Исследование устойчивости линейных САУ

Чувашский Государственный  Университет имени И. Н. Ульянова

Кафедра вычислительной техники

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Основы теории управления

 

Лабораторная  работа №3:

 

«Исследование устойчивости линейных САУ»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент

группы ИВТ-41-09

Федоров Л. И.

 

Принял:

Первова Н. В.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Чебоксары, 2012 г.

 Цель работы: Исследование влияния параметров линейной системы на ее устойчивость.

 

Задание(вариант №16):

1. Набрать модель исследуемой  системы со следующими параметрами:

k1	k2	T2	k3	T3	d
1,0	1,5	0,8	4,0	2,4	1,2

2. Подавая на вход единичное скачкообразное воздействие, зарисовать переходные процессы в системе при заданных параметрах. На экран графического монитора  выводить входной, выходной сигналы и ошибку E(t).

3. Экспериментально определить критическое значение коэффициента передачи k₁, т.е. такие значения, при которых система находится на границе устойчивости. Сравнить их с расчетными значениями, найденными с помощью критерия Найквиста.

4. Построить переходный процесс при k₁ = 0.8 k_1кр, проанализировать результаты.

5. Увеличить коэффициент d в два  раза по сравнению с исходным  значением и определить k_1кр. Затем уменьшить d в два раза и найти k_1кр. Построить зависимость k_1кр= k_1кр(d).

6. Найти экспериментальное критическое значение dкр. Сравнить с dкр, рассчитанным с помощью критерия Гурвица.

7. Найти Т_2кр. Построить годограф Михайлова при Т₂ = 0,8*Т_2кр, Т₂ = Т_2кр и Т₂ = 1,2*Т_2кр.

 

Выполнение

 

1. Передаточная функция системы, состоящей из последовательных звеньев, может быть определена, как произведение передаточных функций этих звеньев, т. е. , где n – количество последовательно соединенных звеньев, образующих систему.

Подставим исходные данные и получим:

 

Промоделировав данную систему  в MatLab, получаем следующий результат:

Transfer function:

                6

----------------------------------

4.608 s^3 + 10.37 s^2 + 6.56 s + 1

Однако, рассматриваемая система  имеет единичную отрицательную  обратную связь, поэтому

Подставим исходные данные и получим:

Промоделировав данную систему  в MatLab, получаем следующий результат:

Transfer function:

                6

----------------------------------

4.608 s^3 + 10.37 s^2 + 6.56 s + 7

Результаты расчетов совпадают, следовательно  модель системы составлена верно.

 

2. Подавая на вход единичное скачкообразное воздействие, зарисуем переходные процессы в системе. На экран графического монитора будем выводить входной сигнал X(t), выходной сигнал Y(t) и ошибку E(t).

3. Экспериментально определим критическое значение коэффициента передачи k₁, т.е. такое значение, при которых система находится на границе устойчивости. Наличие незатухающих колебаний постоянной амплитуды на выходе свидетельствует о положении системы на границе устойчивости.

Методом подбора, используя метод  деления пополам,  нашли, что система  находится на границе устойчивости при k₁=2.29334955, => k_1кр=2.29334955.

Найдем теперь значение этого же коэффициента с помощью критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФХ устойчивой разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку . Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если АФХ разомкнутой системы пересекает точку с координатами .

Построим годограф Найквиста при  k_1кр=2.29334955 для разомкнутой системы:

 

Годограф Найквиста проходит через  точку (-1, j0), т.е. при заданном k₁=2.29334955 система находится на границе устойчивости и k_1кр=2.29334955.

 

4. Построим переходный процесс при k₁ = 0.8*k_1кр =1.83467964

Система при данном значении находится в устойчивом состоянии, т.к. стремится в состояние равновесия. Время переходного процесса значительно увеличилось по сравнению с исходным параметром k₁. Так же увеличилась амплитуда колебаний.

 

5. Увеличим коэффициент d в два раза(d=2.4) по сравнению с исходным значением, тогда k_1кр=6.505.

 

Уменьшим коэффициент d в два раза(d=0.6) по сравнению с исходным значением, тогда k_1кр=0.907.

 

Получили зависимость k_1кр= k_1кр(d) следующего вида:

k1кр	6.505	2.29334955	0.907
d	2.4	1.2	0.6

 

6. Найдем экспериментально критическое значение d_кр = 0.648 .

