Основные определения теории подобия и моделирования. Варианты постановки задач моделирования

1Основные  определения теории подобия и  моделирования.Варианты постановки  задач моделирования

Моделирование – замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта оригинала с помощью объекта модели.

Подобие – взаимно однозначное соответствие между 2 объектами при котором ф-ии перехода от параметров, характеризующих один из объектов, к параметрам др. объекта известны, а мат описание этих объектов могут быть преобразованы в тождественные.

Модель – объект находящийся в отношении подобия к моделируемому объекту.

Моделирование – исследование моделируемого объекта, базирующегося на его подобии модели и включающие построение, изучение модели и перенос полученных сведений на моделируемый объект.

Задачи обучения:

1. Применение моделирования для уяснения физических законов;
2. Рассмотрение действия новых разработок  и установок;
3. Тренировки персонала действующих производственных объектов.

Исследовательские задачи:

1. Прямые задачи анализа – исследуемая сис-ма задается параметрами своих эл-ов, параметрами исходного режима, структурой или уравнениями. Требуется определить реакцию сис-мы на действующие силы или сигнал.

2.Обратная задача анализа по известной реакции сис-мы требуется найти силы или сигналы, кот вызвали такую реакцию.

3.Задача синтеза-позволяет найти такие параметры системы при кот. процессы в системе будут носить желательный характер.

4.Индуктивные задачи. Проверка гипотез, уточнение ур-ний описывающих процессы в сис-ме, выяснения свойств элементов сис-мы.

2Классификация моделей:

А) Степень полноты модели:

1.Полное подобие – подобие протекании во времени и пространстве основных процессов, т.е. тех, которые для данной цели исследования, достаточно полно определяют явления.

2.Неполное подобие протекание всех основных процессов подобных только частично (или во времени, или в пространстве).

3.Приближенное подобие допускается нарушение  взаимно однозначного соответствия м/у моделью и объектом, или такое искажение процессов модели которая в данной постановке задачи приемлемо и  оценивается аналитически или экспериментально.

Б) Модели м. б.:

1.детерминированными(без учета случайных возмущений параметра);

2.стохастическими.

В) Модели:

1.динамические – описание поведения объекта во времени;

2.статическое-описание объекта в фиксированный момент времени.

Г) Модели:

1.дискретные модели - параметры объектов могут принимать значение из фиксированного набора состояний; 2.непрерывные – параметры системы могут принимать любое значение из заданного диапазона;

3.дискретно – непрерывные.

Д)Мысленное моделирование:

— Наглядное:

1.)Гипотетическое (в основе лежит гипотеза, к ним прибегают когда недостаточно знаний); 2.)Аналоговое моделирование(применение аналогий различного уровня). 3.)Макетирование(в основе лежит аналогичность протекания процессов)

— Символическое основанно на использовании искусственных логических объектов, кот. замещают реальный объект и выражают его свойства системой знаков:

1.)Знаковое моделирование(основывается на использование условных обозначений  для отдельных понятий  и операций между  ними);2.)Языковое моделирование(в основе лежит тезаурус – словарь освобожденный от всех неоднозначностей) 

− Математическое – процесс установления соответствующих заданному реальному объекту математического объекта и исследования данной модели.

Классификация математического моделирования:

а) Аналитическое моделирование– процесс функционирования системы описывается в виде  функций, соотношений или логических условий. Аналитические модели могут быть исследованы следующими  способами:

1) Аналитический способ, т.е. получение в общем виде явной зависимости для искомых параметров.

2) Численный способ (дают численный результат для конкретных начальных условий )

3)Качественный способ (получение свойств решения, наличие разрывов функции, дифференцируемость и т.д. )

б) Имитационное моделирование, при построении модели имитирующие элементарные явления, при сохранении их логической структуры и последовательности  протекания во времени.

в) Комбинированное моделирование(имитац-е и аналитического)

Е)Реальное моделирование заключается в исследовании характеристик на реальном объекте.

1)Натуральное моделирование:

- производственный эксперимент (реально работающие устройства);   

- комплексные сочетания (моделируются специальные условия  функционирования)

- научный эксперимент

2) Физическое моделирование, исследования проводят на установках, которые сохраняют природу физических явлений.

-моделирование в реальном времени;

-моделирование в нереальном масштабе времени;

-замороженное моделирование

3Этапы моделирования.Уровни мод-я.Требования к моделям

Этап 1.Уяснение и постановка задачи на физич.уровне, процесс схематизации явления и выделение его существенных особенностей.

Этап2.После выделения существенных факторов происходит перевод данных на язык мат-х понятий.Часто опираются на физич. з-ны принципы ТВ,…

Этап3. После построения модели следует проводить проверку логической непроворечивости и её адекватности явлению

Этап4.Все существенные данные из перечня параметров должны входить в матем-ю формулировку задачи.Справедливость модели проверяется по результатам решения теоретической задачи и сопоставления полученного результата с реальной ситуацией.

Уровни моделирования

1.Микроуровень (использует мат модели описывающие физическое состояние и процессы на сплошных средах). К типичным исследованием по параметрам относятся эл. потенциаллы, давление, плотность.

2.Макроуровень (в качестве объектов моделирования выделяют – отдельные функионально законченные элементы).

3.Метауровень (на этом уровне, путем дальнейшего  абстрагирования физических процессов, полученные модели описывающие информационные процессы).

Требования к математическим моделям

1.Адекватность модели, т.е. отражаются заданные св-ва с заданной точностью.

2.Точность модели, определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта. Чаще всего точность выражается погрешностью.

