Контрольная работа по "Компьютерная графика"

Минский государственный  высший радиотехнический колледж

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Компьютерная графика

Контрольная работа №1

Вариант 97

Афанасенко Илья Анатольевич

V – А – 97

Группа 04411

 

Содержание:

1. Цвет как субъективная характеристика объекта………………………………………2
2. Самоподобие. Поколения кривых в геометрии фракталов…………………………...6
3. Матрицы преобразований координат точек……………………………………….…16
4. Список используемой литературы…………………………………………………....19 
   

Цвет как субъективная характеристика объекта.

Цвет — это один из факторов нашего восприятия светового излучения. Светом и цветом исследователи интересовались давно. Одним из первых выдающихся достижений в этой области являются опыты Исаака Ньютона в 1666 г. по разложению белого света на составляющие. Ранее считалось, что белый свет является простейшим. Ньютон опроверг это. Суть опытов Ньютона такова. Белый луч света (использовался солнечный свет) направлялся на стеклянную треугольную призму. Пройдя сквозь призму, луч преломлялся и, будучи направленный на экран, давал в результате цветную полосу — спектр. В спектре присутствовали все цвета радуги, плавно переходящие друг в друга. Эти цвета уже не раскладывались на составляющие. Ньютон разбил весь спектр на семь участков, соответствующих ярко выраженным различным цветам. Он считал эти семь цветов основными — красный, оранжевый, желтый, зеленый, голубой, синий и фиолетовый.

Вторая часть опытов Ньютона  такова. Лучи, прошедшие сквозь призму, направлялись на вторую призму, с помощью которой удалось вновь получить белый свет. Таким образом, было доказано, что белый цвет является смесью множества различных цветов. Семь основных цветов Ньютон расположил по кругу (рис. 1).

Рис. 1. Цветовой круг Ньютона

Рассмотрим цвет с позиций  волновых свойств. Одной из волновых характеристик света является длина волны — расстояние, которое проходит волна в течение одного периода колебания. Монохроматическим называется излучение, спектр которого состоит из единственной линии, соответствующей единственной длине волны. Радуга, полученная Ньютоном, состоит из бесчисленного множества монохроматических излучений (равно как и радуга, наблюдаемая нами после дождя). Достаточно качественным источником монохроматического излучения является лазер — именно поэтому его луч легко сфокусировать. Цвет монохроматического излучения определяется длиной волны. Диапазон длин волн для видимого света простирается от 380—400 нм (фиолетовый) до 700—780 нм (красный). В указанном диапазоне чувстви¬тельность человеческого зрения непостоянна. Наибольшая чувствительность наблюдается для длин волн, соответствующих зеленому цвету (рис. 2.).

Рис. 2. Зависимость чувствительности человеческого зрения от длины волны светового излучения

Как показал Ньютон, белый  цвет можно представить смесью всех цветов радуги. Иными словами, спектр белого является непрерывным и равномерным — в нем присутствуют излучения всех длин волн видимого диапазона.

Для характеристики цвета  используются следующие атрибуты:

• Цветовой тон. Можно определить преобладающей длиной волны в спектре излучения. Цветовой тон позволяет отличать один цвет от другого — например, зеленый от красного, желтого и других.
• Яркость. Определяется энергией, интенсивностью светового излучения. Выражает количество воспринимаемого света.
• Насыщенность или чистота тона. Выражается долей присутствия белого цвета. В идеально чистом цвете примесь белого отсутствует. Если, например, к чистому красному цвету добавить в определенной пропорции белый цвет (у художников это называется разбелом), то получится светлый бледно-красный цвет.

Указанные три атрибута позволяют  описать все цвета и оттенки. То, что атрибутов именно три, является одним из проявлений трехмерных свойств цвета. Как мы увидим далее, имеются и другие трехмерные системы описания цвета.

