Описание реализации задачи в MathCAD

Содержание

 

Введение 2

 1 Компьютерное моделирование 3

1. Основные концепции математического и компьютерного моделирования 3
2. Обзор численных методов интерполяции и аппроксимации 8
3. Функции MathCad используемые в моделировании  9

2 Алгоритмический анализ задачи 10

2.1 Полная постановка задачи 10

    2.2 Описание  математической модели 11

2.3 Анализ исходных и результирующих данных 12

2.4 Графическая схема алгоритма 13

3 Описание реализации задачи  в MathCAD 15

    3.1 Описание реализации  базовой модели  15

    3.2 Описание исследований  17

    3.3 Выводы по результатам  исследований 22

Заключение 23

Список используемых источников 24

Приложение А Базовая модель 25

Приложение Б Исследования 27

Приложение В Вывод 45

 

Введение

В курсовой работе необходимо исследовать электрическую цепь. Электрической цепью называют совокупность устройств, состоящая из источников, преобразователей электрической энергии и соединяющих их проводов, образующих замкнутые пути для электрического тока. В наше время эта тема является очень актуальной, т.к. роль ее в подготовке инженеров и научных работников, специализирующихся в области электротехники, электроники, радиотехнике и т.д. все более возрастает, поэтому расчет и исследование электрической цепи является важной задачей для инженерных работ.

MathCAD – мощный пакет программ, предназначенный для решения различных математических задач с возможностью программирования. Система MathCAD занимает лидирующее положение среди всех остальных математических систем. Помимо выполнения своих математических функций система MathCAD является очень неплохим текстовым и графическим редактором, по многим параметрам не уступающим специализированным программам.

          Система MathCAD является на данный момент единственной математической системой, в которой описание решения задач задаётся с помощью привычных математических формул и знаков. Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера позволило резко повысить скорость расчётов и уровень сложности задач. Приобретаемые при выполнении навыки и опыт будут важны при дипломном проектировании, а также инженерной и научной деятельности.

Актуальность проводимых нами исследований состоит в том, что в наше время наибольшее распространение приобретают уже рассчитанные и проверенные в теории проекты, а моделирование очень удобно производить с помощью компьютера. В последнее время в электротехнике, также как и в других областях науки, наблюдается тенденция оптимизации и алгоритмизации процессов. С точки зрения студента, такой подход также является эффективным, так, как  позволяет сэкономить временные затраты на проведение исследований. Практическое применение расчета электрических цепей очень важно.

 

1 Математическое моделирование

1.1 Основные концепции  математического моделирования

 

Известно, что системный анализ – это целенаправленная творческая деятельность человека, на основе которой обеспечивается представление объекта в виде системы. Процессы изучения и использования свойств системы становятся определяющими и решающими для успешной практической деятельности. Одним из современных инструментов системного анализа и синтеза систем является информационное (абстрактное) моделирование, проводимое на компьютерах. Информационные модели могут имитировать существенные черты объектов-оригиналов и достаточно точно воспроизводить их поведение [2].

Таким образом, одной из сильнейших сторон информатики является ее интегративный характер. Используя идеологию системного подхода, можно изучать объекты и процессы из разных предметных областей, используя для этого современные компьютерные средства и методы. Следует отметить, продуктивный характер подобной деятельности, в основу которой заложена ориентация на исследование и творчество. При этом помимо развития системного мышления может быть достигнута не менее важная цель – закрепление знаний и умений, полученных учеником на других школьных предметах [2].

Цель курса – научить моделированию, подробно рассматривая каждый этап моделирования на примере большого количества задач. Основное внимание уделяется этапу формализации задач и разработке информационной модели изучаемого объекта или системы. В зависимости от типа задачи моделирование проводится в системе графического редактора и текстового  процессора.

Математическое моделирование - процесс создания модели и оперирование ею с целью получения сведений о реальном объекте. Можно заметить, что альтернативой математического моделирования является физическое макетирование, но у математического моделирования есть ряд преимуществ:

по форме представления: инвариантные (представляют собой систему уравнений вне связи с методом решения), алгоритмические (модели связаны с выбранным численным методом решения и его реализацией в виде алгоритма), аналитические (отображаются явными зависимостями переменных), графические (схемные);по характеру отображаемых свойств: функциональные (описывают процессы функционирования объектов), структурные (отображают только структуру и используются при решении задач структурного синтеза); по     степени     абстрагирования:     модели     микроуровня     с распределенными     параметрами,     модели     макроуровня     с сосредоточенными параметрами, модели метауровня; по способу получения: теоретические, экспериментальные; по  учету   физических   свойств:   динамические,   статические, непрерывные, дискретные, линейные, нелинейные; по способности прогнозировать результаты: детерминированные, вероятностные [2].

