренному выше случаю.  Следует учесть, что необходимо набирать суммы:

i	Log xi	Log yi	Log xi Log yi	Log2xi
1
…
N
Σ	A	B	C	D

 

 

 

 

 

 

 

C – aD – bA = 0

B – aA – bN = 0

 

aD + bA = C

aA + bN = B

 

DD =            = DN – AA

 

Da = CN – AB

 

Db = DB – CA

 

a= (da/dD)

b= (db/dD)

 

*  Параболическая функция y=ax²+bx+c

 

Задача сводится к  следующему. Получен ряд значений функции y₁, y₂, …,y_n при соответствующих значениях аргумента x₁, x₂, …,x_n. Необходимо найти значения a и b и с выражения y=ax²+bx+c.

Выражение минимизируемой функции для этого случая примет вид:

S=∑ (yi-f(a*xi^2+b*xi+c))^2

 

Отыскание a и b сводится к решению системы уравнений:

dS/da=0

dS/db=0

dS/dc=0

 

Дифференцируем, чтобы найти минимумы:

dS/da=∑(yi-a*xi^2-b*xi+c)*xi^2=0

dS/db=∑(yi-a*xi^2-b*xi+c)*xi=0

dS/dc=∑(yi-a*xi^2-b*xi+c)=0

 

Раскроем знак суммы:

∑yi*xi^2-a*∑xi^4-b*∑xi^3-c*∑xi^2=0

∑yi*xi^2-a*∑xi^4-b*∑xi^3-c*∑xi^2=0

∑yi-a*∑xi^2-b*∑xi*yi-c*N=0

Для того, чтобы набрать  суммы заполним таблицу:

 

i	xi	yi				xiyi
1
…
N
Σ	A	B	С	D	E	F	G

 

 

 

 

 

 

 

Переобозначим суммы:

       G – aE – bD – cC = 0

 

        F – aD – bC – cA = 0

 

        B – aC – bA – cN = 0

 

где A, B, C, D, E, F, G известны из таблицы.

Определив значения a и b и c, мы решим поставленную задачу определения параметров выражения y=ax²+bx+c.

 

DD  = ECN+DAC+DAC-CCC-EAA-DDN

 

 

Da = GCN+FAC+DAB-CCB-GAA-FDN

 

 

Db = EFN+GAC+DBC-CCF-EAB-DGN

 

 

Dc = ECB+DFC+DAC-CCG-DDB-EFA

 

 

 

a = da/dD

 

b = db/dD

 

c =   dc/Dd

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Аппроксимация

линейной функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аппроксимация степенной  функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Аппроксимация параболической функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнения вида F(x)=0

 

Если уравнение алгебраическое или трансцендентное достаточно сложно, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Кроме того, в некоторых случаях уравнение содержит коэффициенты, известные лишь приблизительно, и, следовательно, сама задача о точном определении корней теряет смысл. Поэтому большое значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки их точности.

Пусть дано уравнение: f(x)=0, где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале a<x<b. Всякое значение с, обращающее функцию f(x) в ноль, f(с)=0 называется корнем уравнения f(x)=0 или корнем функции f(x).