Мы попытались объяснить  цвет с помощью длин волн и спектра. Как оказывается, это неполное представление о цвете, а вообще говоря, оно неправильно. Во-первых, глаз человека — это не спектроскоп. Зрительная система человека, скорее всего, регистрирует не длину волны и спектр, а формирует ощущения иным способом. Во-вторых, без учета особенностей человеческого восприятия невозможно объяснить смешение цветов. Например, белый цвет действительно можно представить равномерным спектром смеси бесконечного множества монохроматических цветов. Однако тот же белый цвет можно создать смесью всего двух специально подобранных монохроматических цветов (такие цвета называются взаимно дополнительными). Во всяком случае, человек воспринимает эту смесь как белый цвет. А можно получить белый цвет, смешав три или более монохроматических излучений. Излучения, различные по спектру, но дающие один и тот же цвет, называются метамерными.

Необходимо также уточнить, что понимается под цветовым тоном. Рассмотрим два примера спектра (рис. 3.).

Анализ спектра, изображенного  на рис. 3 (а), позволяет утверждать, что  излучение имеет светло-зеленый  цвет, поскольку четко выделяется одна спектральная линия на фоне равномерного спектра белого. А какой цвет (цветовой тон) соответствует спектру варианта (б)? Здесь нельзя выделить в спектре  преобладающую составляющую, поскольку  присутствуют красная и зеленая  линии одинаковой интенсивности. По законам смешения цветов это может  дать оттенок желтого цвета, однако в спектре нет соответствующей  линии монохроматического желтого. Поэтому под цветовым тоном следует  понимать цвет монохроматического излучения, соответствующего суммарному цвету смеси. Впрочем, как именно "соответствующего" — это также требует уточнения.

Рис. 3. Два спектра: а —  имеется явное преобладание одной  составляющей, б — две составляющие с одинаковой интенсивностью

Наука, которая изучает  цвет и его измерения, называется колориметрией. Она описывает общие  закономерности цветового восприятия света человеком.

Одними из основных законов  колориметрии являются законы смешивания цветов. Эти законы в наиболее полном виде были сформулированы в 1853 году немецким математиком Германом Гроссманом:

1. Цвет трехмерен— для его описания необходимы три компоненты. Любые четыре цвета находятся в линейной зависимости, хотя существует неограниченное число линейно независимых совокупностей из трех цветов.

Иными словами, для любого заданного цвета (Ц) можно записать такое цветовое уравнение, выражающее линейную зависимость цветов:

Ц = к1Ц1 +к2Ц2 + к3Ц3,

где Ц1, Ц2, Ц3 — некоторые базисные, линейно независимые цвета, коэффициенты к1, к2 и к3 указывают количество соответствующего смешиваемого цвета. Линейная независимость цветов Ц1, Ц2, Ц3 означает, что ни один из них не может быть выражен взвешенной суммой (линейной комбинацией) двух других.

Первый закон можно  трактовать и в более широком  смысле, а именно, в смысле трехмерности цвета. Необязательно для описания цвета применять смесь других цветов, можно использовать и другие величины — но их обязательно должно быть три.

2. Если в смеси трех цветовых компонент одна меняется непрерывно, в то время, как две другие остаются постоянными, цвет смеси также изменяется непрерывно.
3. Цвет смеси зависит только от цветов смешиваемых компонент и не зависит от их спектральных составов.

Смысл третьего закона становится более понятным, если учесть, что  один и тот же цвет (в том числе  и цвет смешиваемых компонент) может быть получен различными способами. Например, смешиваемая компонента может быть получена, в свою очередь, смешиванием других компонент.

 

Самоподобие. Поколения кривых в геометрии фракталов

Определение фрактала

Эти объекты вошли в  научный обиход в 70-х годах прошлого века благодаря работам Бенуа Мандельброта. Фракталами называются геометрические объекты – линии, поверхности, пространственные тела, – имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского fractus и переводится как дробный, или ломаный. Самоподобие как основная характеристика фрактала означает, что он достаточно единообразно устроен в широком диапазоне масштабов. В идеальном случае самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно растяжений, т. е.,  ему присуща дилатационная симметрия. Она предполагает неизменность основных геометрических особенностей фрактала при изменении масштаба.

Для реального природного фрактала существует некоторый минимальный  масштаб длины lmin, такой, что на расстояниях l ≈ lmin, его основное свойство – самоподобие – пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин l > lmах, где lmах – характерный геометрический размер объектов, свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах l, удовлетворяющих соотношению lmin<< l << lmах , в так называемой, промежуточной асимптотике.