; y-измеренное значение вых.параметра; -знач-е вых.параметра,рассчит. по модели

3.Универсальность определяется числом и составом учитываемых в моделях внешних и выходных параметров.

4.Экономичность, характеризуется затратами вычислительных ресурсов для реализации модели

4Два подхода к моделированию

1) Классический: рассматривает объект моделирования путем перехода  от частного к общему и синтезирует  модель путем слияния ее компонентов 

 разрабатываемыми  отдельно. взаимосвязано м/у отдельными  частями модели рассматриваются  как отражения связи м/у подсистемами  объекта .

Реальный объект разрабатывается на  отдельные подсистемы, т.е. выбираются исходные данные Д и ставятся цели Ц для нахождения этих подсистем. По отдельной совокупности исходных Д с учетом  цели Ц, формируется компонент к будущей модели.Совокупность объединяется в модель(от частного к общему)

 

2) Системный: Предлагает последовательный  переход от общего к частному. В основе моделирования лежит общая цель. На основе исходных данных и цели Ц формулируются  требования  Т к  модели.На базе требований формируется  подсистемы П и элементы Э будущей модели,кот на основе критерия выбора формируют состав модели М.

5Математические схемы  описания моделирования.

Обьект моделирования описывается след. переменными:

-Входные воздействия  на систему

-Воздействия внешней среды

-Внутренние параметры  системы

-Выходные характеристики

Процесс функционирования объекта описывается оператором Совокупность зависимостей  вых. характеристик объекта  называется выходной траекторией.

Схемы описания модели:

1.непрерывно-детерминированная схема – D – схемы,  используется  для описания модели систем функционирования  непрерывно во времени,параметры кот м. принимать любое значение без учёта случ.возмущений этих параметров(диф.ур-я,сис-мы диф.ур-й ).

2.Дискретно-детерминированная схема - F-схемы, объект представляется в виде автомата(цифровой схемы),перерабатывающего дискретную информацию и изменяющего своё внутр.состояние в заданный момент времени.

3.Дискретно-стахастические схемы -P – схемы, объекты представляются дискретными преобразователями информации с памятью,функционирование кот определяется состоянием этой памяти и м.б. описана статистически

4.Непрерывно стохастические схемы Q - схемы, их объект мод-я представляется как сис-ма,исполняющая заявки на обслуживание.

6Статический  м-д исследования модели

М-д статических испытаний (Монте-Карло) представляет собой м-д получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах происходящих в моделируемой сис-ме.

Сущность м-да в построении моделируемого алгоритма для процессов функционирования исследуемой сис-мы, имитирующем поведение и взаимод-я элементов сис-мы с учетом случайных взаимодействий.

Выделяют 2 области применения  м-да Монте-Карло:

1) Для моделирования объектов

2) численный м-од решения  детерминированных задач.

Алгоритм применения м-да М.-К. для модел-я:

1.разработка детерминированной  модели,описывающей функционирование  объекта

2.Получение случайных  чисел,соответствующих законам распределения стахостич. параметров объекта,влияние кот необходимо исследовать

3.расчёт значений вых  параметров модели во всём  диапазоне изменений детерминированныхпараметров  для всех получившихся случ  параметров

4.полученный набор значений  рассматривается как реализация случайного процесса,т.е. знач-е вых параметров в кажд точке изменения детерминированных пар-ов рассматриваетси как выборка случайной величины и обрабатывается статистически(мат.ожидание,дисперсия,…)

7Способы получения случайных чисел.

1.аппаратный, случайное число вырабатываются с помощью случ.датчика.

Достоинства: 1) Запас чисел неограничен: 2) не использ. ресурсы ЭВМ

Недостатки: 1) требуется периодическая проверка качества последовательности случайных чисел; 2) нельзя воспроизвести одинаковые последовательности; 3) необходимо специальное устройство.

2.табличный реализуется путем заполнения памяти ЭВМ некоторой проверенной последовательностью с.ч.

Д:1) не требуется проверка качества последовательности 2)м. воспроизводить  одинак. последовательности.

Н:1) Запас чисел ограничен 2) нерациональное использовпание ресурсов ЭВМ

3.алгоритмический основан на формировании с.ч. в ЭВМ по некоторому алгоритму.

Д:1)Возможность воспроизведения одинак. последовательностей; 2)Однократная проверка кач-ва последовательности 3) малые затраты ресурсов ЭВМ

Н:1) Запас чисел ограничен

8Получение  последовательностей с.ч. с заданным  з-ом распределения плотности  вер-ти 

1.Масштабирование

Если необходимо получить последовательность с.ч. с равномерным з-ком распределения в диапазоне [a;b], то , где - с.ч. из последовательности с равномерным з-ком распределения [0;1]. Если нужно получить с.ч. с нормальным з-ом распределения с заданными my, , то , где x-с.ч. с норм з-м распределения

2.Преобразование закона распределения

Если с.в. имеет плотность распределения , то распределение с.в. ,где 

Чтобы получить принадлежащее последовательности с распределением , необходимо решить интегральное уравнение:

, где  - случайная величина с распределением [0;1]

Для пересчета в нормальный з-н распределения с параметрами , используется след-е ф-лы:

3.Приближенный универсальный способ получения с.ч. на основе кусочной аппроксимации ф-ии плотности В.

Алгоритм получения с.ч:

1) генерируется с.ч. равномерно  распределенное в интервале [0;1]

2) по этому с.ч. выбирается номер интервала

3) генерируется с.ч. равномерно распределенное в интервале [0;1]

4) рассчитывается , где - с.ч. приближенно распределенное по требуемому з-ну.