Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги, угол между линиями. Площадь поверхности

Министерство образования Республики Беларусь

УО «Мозырский государственный педагогический университет имени И.П. Шамякина» 

 

 

 

 

Кафедра математики и методики преподавания математики

 

 

 

 

 

Курсовая работа

Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги, угол между линиями. Площадь поверхности

 

 

Выполнил: 
студент 4 курса 3 группы 
физико-математического 
факультета 
Принеслик Евгений Анатольевич

 

Научный руководитель: 
кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики и МПМ 
Иваненко Л. А.  

 

 

 

 

 

Оценка научного руководителя:  

                                                                                          оценка, дата сдачи, подпись

 

 

 

Итоговая оценка:   

 

 

 

 

 

 

 

Мозырь 2014

 

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………………...3

Глава 1. Уравнение Бесселя……………………………………………………...….5

1. Уравнение Бесселя……………………………………………………....5

Пример 1………………………………………………………………..16

Пример 2………………………………………………………………..16

Глава 2. Приведение к простейшим формам……………………………………..17

2.1 Приведение к уравнению, не содержащему члена с первой производной, при помощи замены искомой функции……………………………..17

      Пример 3………………………………………………………………..18

      Пример 4………………………………………………………………..19

2.2 Приведение к самосопряженному  виду……………………………...20

      Пример 5………………………………………………………………..21

Заключение……………………………………………………………………….…22

Список литературы……………………………………………………………...….23

 

РЕЗЮМЕ

Тема работы: Первая квадратичная форма поверхности. Длина дуги, угол между линиями. Площадь поверхности.

Объект исследования:

Предмет исследования:

Цель работы:

Задача работы:.

Структура работы: данная работа включает введение,  главы, заключение, список использованных источников.

Объем работы: страниц – 29, рисунков – 25.

 

 

 Введение

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от geо - земля и metrein - измерять) – наука о пространстве, точнее – наука о формах, размерах и границах тех частей пространства, которые в нем занимают вещественные тела. Таково классическое определение геометрии, или, вернее, таково действительное значение классической геометрии. Однако современная геометрия во многих своих дисциплинах выходит далеко за пределы этого определения. Развитие геометрии принесло с собой глубоко идущую эволюцию понятия о пространстве. В том значении, в котором пространство как математический термин широко употребляется современными геометрами, оно. уже не может служить первичным понятием, на котором покоится определение геометрии, а, напротив, само находит себе определение в ходе развития геометрических идей.

Знания, полученные при изучении дисциплины «Дифференциальная геометрия», дают возможность будущему преподавателю математики получить представление о сравнительно недавних этапах развития евклидовой геометрии и оценить дополнительные возможности, которые дает применение методов математического анализа в геометрических исследованиях.

С точки зрения профессиональной направленности дисциплина «Дифференциальная геометрия» занимает важное место в подготовке будущих преподавателей математики, так как объекты изучения данного курса (линии, в том числе прямые, окружности, касательные; некоторые поверхности и другие) встречаются в курсе геометрии средней школы.

 

Глава 1. Линии в евклидовом пространстве

1. Длина дуги кривой

В элементарной геометрии измерялись длины прямоугольных отрезков, а также длина окружности и ее частей. За длину окружности принимался предел периметров правильных вписанных в окружность многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Обобщим это определение на случай любой кривой.

Пусть в пространстве задана дуга (рис 1).

   Разобьем ее точками   на n частей. Соединив соединение точки деления отрезкам, получим ломаную, вписанную в дугу . Эта ломаная состоит из звеньев , где совпадает с точкой A, а - c точкой B.

Примем для длин этих звеньев следующие обозначения

, ,

 Тогда периметр этой ломаной

или, в сокращенной записи

.

Очевидно, с уменьшением длины звеньев ломаной она по своей форме приближается к дуге . По этому естественно ввести следующее определение.

Длиной дуги называется предел, к которому стремиться периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремиться к нулю.

         При этом предлагается, что предел  существует и не зависит от  выбора вписанных ломанных.