Как всякое фундаментальное  понятие, фрактал не имеют определения и, следовательно, должен определятся списком свойств.

Тем не менее, существует как  минимум три определения фракталов, безусловно, не являющихся полными, каждое из которых обращает внимание на некую существенную особенность этих объектов:

1. фрактал – это объект, в каком-то смысле подобный самому себе;
2. фрактал – это объект, размерность которого строго больше его топологической размерности;
3. фрактал – это объект, содержащий в себе "дыры" всех размеров, что фактиески сводится к констатации его самоподобия на разных масштабах.

Регулярные (геометрические) фракталы

Свойства  природных фрактальных объектов чрезвычайно разнообразны и сложны, поэтому для их исследования используются модельные фракталы, сгенерированные по специальным алгоритмам. Такие искусственные фрактальные объекты носят название регулярных фракталов. Фракталы этого класса самые наглядные. В двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной (или поверхности в трехмерном случае), называемой генератором. За один шаг алгоритма каждый из отрезков, составляющих ломаную, заменяется на ломаную-генератор в соответствующем масштабе. В результате бесконечного повторения этой процедуры, получается геометрический фрактал.

 

Триадная кривая Коха

Примером  регулярных фракталов является триадная кривая Гельга фон Коха, т. н. «Снежинка Коха», процесс построения которой можно представить следующим образом (см. рисунок):

1. отрезок единичной длины l делится на 3 части, средняя часть отрезка             отбрасывается и заменяется ломаной, состоящей из 2 отрезков длины 1/3;
2. каждый прямой отрезок полученной ломанной преобразуется согласно пункту 1, и мы получаем более изощренную ломаную линию;
3. пункты 1 и 2 повторяются до исчерпания технических возможностей чертежного приспособления.

 На  первом шаге алгоритма длина  отрезка l составляет 1/3 от первоначальной. Тогда длина кривой Кох вычисляется просто

L =  4*1/3  = 4/3 = 1,33

На втором шаге алгоритма длина элементарного  отрезка l = 1/9,  длина кривой

L= 16*1/9 = 16/9 = 1,777

На третьем  шаге алгоритма l = 1/27

L= 64*1/27 = 64/27 = 2,370370

и т.д. Можно  заметить, что с увеличением количества стадий построения длина элементарного  отрезка l ® 0, а длина кривой L стремится к бесконечности:

L= (4/3)ⁿ

l= (1/3)ⁿ ,

где n= 1,2,3.

Треугольник и квадрат Серпинского

Еще один пример  регулярного фрактала – треугольник Вацлава Серпинского («Салфетка Серпинского»). Способ его построения ясен из рисунка: на нем представлен треугольник Серпинского на 3-й стадии построения, которая получена при соединении середин сторон соответствующих равносторонних треугольников. 

На следующем рисунке – треугольник Серпинского, полученный при многократном соединении середин сторон соответствующих треугольников.

                                

Аналогично можно построить  ковер  Серпинского, который является двумерным аналогом канторовского множества исключенных средних третей. Алгоритм его создания состоит в следующем. Каждая из сторон квадрата единичной площади делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков со стороной, равной Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат.

Затем такой же процедуре  подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков  и т. д.

В результате получается дырявый  квадратный ковер Серпинского со значением фрактальной размерности 

D = ln8 / ln3 = 1.8928 .

Он также представляет собой  пример идеального самоподобного фрактала. Его фрактальная размерность, однако, больше, чем у салфетки Серпинского, т. е., он является в каком-то смысле «менее дырявым».

Губка Менгера

Алгоритм создания пространственного  аналога квадратного ковра Серпинского, называемого губкой Менгера, состоит  в следующем. Каждая грань куба, имеющая  единичную длину, делится на 9 равных квадратиков так же, как и при  построении квадратного ковра Серпинского. В результате исходный куб разбивается  на 27 одинаковых кубиков с длиной ребра, равной Затем, удаляя 7 кубиков (один центральный и 6 из центра каждой из граней), противоположные грани исходного куба соединяются сквозным центральным отверстием квадратной формы. В результате из 27 остается 20 маленьких кубиков.