Построение аналитических зависимостей и анализ эмпирических данных в экосистеме

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

Национальный  минерально-сырьевой университет «Горный»

 

Кафедра информатики и компьютерных технологий

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

 

По дисциплине     ИНФОРМАТИКА

 

   

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

 

Построение  аналитических зависимостей и анализ эмпирических данных в экосистеме

 

 

 

 

Автор: студент  гр.   ИЗС-11-1                      ______________    /Кольвах К.А./                                     ^{(подпись)                                (Ф.И.О.)}

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

 

Дата:    ______________

 

 

ПРОВЕРИЛ

 

 

Руководитель  работы           доцент                        __________           /Пивоварова И.И./

                 ^{(должность)                           (подпись)                                   (Ф.И.О.)}

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012

 

Министерство  образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального  образования

Национальный  минерально-сырьевой университет «Горный»

 

 

 

УТВЕРЖДАЮ

Зав.кафедрой _________________

 

    _____________________________

  “15” декабря 2012 г.

 

 

Кафедра информатики и компьютерных технологий

 

 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

 

 

 

По дисциплине                               ИНФОРМАТИКА

^{(наименование  учебной дисциплины  согласно учебному  плану)}

 

ЗАДАНИЕ

Студенту  группы ________    ______________________

                ^{(шифр группы)               (Ф.И.О.)} 

 

1. Тема работы: Построение аналитических зависимостей и анализ эмпирических данных в экосистеме
2. Исходные данные к работе: табличные данные
3. Перечень графического материала: диаграмма и рисунки
4. Срок сдачи законченной работы: 15 декабря 2012 года

 

 

Руководитель работы:  Доцент                 _____________                  / Пивоварова И.И. /       ^{(должность)           (подпись)                             (Ф.И.О.)}  

 

 

Дата выдачи задания “15” сентября  2012 г.

 

 

 

Аннотация

Базовые знания в области информатики  и практические навыки работы на персональном компьютере позволяют эффективно применять  современное программное обеспечение  для решения прикладных задач в области горно-промышленной экологии. В данной пояснительной записке это продемонстрировано расчетами программах MS Excel и Mathcad. Составленные программы позволяют быстро получать результаты при варьировании исходных данных в определенных диапазонах.

Объем пояснительной записки –  30 стр.

Число таблиц –  8   , иллюстраций – 6  .

The summary

The base knowledge in the field of computer science and practical skills of operation on the personal computer mining-industry ecology of the scheme of dressing by two stages. The composed programs allow fast receiving results at variation of input data in the defined ranges.

Size of an explanatory slip - 30  pp.

Number of the tables -  8 , illustrations -  6 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

1 Введение 5

2 Теоретические сведения 6

2.1 Понятие аппроксимации. 6

2.2 Метод наименьших квадратов. 6

2.3 Определение параметров аппроксимации. 7

2.4 Оценка статистических параметров системы наблюдаемых величин. 9

2.5 Оценка точности аппроксимации. 10

3 Постановка задания 12

4 Выполнение расчетов в MS Excel по расчетным формулам 13

5 Построение графиков и вывод уравнений регрессии с помощью встроенных средств  20

6 Выполнение расчетов в программе Mathcad 22

7 Заключение 29

8 Список литературы: 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 Введение

При описании различных природных и технологических  процессов, происходящих в некоторой  системе, чрсто ставится задача построения математической модели поведения данной системы. Методы построения различных  математических моделей, отражающих существенные черты данного явления или  процесса, проверка качества модели границ ее применимости, применение модели для  проведения конкретных расчетов и предсказания поведения системы составляют предмет  математического моделирования  в данной предметной области.

Для представителей моей специальности – горно-промышленная экология, очень важно знать, что  аппроксимирующие зависимости наилучшим  образом описывают поведение  экосистемы. Параметры таких зависимостей определяются по эмпирическим данным. Использование аппроксимирующих зависимостей при оценке воздействия на окружающую среду представляет собой процедуру, включающую определение возможных неблагоприятных воздействий на экологическую систему на основании обработки данных, полученных в ходе экологического мониторинга. Например, при определении ПДК определенного загрязняющего компонента, находящегося в среде в совокупности с другими вредными примесями, необходимо построить аппроксимирующую зависимость, а изменение содержания того или иного компонента описать в виде линейного уравнения.

В отличии  от физических моделей математические модели не требуют огромных вложений на проведение эксперимента, так как  математическая модель является лишь формальным описанием объекта, а  не его физическим аналогом. Математическая модель за счет изменения ряда параметров дает возможность изучить ее поведение  в самых разнообразных условиях. Это дает основания назвать исследование поведения модели при различных значениях входящих в нее параметров численным экспериментом. Построение математической модели – необходимый этап при решении научно-технической задачи. Можно выделить некоторые классы моделей: детерминские и вероятностные модели, статические и динамические модели, линейные и нелинейные модели и т.д. В ряде случаев модель строится в виде уравнений, требующих решения, причем это могут быть уравнения самого разного вида: алгебраические, трансцендентные, с частными производными и т.д. Только наиболее простые математические модели могут сразу представить зависимость между переменными системы в явном виде. В нашей работе рассматривается подбор именно таких зависимостей. Известными являются только совместно регистрируемые числовые значения некоторых признаков – величин, описывающих поведение системы. Ставится задача аппроксимации эмпирических табличных данных функцией заданного вида.

