Исследование системы автоматического регулирования

Содержание

1. Структурная схема системы управления

 

2. Анализ и синтез линеаризованной автоматической системы

 

2.1 Определение передаточных функций системы

2.2 Определение типов динамических звеньев и построение КЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ разомкнутой системы

2.3 Исследование устойчивости замкнутой системы. Определение критического коэффициента передачи

2.4 Корневой годограф замкнутой системы при изменении общего коэффициента передачи разомкнутой системы

    2.5  Построение  переходного процесса по задающему воздействию

 

3. Анализ нелинейной автоматической системы

3.1 Статическая характеристика нелинейного элемента

3.2 Уравнения для коэффициентов гармонической линеаризации нелинейного элемента

3.3 Определение периодического решения гармонически линеаризованной системы и исследование его на устойчивость

3.4 Расчет переходного процесса в системе при действии скачкообразного входного сигнала амплитудой

 

4. Список используемой литературы

 

 

 

 

 

 

 

Структурная схема  системы управления

Исходные данные вариант № 8

2.0	1.0	1.0	0.4	2.5	6.0	0.5	1.0	0	0

 

Параметры нелинейного элемента:

5.0	1.0	0.3

 

 

 

 

 

 

2.2Анализ и синтез линеаризованной автоматической систем

Для вывода передаточных функций  необходимо упростить схему, используя  структурные преобразования.

Шаг 1:

 

 

 

 

 

Шаг 2.

 

 

 

Шаг 3.

 

 

 

 

 

 

2.1 Определение передаточных функций системы

1. Передаточная функция разомкнутой системы по задающему воздействию

 

 

2. Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию

 

 

 

 

3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающим воздействиям

 

 

 

 

 

 

4. Передаточная функция замкнутой системы для сигнала ошибки

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3 Указать типы  динамических звеньев и КЧХ,  ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы  H(s).

Представим передаточную функцию разомкнутой системы  в виде произведения типовых звеньев:

 

Передаточная функция  состоит из следующих типовых  звеньев:

апериодическое (инерционное) звено первого порядка.

 

Построим КЧХ разомкнутой  системы заменяя 

Для проверки устойчивости используем частотный критерий устойчивости Найквиста:

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф АФХ  разомкнутой системы не охватывал точку с координатами  (-1, j₀).

В данном случае годограф не охватывает точку (-1, j₀), значит, система является устойчивой.

Также построим ЛАЧХ и ЛФЧХ:

 

По полученным графикам видно, что система является устойчивой. Устойчивая в разомкнутом состоянии система будет устойчивой и в замкнутом состоянии, если сдвиг по фазе на частоте среза не достигает - (-180^°).

По графикам виден запас  по амплитуде 7.24дБ и запас по фазе 50.8 град.

2.4 Исследовать  устойчивость замкнутой системы  используя один из алгебраических  и один из частотных критериев  устойчивости. Определить критический  коэффициент передачи.

Характеристической уравнение  разомкнутой системы:

 

 

Исследуем систему с помощью  критерия Гурвица. Определитель Гурвица  имеет вид:

 

Необходимое условие:

 

 

Достаточное условие:

 

 

 

 

Условие выполняется, следовательно  система устойчива.

Определим критический коэффициент  усиления системы из уравнения.

 

Найдем  из условия, что

Составим определитель Гурвица:

 

Получаем 

2.5 Построить корневой  годограф  замкнутой системы при  изменении общего коэффициента  передачи К  разомкнутой системы  H(s). Выбрать значение К, обеспечивающее максимальный коэффициент демпфирования.

Для построения корневого  годографа замкнутой системы  воспользуемся программой Matlab.Для выполнения работы используется GUI-интерфейс “SISO-DesignTool” из пакета прикладных программ ControlSystemToolbox.

Графический интерфейс предназначен для анализа и синтеза одномерных линейных (линеаризованных) систем автоматического  управления (SISO - SingleInput/SingleOutput).

Постоим корневой годограф при К=4:

При этом коэффициент демпфирования  равен 

При К

При этом коэффициент демпфирования  равен 

Максимальный коэффициент  демпфирования достигается при

К=8.416e-05и равен

С помощью программы MATLAB подберем коэффициенты для разомкнутой системы с более приемлемыми запасами по фазе и амплитуде.

 

Получим следующую передаточную функцию :

 

Построим КЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ для данной передаточной функции:

По характеристикам видно, что запас по амплитуде составляет 8.51дБ, а по фазе 31.8 град.

 

Построим корневой годограф для замкнутой системы с новыми параметрами.

Постоим корневой годограф при К=13:

Коэффициент демпфирования  равен .

Максимальный коэффициент  демпфирования достигается при  К=1.6298 и равен

2.6 Построить переходный  процесс по задающему воздействию.  По кривой переходного процесса  определить показатели качества  регулирования: время регулирования,  перерегулирование, время нарастания, время достижения первого максимума,  частоту, период и число колебаний.