 

Рассчитаем d_кр с помощью критерия Гурвица:

Передаточная функция системы имеет вид , тогда выпишем из нее характеристическое уравнение системы:

Запишем это характеристическое уравнение  в более общем виде:

, => 

Из коэффициентов характеристического  уравнения построим определитель Гурвица по алгоритму:

1) по главной диагонали слева  направо выставляются все коэффициенты  характеристического уравнения  от   до  ;

2) от каждого элемента диагонали  вверх и вниз достраиваются  столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;

3) на место коэффициентов с  индексами меньше нуля или  больше n ставятся нули.

Имеем (7>0), поэтому для устойчивости системы необходимо, чтобы все диагональные миноры были больше нуля. А при равенстве нулю определителя Гурвица система будет находиться на границе устойчивости.

Решим уравнение :

 

И получим решение d_кр =0.64803.

Результаты расчетов совпадают, следовательно  d_кр системы найдена верно.

 

7. Найдем Т_2кр.

Пытаясь подобрать T_2кр, можно заметить, что система устойчива при любых значениях T₂.

 

При T₂= -100:

 

При T₂= 0:

 

При T₂= +100:

 

Построим годограф Михайлова при Т₂ = 0,8*Т_2кр, Т₂ = Т_2кр и Т₂ = 1,2*Т_2кр.

Т. к. система устойчива при любом  Т₂, то будем строить годограф Михайлова при значении Т₂ = 0,8, заданном по умолчанию.

Передаточная функция системы имеет вид ,

Годограф Михайлова – годограф знаменателя АФХ замкнутой системы, т.е 

Выделим действительную и мнимую часть:

По полученным уравнениям, изменяя частоту (строим участок около начала координат для проверки устойчивости системы) построим годограф Михайлова.

 

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении   от 0 до  начинался на вещественной оси в точке  , где a>0 и проходил последовательно против часовой стрелки n(n=3, т. к. характеристическое уравнение 3 порядка) квадрантов, не обращаясь в ноль и стремясь к   в n-ом(3-ем) квадранте. Данное условие выполняется, значит система устойчива.

 

Текст программы на MATLAB

 

clc;

clear;

k1 = 1.0;%0.907;%6.505;%1.83467964;%2.29334955;%1.0;

k2 = 1.5;

k3 = 4.0;

T2 = 0.8;

T3 = 2.4;

d  = 1.2;%0.648;%0.6;%2.4;%1.2;

sys1 = tf([k1]);

sys2 = tf([k2], [T2 1]);

sys3 = tf([k3], [T3*T3 2*d*T3 1]);

sys4 = series(sys1, sys2);

sys5 = series(sys4, sys3)

sys=feedback(sys5,1, -1)% с единичной отрицательной обратной связью

 

figure;

[Y,T]=step(sys);

plot(T,Y,'r-.');% выход

hold on

Xt=ones(size(T));

plot(T,Xt,'k:.');% входное  единичное воздействие

hold on;

Et=Xt-Y;% ошибка

plot(T,Et,'b-');

grid on;

xlabel('Time');

ylabel('Amplitude');

legend('X(t)','Y(t)','E(t)');

 

% к1 критическое

T=[0:0.1:100];

step(sys,T);

grid on;

 

% критерий Найквиста,  используем разомкнутую систему  sys5

figure;

nyquist(sys5);

grid on;

 

% k1=0.8*k1кр

figure;

T=[0:0.1:100];

step(sys,T);

grid on;

 

% d=2d(2.4) и d=0.5d(0.6)

figure;

T=[0:0.1:100];

step(sys,T);

grid on;

figure;

nyquist(sys5);

grid on;

 

% k1кр= k1кр(d)

k1=[0.907 2.29334955 6.505];

d=[0.6 1.2 2.4];

plot(d,k1);

grid on;

xlabel('d');

ylabel('K1kr');

title('k1кр= k1кр(d)');

 

% d критическое

T=[0:0.1:100];

step(sys,T);

grid on;

figure;

nyquist(sys5);

grid on;

 

% d критическое с помощью определителя Гурвица

solve('84.935*x^2+141.558*x-127.402=0')

 

% годограф Михайлова  при T2=0.8

figure;

w=[0:00.1:2];

Pw=7-10.37.*w.*w;

Qw=w.*(6.56-4.608.*w.*w);

plot(Pw,Qw);

xlabel('Pw');

ylabel('Qw');

grid on;