Модель считается адекватной, если отражает исследуемые свойства с приемлемой точностью, которая оценивается степенью совпадения предсказанного в процессе эксперимента на модели значений выходных параметров с истинными значениями [2].

Погрешность    ξ    по    совокупности    m    выходных    параметров оценивается одной из норм вектора

 

                   (1.1)

Или

                                       (1.2)

где ξj - относительная погрешность модели по j-тому выходному параметру:

 

(1.3)

 

 

 

где      -   значение  j-того   выходного   параметра,   полученное   в

результате     эксперимента     на     принятой     для     проектирования математической модели [2].

yj   - значение того же параметра,  полученное при  испытаниях технического объекта в тестовых условиях. При проектировании технических объектов используют множество видов математических моделей, в зависимости от уровня иерархии, степени декомпозиции системы, аспекта, стадии и этапа проектирования. На любом уровне иерархии объект проектирования представляют в виде некоторой системы, состоящей из элементов. В этой связи различают математические модели элементов и систем. В общем случае уравнения математической модели связывают физические величины, которые характеризуют состояние  объекта  и  не относятся  к перечисленным  выше выходным, внутренним и внешним параметрам. Величины, характеризующие состояние технического объекта в процессе его функционирования, называют фазовыми переменными (фазовыми координатами). Вектор фазовых переменных задает точку в пространстве, называемом фазовым пространством. Фазовое пространство, в отличие от геометрического, многомерное. Его размерность определяется количеством используемых фазовых координат. Обычно в уравнениях математической модели фигурируют не все фазовые переменные, а только часть из них, достаточная для однозначной идентификации состояния объекта. Такие фазовые переменные называют базисными координатами. Через базисные координаты могут быть вычислены значения и всех остальных фазовых переменных [2].

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, экономичности, универсальности. Эти требования противоречивы, поэтому обычно для проектирования каждого объекта используют свою оригинальную модель. Математические модели технических объектов, используемые при проектировании, предназначены для анализа процессов функционирования объектов и оценки их выходных параметров. При этом математическая модель должна быть как можно проще, но в то же время обеспечивать адекватное описание анализируемого процесса [2].

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента [2].

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т.п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической    и    компонентов    инвариантной    математических моделей. Структурные модели отображают только структуру объектов и   используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на мета уровне при выборе технического решения [2].

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные — на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели). При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы [2].

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа, Фурье и др [2].

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным [2].

 
1.2 Аппроксимация и интерполяция  в MathCad

 

Аппроксимацией функции f (x) называется нахождение такой функции g (x), которая была бы близка к заданной в соответствии с выбранным критерием. Задачей аппроксимации является нахождение функции g (x), проходящей через заданные узлы в соответствии с заданным критерием [4].

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по функции f (x) можно рассмотреть другую функцию g (x) близкую в некотором смысле к f (x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку погрешности такой замены [4].

Интерполяция (частный случай аппроксимации)

Если для табличной функции y=f (x), имеющей значение x0 f (x0) требуется построить аппроксимирующую функцию g (x) совпадающую в узлах с xi c заданной, то такой способ называется интерполяцией [4].

Функции аппроксимации. Для осуществления сплайновой аппроксимации MathCAD предлагает четыре встроенные функции. Три из них служат для получения векторов вторых производных сплайн-функций при различном виде интерполяции:(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении в опорных точках к кубическому полиному;(VX, VY) - возвращает вектор \/S вторых производных при приближении к опорным точкам к параболической кривой;(VX, VY) - возвращает вектор VS вторых производных при приближении к опорным точкам прямой.(vs, vx, vy, х) - возвращает значение у (х) для заданных векторов VS, VХ, VУ и заданного значения х [4].

Таким образом, сплайн-аппроксимация проводится в два этапа. На первом с помощью одной из функций cspline, pspline или ispline отыскивается вектор вторых производных функции у (х), заданной векторами VХ и VУ ее значений (абсцисс и ординат). Затем на втором этапе для каждой искомой точки вычисляется значение у (х) с помощью функции interp [4].

 

1.3 Система Mathcad, основные функции

 

MathCAD является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), MathCAD стал наиболее популярным математическим приложением [3].

Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения c помощью встроенного   редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Для эффективной работы с редактором MathCAD достаточно базовых навыков пользователя [3].