Кривые, для которых предел существует, называются спрямляемыми. Мы сейчас покажем, что при выполнении некоторых ограничений, налаживается на кривые, этот придел всегда существует.

Рассмотрим сначала вопрос о длине дуги плоской кривой, заданной уравнением в явном виде.

 Теорема. Пусть кривая АВ задана уравнением  , где -непрерывная функция, имеющая непрерывную первую производную во всех точках сегмента.

Тогда дуга АВ имеет длину, равную

Доказательство. Разобьем дугу АВ точками   на n частей (рис. 1). Пусть эти точки имеют соответственно абсциссы  причем

Впишем в дугу АВ ломаную Тогда периметр этой ломаной будет равен

Рисунок. 2

где   - длина звена  .

 

 

Согласно формуле расстояния между двумя точками   на плоскости

где

Следовательно,

или

где 

 

Поэтому периметр ломаной

Итак, периметр ломанной оказался равным интегральной сумме, составленной для функции  . Эта функция непрерывна на сегменте  вследствие предположения о непрерывности  . Следовательно, по теореме существования определенного интеграла интегральная сумма имеет предел, равный  
 при условии, что шаг разбиения  стремится к нулю.

Длина кривой равна пределу периметра вписанной в нее ломаной при условии, что наибольшая из длин звеньев  стремится к нулю. Заметив, что при   также и   получим

Таким образом,

или, в сокращенной записи,

Пример 1. Вычислить длину дуги цепной линии   для   (см. гл. V, § 2, п. 6, рис. 128).

Решение. Находим   Следовательно,  . Применяя формулу (50), получим

Пусть теперь кривая задана параметрическими уравнениями   При этом предположим, что функции   и их производные непрерывны и   Сделаем в интеграле формулы (49) замену переменной, положив   Так как при этом   то по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически, найдем   и, замечая, что   получим

Следовательно,

где 

Замечание. Формула (51) справедлива и в том случае, когда производная   на сегменте   либо отрицательна, либо не сохраняет знак.

Пример 2. Определить длину одной арки циклоиды

 (см. рис. 139)

Решение. Так как  , то

Применяя формулу (51), получим

Рассмотрим, как выражается длина дуги кривой, заданной уравнением в полярных координатах   предполагая, что  непрерывны на сегменте  . Эту кривую можно задать параметрически, принимая за параметр полярный угол  Действительно, так как между декартовыми и полярными координатами существует зависимость   то, принимая во внимание, что   получим

Так как   то, применяя формулу (51), получим

После очевидных упрощений получим

Пример 3. Найти длину кардиоиды   (см. рис. 31). Решение. Кардиоида симметрична относительной полярной оси.

Изменяя полярный угол   от 0 до   мы получим по формуле (52) половину длины кардиоиды:

Вся длина кардиоиды 

Можно показать, что для длины дуги пространственной кривой, заданной уравнениями   имеет место формула, аналогичная формуле (51):

Пример 4. Определить длину одного витка винтовой линии:   (см. рис. 140).

Решение. Применяя формулу (53) для длины пространственной кривой, имеем

 

 

 

 

 

 

  
,

 

1. Длина дуги на поверхности . Первая квадратичная форма
2. Длина дуги заданная параметрически
3. Длина дуги, заданная в полярной системе координат
4. Угол между двумя кривыми

Глава 2. Определение площади поверхности.

2.1 Определение  площади поверхности. Пример Шварца

2.2 Вычисление  площади гладкой поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Угол между кривыми. Первая квадратичная форма
6. Определение площади поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

      Заключение

Дифференциальные уравнения имеют широкий спектр применения в решении задач физики, геометрии, экономики и других наук. Уравнения Бесселя является дифференциальным уравнением второго порядка, которые также имеют большое практическое значение.

В данной работе, в процессе решения поставленных задач были исследованы:

1. Рассмотреть общие свойства  уравнения Бесселя.

2. Приведение к уравнению, не содержащему общий член  с первой производной, при помощи замены искомой функции.

3. Приведение к самосопряженному виду

Тем самым была достигнута цель выполнения курсовой работы.