При наблюдении состояния экологической системы  требуется учитывать огромное количество параметров. Например, при исследовании Великих озер в США учитывалось  около 300 параметров. При исследовании Ладожского озера производился контроль 22-24 параметров. Рассмотренные в нашей работе примеры носят учебный характер, но они полезны для понимания сути методики расчетов и построения аналитических зависимостей, а также способов анализа эмпирических данных в экосистеме.

 

 

2 Теоретические сведения

2.1 Понятие аппроксимации.

Пусть в результате наблюдений получена таблица совместно наблюдаемых  значений x_i, y_i:

Таблица 1

№п/п	1	2				n
x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

Требуется найти некоторую функцию, заданную аналитически и удовлетворительно  описывающую зависимость y от x. Приближённое представление исходной функции с помощью некоторой зависимости называется её аппроксимацией. Выбор вида аппроксимирующей функции остаётся за исследователем и зависит от ряда соображений. Как правило, предпочтение отдаётся достаточно простым функциям: линейной, квадратичной, экспоненциальной, логарифмической, обратно пропорциональной. Зачастую выбору конкретной зависимости помогает анализ графика, построенного по табличным данным, а также физические представления. Выберем аппроксимирующую функцию, зависящую от нескольких параметров:

                     (1)

Подставив в формулу (1) эмпирическое значение переменной x=x_i, получим теоретическое значение величины , вычисленное по формуле:

(2)

Разность  называется отклонением и представляет ошибку аппроксимации данной табличной функции. Для оценки качества аппроксимации функции в целом требуется оценить суммарную ошибку.

2.2 Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов — один из базовых методов регрессионного анализадля оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии.

Есть разные способы оценки суммарной  ошибки аппроксимации. Чаще всего оценивают  суммарную квадратичную ошибку, равную сумме квадратов отклонений эмпирических значений функции от теоретических:

 

Параметры должны быть определены из условия минимума суммарной квадратичной ошибки. Запишем необходимое условие экстремума функции многих переменных - равенство нулю её частных производных:

(4)

 

Формулы (4) представляют собой систему m уравнений с m неизвестными для определения наилучших значений параметров. Если функция (1) линейна относительно параметров , то система (4) представляет собой систему линейных уравнений.

Метод определения параметров из условия  минимума суммарной квадратичной ошибки называется методом наименьших квадратов.

2.3 Определение параметров аппроксимации.

Рассмотрим различные случаи аппроксимации  эмпирических данных функциями конкретного вида:

1. Линейной функцией

(5)

Тогда система (4) примет вид:

     (6)

2. Квадратичной функцией

(7)

Тогда система (4) будет  иметь вид:

    (8)

3. Экспоненциальной функцией:

(9)

В этом случае нужно вначале линеаризовать  формулу (9) с помощью логарифмирования, получим:

 

К этому уравнению можно применить  формулы (6), но с другими обозначениями. Введём обозначения:

 

Тогда уравнение перепишется в  виде:

 

и система для определения параметров c, a₂ примет вид:

     (10)

 

 

 

или, возвращаясь к табличным эмпирическим данным,

    (11)

4. Логарифмической функцией

(12)

Этот случай легко сводится к  первому, если ввести обозначения t=ln x, а в формулу (6) подставить вместо x_i массив t_i=ln x_i.

Система (6) примет вид:

   (13)

Решая системы линейных уравнений (6), (8), (11), (13), определим параметры  аппроксимирующих функций. Для решения  систем можно использовать различные  методы: метод Крамера, метод Гаусса, метод Зейделя, метод обратной матрицы. Матрицы систем (6), (8), (11), (13) являются невырожденными квадратными матрицами, поэтому система уравнений для  определения параметров аппроксимирующих функций имеет единственное решение.

Кроме указанных методов можно  использовать методы решения систем с симметричной матрицей, т.к. матрицы  всех рассмотренных систем являются симметричными.

После вычисления коэффициентов уравнений  можно построить таблицы теоретических  знаний искомых аппроксимирующих функций  по формулам:

(14)

(15)

(16)

(17)

и вычислить суммарную квадратичную ошибку по формуле (3).

Кроме указанных выше аппроксимирующих функций можно также использовать любые другие аналитические функции, определяемые конечным числом параметров. Например:

 

 

 

Многочлен третьей степени является линейным относительно параметров –  коэффициентов многочлена. Можно  рассматривать в качестве аппроксимирующей функции многочлены любой степени.

2.4 Оценка статистических параметров системы наблюдаемых величин.

Параметры уравнений (5), (7), (9), (12) связаны  некоторыми соотношениями со статистическими  оценками эмпирических данных. Особенно это отросится к линейному  уравнению (5).