Основные определения теории подобия и моделирования. Варианты постановки задач моделирования

9Составление модели экспериментальным статическим путем. Постановка задачи планирования эксперимента. Пассивный и активный эксперимент.Принципы планирования

Эксперимент - целенаправленно организованный опыт, содержащий наблюдение исследуемого явления  в специально заданных условиях.Входн параметры x наз факторами,вых параметры наз откликом.

Изучение ф-ния объекта основывается на анализе внешних воздействий X и соотв. им реакции системы Y. Связь м/у X и Y представляют в виде уравнений.

Различают:

1.В пассивном эксперименте  значениями факторов управлять  нелбзя.Уровни факторов принимают  случ.значения.

2.Активный эксперимен-значения факторов задаются и поддерживаются неизменными на опред уровне.

Цель планирования эксперимента-пролучение max информации об исследуемом объекте при min кол-ве опытов

Используются след. принципы:

1.Отказ от полного перебора  всех возможных состояний объекта

2.Постепенное усложнение  структуры модели

3.Сопоставление рез-ов  экс-та с величиной случ.помех

4.Принцип рандомизации  опыта.Опыты проводятся таким образом,чтобы все переменные носили случ хар-р

5.Оптимальное планирование  экс-та

10Корреляционный анализ

По результатам проведения экс-та проводят корреляц.анализ, рассчит-ся коэф-т корреляции для каждой пары факторов и для факторов и ф-ии отклика

где XiXj-этоi ,j факторы или I -фактор иj-ф-я отклика

SiSj-среднеквадратич отклонения

Xi-значение i-го фактора

N-кол=во опытов в экспероименте

-средн.значение фактора

Если коэф. =1 или -1, то это значит что м/у параметрами сущ.тесная связь. Если =0, то связь отсутствует. Если”0”,то фактор исключается из модели;если1,-1 исключаютфактор менее связанный с входн параметрами

11Регрессионный  анализ

Задача анализа-определение параметров экспериментальных факторных моделей

3 этапа:

1.статистич анализ рез-ов  экс-та

2.получение коэф-ов регрессионной  модели

3.оценка адекватности и работоспособности получ модели

Факторную модель м. представить в след виде:

,φ-ур-е регрессии,x-факторы,b-коэф-ты ур-я регрессии

Результаты экс-та представлены в виде

,ε-аддитивная помеха с норм. з-ом распред-я

Т.к.в рез-те  проведения экс-та всегда получаются случ.значения ф-ии отклика,то и рассчитанные знач-я коэф-ов модели b явл-ся оценками истинных значений коэф-ов модели β. Ф-ю φ(x)м. представить:

, βj-коэф ур-я регрессии,f()-j базисная ф-я

Предпосылки:

1.аддитивн помеха ε- случайная  нормально распред вел-на с  нулевым мат ожиданием и пост дисперсией

2.знач-е факторов в активном  экс-те-это не случайн6ые величины

3.знач-е факторов в пассивном  экс-те-случайные нормально распред-е  велшичины

4.помехи в различных точках  опыта не коррелированны

5.вектор-столбы базисных ф-ий, образованных значениями базисных ф-ий в кажд опыте должны быть линейно независимыми

 

 

12Оценка  параметров регрессионной модели

Исходными данными для оценки параметров регресс модели явл-я данные о значениях факторов x и ф-ии отклика Y. Это информация представлена в виде:

n-кол-во факторов,N-кол-во опытов,Xij-знач-е j фактора в I опыте

.   Значения базисных ф-ий в кажд опыте образуют матрицу базисных ф-ий:

 fik-знач-е коэф-в в i опыте

Необходимо определить значение вектора . В кажд опыте знач-е ф-ии отклика можно представить в виде (ε-невязка).Для определения параметров модели невязку необход минимизировать для чего используется м-д наименьших квадратов.Составляется ф-я, представ собой сумму квадратов невязок:  . Значение коэф-ов b находится таким образом,чтобы эта ф-я приняла min знач-е

Коэф-ты при неизвестных переменных b образуют матрицу Ф:

Ф= ( -матрица базисных ф-ий)

Ф       

Вектор-столбец: Систему ур-ий для нахождения коэф-ов b принимает вид:

Ф

 

 

 

13Построение  модели на основе пассивного  эксперимента. Расчёт доверительных интервалов для коэф-ов ур-я регрессии.Проверка адекватности регрессионной модели

После построения мат модели в виде ур-я регрессии выясняется значимость коэф-ов ур-й и адекватность полученной модели.Для модели рассчит.остаточная дисперсия: ,где Nв-кол-во коэф-ов в регрессии,yi-знач ф-ии отклика по рез-ам эксперимента, -знач ф-ии отклика по расчётам модели.

Остаточная дисперсия м.б. использована как оценка дисперсии ошибки эксперимента:

По критерию Стьюдента определяем значимость коэф:

 

Далее находиться табличное значение коэфф. Стьюдента: Если рассчитанное значение больше табличного, то считается что коэффициент значимый.

