Компьютерное моделирование распределения тепловых полей

Уравнение теплопроводности может быть получено на основе закона сохранения энергии. Выделение (или поглощение) тепловой энергии внутри тела 
может происходить из-за объемных химических реакций, прохо- 
ждения электрического тока, фазовых превращений материала 
при изменении температуры и т.п. Величина Gq характеризуетмощность внутренних источников теплоты (или стоков). Изменение количества тепловой энергии в единице объема dQ пропорционально изменению температуры dT :

                                                   dQ = CpdT                                         (9) (2.14)

где: С — удельная теплоемкость материала теплотехнического объекта;

       р — плотность материала.

           Плотность теплового потока q в соответствии с законом Фурье пропорциональна градиенту температуры:

                                                             q = grad Т                                               (10) (2.15)

где X — коэффициент теплопроводности материала теплотехнического объекта, Дж/(смК); grad Т =(дТ/дх,дТ/ду,дТ/дz) — градиент температуры.

            С учетом выражений (2) и (3) уравнение (9) приводится к виду:

                           dT/dt = (Ср) [div( grad T) + Gq]                      (11)

            Для однородного изотропного тела = const . Тогда:

                             dT/dt = а_т div grad Т + Gq/(Ср)                         (12)

где а_т = Х/(Ср) — коэффициент температуропроводности, м²/с.

   Выражение дивергенции градиента температуры можно записать

                            div grad Т= V²T = d²T/дх² + d²T/ду² + дT²/дz²                                        (13)

где V — оператор Лапласа.

          Для одномерного случая, когда теплопередача осуществляется только вдоль оси х, получаем:

                         dT/dt = а_т d²T/dx² + Gq/ Ср.                                    (14)

          Для решения уравнений (11), (12), (13) должна быть задана функция Gq = Gq(x, у, z, t) и краевые условия — начальные и граничные. Кроме того, необходимо описание геометрии теплотехнического объекта (его формы и размеров), а также физических свойств объекта и среды (значений параметров р, С).

  Для многих теплотехнических объектов можно принимать Gq = 0. К ним, в частности, относятся объекты, представляющие собой твердые тела: стенки теплообменников и корпусных деталей машин, диски и барабаны фрикционных муфт и тормозов и др. В этом случае уравнение теплопередачи для объекта, выполненного из материала, обладающего изотропными теплофизическими свойствами.

                               dT/dt = a_TV²T                                              (15)

       Для одномерного случая:

                                                dT/dt = а_т d²T/dx² .                                  (16)

          При описании граничных условий в зависимости от наличия информации о теплообмене на граничной поверхности принимают различные допущения.

          В простейшем случае задают граничные условия первого рода. При этом задается распределение температуры на граничной поверхности объекта S как функция координат и времени:

                           T_s =

(x,y,z,t), x,y,z S                 (17)

          Граничные условия второго рода описывают распределение производных температуры по пространственным координатам на поверхности S:

                                      (дТ/dn)_s =

(x, y, z, t ), x,y,z S                 (18)

где дТ/дп — модуль вектора градиента температуры.

          Учитывая формулу (10), можно отметить, что граничные условия второго рода характеризуют распределение плотности теплового потока на граничной поверхности S.

           При отсутствии теплового потока на поверхности объекта теплообмен с внешней средой не осуществляется. В этом случае говорят, что граничная поверхность объекта теплоизолирована.Граничные условия теплоизолированного объекта:

                                               (дТ/дп)₈ = 0                                                       (19)

           При проектировании технических объектов часто встречается случай, когда часть граничной поверхности теплоизолирована, а на остальной части осуществляется теплообмен с внешней средой.

           Граничные условия третьего рода позволяют конкретизировать характеристики теплообмена с внешней средой. При этом задается распределение плотности теплового потока на граничной поверхности. Функция плотности теплового потока зависит от способа теплообмена. Для технических объектов наиболее характерны три способа: конвективный теплообмен твердого тела с окружающей газовой или жидкостной средой, генерирование на граничных поверхностях тепловых потоков в процессе трения контактирующих поверхностей и тепловое излучение. При конвективном теплообмене плотность теплового потока на граничной поверхности пропорциональна разности температуры окружающей среды Т_с и температуры граничной поверхности Tg.

                              q_s =

(T_c-T_s)                            (20)

где -коэффициент теплообмена (теплопередачи) через конвекцию, Дж/(с-м²-К).

          Уравнение (10) выражает закон Ньютона. Принимая во внимание, что, согласно выражению (20), модуль вектора плотности теплового потока = - дТ/дп , можно записать следующее уравнение баланса тепловых потоков:

                                

дТ/дп + (T_c-T_s) = 0                                     (21)

          Выражение (21) представляет собой уравнение граничного условия третьего рода при конвективном теплообмене.

          Отметим, что выражения граничных условий первого и второго рода являются частными случаями уравнения (21). Так, при и = const или при и = const получаем:

 В результате Ts= Т_с  и проходим к граничным условиям первого рода. Если положить , получим частный случай граничных условий второго рода при теплоизолированной граничной поверхности.

При генерировании теплового потока на граничной поверхности, что характерно для фрикционных механизмов, подшипников скольжении и т.п., уравнение граничного условия третьего рода имеет вид:

                                              

дТ/дп + q_s = 0                                                 (22)

При лучистом теплообмене  между твердым телом и внешней средой плотность теплового потока определяется по закону Стефана-Больцмана:  

                                                   q_s =

                                              (23)

где: степень черноты поверхности, характеризующая ее излучательную (или поглощающую) способность;

        постоянна Стефана—Больцмана.