1) Время регулирования: c;

2) Перерегулирование: ;

3) Время нарастания: с;

4) Время достижения первого максимума: с;

5) Период: Т=4.26 с;

6) Число колебаний: n=5;

7) Частота: рад/с;

 

3. Выполнение анализа нелинейной автоматической системы.

При выполнении этой части  задания принять возмущающее  воздействие равным нулю.

Система с учетом нелинейности выглядит следующим образом:

 

Нелинейность вида – трёхпозиционное  реле с гистерезисом.

 

Выделим линейную и нелинейную части системы:

 

3.1 Используя таблицу данных  описать аналитически статистическую  характеристику нелинейного элемента. Принять, что нелинейная зависимость  является нечетной функцией, т.е. 

 

C	b	m
3.5	1.0	0.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.2 Вывести уравнения  для коэффициентов гармонической  линеаризации нелинейного элемента. Проанализировать возможность использования  метода гармонической линеаризации  для расчета системы.

Что бы применить метод гармонической линеаризации линейная часть должна удовлетворять гипотезе фильтра. Проверим это условие.

По ЛАЧХ видно, что гипотеза фильтра выполняется, т. е. линейная часть является фильтром низких частот, поэтому можно применять метод  гармонической линеаризации.

3.3 Определить периодическое  решение гармонически линеаризованной  системы и исследовать его  на устойчивость. 

Найдем частоту и амплитуду  колебаний. Автоколебания в системе  возникают, если выполняется условие:

 

Здесь

 

 

Где , а – коэффициенты гармонической линеаризации.

Теперь преобразуем это  в систему уравнений :

 

 

Приравнивая соответственно вещественные и мнимые части, получим  систему уравнений:

 

 

 

 

 

 

clc

clear

closeall

 

k1=2; k2=1; k3=1; k4=0.4; k5=2.5; k6=0; k7=6; T1=0.5; T2=1; T3=0;%коэффициенты

s=tf('s');

H=k1*k2*(T3*s+1)*k4*k7/((k1*k2*k3+(T1*s+1)*(T2*s+1)*(T3*s+1))*s);%разомкнутаясистема

nyquist (H)  % построение КЧХ линейной части системы

gridon

holdon

 

c=3.5;    % параметры

b=1;  % нелинейной

m=0.3;   % системы

 

a=linspace(0.5,10,80);

rn=4*c.*(sqrt(1-b^2./a.^2))./(pi.*a); % действительная часть нелинейной системы

qn=0;  % мнимая часть нелинейной системы

n=-1./(rn+qn*j);

 

plot (n, 'red')                % построение КЧХ нелинейной части

 

3.4 Рассчитать численным  методом переходный процесс в  системе при действии скачкообразного  входного сигнала амплитудой  . По кривой переходного процесса определить показатели качества.

 

Произведем моделирование  данной системы с помощью пакета Simulink программы Matlab. На рисунке 3.6 изображена модель системы.

 

 

 

Получаем следующий переходный процесс:

 

Как видно по графику переходного  процесса при моделировании системы  с нелинейным элементом, выраженным трёхпозиционным реле с гистерезисом, автоколебания не возникают.

 

4. Вывод.

В результате выполнения курсовой работы было проведено исследование системы автоматического регулирования. В процессе анализа была проведена  оптимизация системы, в результате которой запас по амплитуде 7,24дБ и запас по фазе 50,8град. были улучшены и сведены к 8,51дБ и31,8 град. соответственно.

Также был проведен анализ переходного процесса линеаризованной  системы. Переходный процесс линеаризованной  системы имел затухающий характер. Колебания в системе затухали через 17.4 секунд после возмущения. Перерегулирование системы составляло 59%, период Т=4,26с, частота

 После проверки линейной  части на выполнение гипотезы  фильтра низких частот в систему  был включен нелинейный элемент  – двухпозиционное реле с насыщением  и зоной нечувствительности.

С помощью метода гармонического баланса было выяснено, что в системе  автоколебания не возникают. С помощью  программы Matlab (пакета Simulink) была построено модель исследуемой системы, которая подтвердила отсутствие в системе автоколебаний. В процессе выполнения курсовой работы при расчетах и моделирования системы были использованы программные пакеты Matlab.

 

 

Список используемой литературы

 

1. Бесекерский В.А., Попов Е.П. – Теория систем автоматического регулирования. М., 1976;
2. Сборник задач по теории автоматического регулирования. Под ред. Бесекерского В.А., М. 1972.
3. Теория автоматического управления. Нелинейные системы: учебное пособие/ И.В.Войнов, С.С.Голощапов, Г.Е.Староубцев – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ,2010.-39с.
4. Афанасьев А.А., Евграфов А.В. – математические основы теории систем управления. Раздел третий: Элементы теории нелинейных систем автоматического регулирования: Учебное пособие/ Чебоксары: издательство Чуваш. университета, 2003.90с.
5. Тюкин В.Н. – Теория управления: Часть 2. Особые линейные и нелинейные системы: Конспект лекций. – Вологда: ВоГТУ, 2000. – 128с.