Для значимых коэфф. можно рассчитать доверительный интервал:

Проверка адекватности модели проводиться по критерию Фишера.Опред средн дисперсией:

, -средн знач-е отклика по результатам

Находим наблюдаемое знач-е критерия Фишера: . Расчетное значение критерия Фишера сравнивается с табличным. Если расчетное больше  табличного, модель считается адекватной.

17Сущность  оптимизации.Параметры оптимизации.Критерий  оптимиз-и.Целевая ф-я.

Оптимизация заключается в нахождении оптимальных условий проведения данного процесса. Для оценки достижения  оптимума, прежде всего, выбираются критерии оптимизации. Это некоторая численная характеристика исследуемого объекта. На основании этого критерия строится целевая функция (функция качества). Задача оптимизации заключается в поиске параметров, при которых целевая функция достигает экстремальных значений - оптимальный параметр. Целевая функция может содержать множество параметров , часть из которых являются управляемыми. Этими параметрами можно варьировать для поиска их оптимального значения. Остальные параметры не подлежат оптимизации. Управляющие параметры м.б. как непрерывные так и дискретные.Если экстремум целевой функции отыскивается в неограниченной области, его наз . безусловным экстремумом, а методы его поиска - безусловной оптимизацией.Целевая ф-я-представляет собой зависимость критерия оптимизации от параметров,влияющих на его значение.

19М-ды  оптимизации. Аналитический м-д поиска  экстремума

Классификация методов оптимизации:

1)Аналитические методы (аналитический поиск экстремума, метод множителей Лагранжа, вариационные методы)

2) Методы мат. программирования:

а) Геометрическое - используется при оптимизации ЦФ в виде полиномов.

б) Линейное - оптимизация моделей с ЦФ и ограничениями в виде линейной функции.

3)М-ды поисковой оптимизации(м-д градиента, м-д наискорейшего спуска)

Аналитические методы:

В классическом подходе необходимыми условиями локального экстремума явл.

 

 

20Метод множителей ЛАГРАНЖА

Метод множителей ЛАГРАНЖА применяется для нахождения оптимальных значений параметра , если на модель наложено ограничение в виде равенств. В этом случае задача оптимизации ставится так: необходимо найти оптимальные параметры модели если ЦФ задана в виде

и заданы ограничения в вида .

Для решения этой задачи составляется ф-я Лагранжа:

,

В этом случае экстремальные точки ф-ии определяются реш-ем сис-мы ур-й,получаемой приравниванием нулю производных от ф-ии по всем независимым переменным xk(k=1,…n) и по всем множителям Лагранжа .Получаемая сис-ма ур-й:

содержит уравнений,из кот можно исключить m неопределённых множителей Лагранжа и найти координаты экстремальных точек xk(k=1,2…n)

21Поисковая  оптимизация

Большинство методов предназначено для поиска локальных экстремумов без учета ограничений. Поэтому важное значение приобретает выбор начальной точки поиска

Локальные методы безусловной оптимизации делятся на:

1) Методы нулевого порядка, в них не используется информация  ЦФ. (Методы одномерного поиска: деления отрезка пополам; Методы многомерного поиска- покоординатного спуска; случайного поиска)

2) Методы первого порядка (Градиентный), используется значение  ЦФ и первых частных производных  по параметрам ( методы градиента; наискорейшего спуска и т.д.)

3) Методы второго порядка, используют значение ЦФ и первых и вторых частных производных (Метод Ньютона)

22Метод покоординатного спуска.

Алгоритм:

1) из текущей точки  поиска выполняется пробный шаг  в положит направлении одной  из координатной осей  , k-номер шага поиска. Оценивается улучшение целевой ф-ии . Если это условие выполняется,то это направление выбирается для дальнейшего поиска экстремума.В противн.случае исследуется отрицат направление вдоль оси,т.е.выполняется пробный шаг ,

2) выполняется движение вдоль выбранного направления до тех пор, пока выполняется условие

3)те же действия выполняются  для всех остальных параметров  оптимиз-и

4)если из полученной точки нельзя улучшить целевую ф-ию ни покакому парам-ру,тоуменьшают шаг оптимизации:

2) операции 2-4 повторяют до тех пор пока

 

23Метод градиента.

1)-в текущей точке поиска  находится градиент целевой ф-ии:

.Рассчитывается единичный вектор  направления:

 

2)-выполняется шаг поиска  Оценивается успешность поиска.Если  ,то в полученной точке определ-я нов направление и алгоритм повторяется.В противном случае уменьшается шаг:

3)-условие окончания поиска 

24М-ды  мат программирования.Задача линейного программирования

Линейное программ-е связано с исследованием и решением задач:дана сис-ма m линейно независ. ур-й с n неизвестными,наз-я сис-ой ограничений.

 

Требуется найти неотрицат знач-е переменных,обращающее в min целевую ф-ию(xi>=0):

(1) наз линейной формулой и удовлетвор ограничению(1)

Базисом наз любой набор из m переменных таких,что определитель составленный из коэф-ов при этих переменных не равен нулю.Остальные (n-m)переменных наз свободными.Решение сис-мы ограничений путём приравнивания к нулю свободных переменных наз базисным.Базисное решение,кот удовлетворяет неравенству xi>0,наз допустимым.Решение задачи оптимизации лежит среди допустимых базисных решенй.