На основе выражений (17,18) можно получить уравнения граничных условий для одномерного теплотехнического объекта.

            Уравнения граничных условий первого рода:

                                                 x=0

                                         

   x=L                                  (24)

Где — температура на левой границе; — температура на правой границе; L — длина объекта вдоль оси х.

Уравнения граничных  условий второга рода:

          

                                                        

                                   (25)

Если какая либо из границ (правая или левая) теплоизолирована, то дТ / дх = 0 для этой границы.

Граничные условия третьего рода при конвективном теплообмене:

                                          

                                        

                         (26)

При генерировании теплового потока на граничных поверхностях:

 

                                            

                                    (27)

При теплообмене излучением:

                                   

                             (28)

где: и - температура окружающей среды соответственно на левой и правой границах; и - степень черноты левой и правой граничных поверхностей.

Отметим, что  на левой и правой граничных поверхностях могут быть различные виды теплообмена. Многие теплотехнические объекты выполняют многослойными. Обычно один из слоев обеспечивает несущую способность, а другие выполняют роль теплоизолирующих или фрикционных 
элементов.В многослойном объекте наряду с теплопроводностью 
имеет место теплообмен соприкасающихся твердых тел. Матема- 
тическая модель объекта должна включать описание условий это- 
го теплообмена. При анализе температурных полей все части объ- 
екта необходимо рассматривать совместно. Для каждой части 
(слоя) записывают свое уравнение теплопроводности, а краевыми 
условиями будут условия сопряжения, выражающие равенство 
температур и равенство плотностей тепловых потоков на поверх- 
ностях соприкасающихся частей:

                                                      

                                                     (29)

                                                 

                                    (30)

Уравнения (26) и (27) описывают граничные условия четвертого рода.

Кроме рассмотренных  встречаются и другие виды граничных условий. Например, на поверхностях соприкосновения возможны фазовые превращения вещества, требующие учета затрат тепловой энергии.

Если внешние  воздейвия на объект, характеризуемые функциями краевых условий непостоянны, процесс теплопередачи будет нестационарным. Для получения однозначного решения уравнений математической модели в этом случае надо кроме краевых условий задать и Начальные условия. При этом задается распределение температуры по всей области определения объекта в начальный момент времени при .

                                    

                              (31)

Совокупность уравнений теплопроводности и граничных условий составляет математическую модель теплового объекта на микроуровне. Резулътатом решения этих уравнений является температурное поле объека на основании которого можно судить о его работоспособности ограничение работоспособности наступает при достижении предельных значений температуры и напряжении, допускаемых для материала, из которого изготовлен объект. Напряжения в тепловом объекте определяются суммой напряжении от механическое нагрузки и термических напряжений, обусловленных градиентом температуры. Температурное поле позволяет определить термические напряжения [1, с.42].

1.4 Применение программ  для решения моделей тепловых  систем

1.4.1 Обзор программы ANSYS

          ANSYS — универсальная программная система конечно-элементного (МКЭ) анализа, существующая и развивающаяся на протяжении последних 30 лет, является довольно популярной у специалистов в сфере автоматических инженерных расчётов (CAE, Computer-Aided Engineering) и КЭ решения линейных и нелинейных, стационарных и нестационарных пространственных задач механики деформируемого твёрдого тела и механики конструкций (включая нестационарные геометрически и физически нелинейные задачи контактного взаимодействия элементов конструкций), задач механики жидкости и газа, теплопередачи и теплообмена, электродинамики, акустики, а также механики связанных полей. Моделирование и анализ в некоторых областях промышленности позволяет избежать дорогостоящих и длительных циклов разработки типа «проектирование — изготовление — испытания». Система работает на основе геометрического ядра Parasolid. Программная система КЭ анализа ANSYS разрабатывается американской компанией ANSYS Inc.. Компания также выпустила другие системы КЭ моделирования, в том числе DesignSpace, AI Solutions (NASTRAN, ICEM CFD); предназначенные для использования в более специфических отраслях производства.

В качестве стратегического  партнёра фирма сотрудничает со многими компаниями, помогая им провести необходимые изменения. Предлагаемые фирмой ANSYS Inc. средства численного моделирования и анализа совместимы с некоторыми другими пакетами, работают на различных ОС. Программная система ANSYS сопрягается с известными CAD-системами Unigraphics, CATIA, Pro/ENGINEER, SolidEdge, SolidWorks, Autodesk Inventor и некоторыми другими.

Программная система ANSYS является довольно известной CAE-системой, которая используется на таких известных предприятиях, как ABB, BMW,Boeing, Caterpillar, DaimlerChrysler, Exxon, FIAT, Ford, БелАЗ, GeneralElectric, LockheedMartin,MeyerWerft, Mitsubishi, Siemens, Alfalaval, Shell,Volkswagen-Audi и др., а также применяется на многих ведущих предприятиях промышленности РФ, пример, ГУП НИИМосстрой [4].

1.4.2 Обзор программы  Mathcad

          Mathcad —система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы. Mathcad имеет интуитивный и простой для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.

Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple (MKM, Maple Kernel Mathsoft). Начиная с 14 версии — использует символьное ядро MuPAD.