Расчеты в программе Maxima и Excel

ЗАДАНИЕ НА КОНТРОЛЬНУЮ  РАБОТУ.

В контрольную работу студента, имеющего шифр 0366 включены задачи 6,16,26,36,46.

1-10. Найти абсолютную и относительную погрешности числа а, имеющего только верные цифры.

6.  а = 0,374;

 

Решение.

Приближенное число

 содержит п верных значащих цифр в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, выражаемого n-й значащей цифрой, считая слева направо, т. е. если выполняется неравенство

≤0,5×10  

Если число  верных знаков n>1, за предельную относительную погрешность приближенного числа а с первой слева направо значащей цифрой k можно принять число

 

 0,0017

 

Для решения  использовать систему Maxima

 

11 - 20. Найти общее решение неоднородного разностного уравнения второго порядка:

Последовательность решения  разностного уравнения такова:

1. Найти общее решение однородного уравнения

Характеристическое  уравнение  имеет вид 

,

Корни характеристического  уравнения  , - простые ;

Общее решение такое:

;

2. Найти частное решение неоднородного уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения  ищем в виде

,

подставляем в исходное уравнение

;

Следовательно .

 

3. Записать общее решение неоднородного  уравнения 

,

 

21 - 30. Вычислить по формуле Симпсона определенный интеграл функции с шагом и с шагом . Расчеты производить с точностью 10^-3:

 

Оценить абсолютную погрешность по правилу Рунге. Ответ  дать с учетом поправки Рунге.

С помощью  системы Maxima определить число шагов, необходимое для достижения точности вычислений 10^-5.

Решение:

a	b
-2	8
n	шаг1			n	шаг2
10	1			20	0,5
Номер точки	xi	F(xi)	Симпсона1	xi	F(xi)	Симпсона2
0	-2	0	0	-2	0	0
1	-1	2,646	5,292	-1,5	2,151	4,301
2	0	2,828	11,314	-1	2,646	10,583
3	1	3,000	6,000	-0,5	2,806	5,612
4	2	4,000	16,000	0	2,828	11,314
5	3	5,9161	11,832	0,5	2,850	5,701
6	4	8,485	33,941	1	3,000	12,000
7	5	11,533	23,065	1,5	3,373	6,745
8	6	14,967	59,867	2	4,000	16,000
9	7	18,735	37,470	2,5	4,861	9,721
10	8	22,804	22,804	3	5,916	23,664
		I1	75,861	3,5	7,133	14,265
				4	8,485	33,941
				4,5	9,956	19,912
	R	0,265		5	11,533	46,130
	I	76,126		5,5	13,205	26,410
				6	14,967	59,867
				6,5	16,811	33,623
				7	18,735	74,940
				7,5	20,733	41,467
				8	22,804	22,804
					I2	79,834

 

31 - 40. Дано дифференциальное уравнение второго порядка вида

с начальными условиями

  и  

Для данного  дифференциального уравнения найти  решение  , удовлетворяющее заданному начальному условию, в виде:

а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной  ряд;

б) по методу Рунге-Кутта составить таблицу  приближенных значений  решения  системы дифференциальных уравнений  первого порядка, соответствующей  заданному уравнению, на отрезке  с шагом .

Все вычисления производить с округлением до пятого десятичного знака. Результаты, полученные в пунктах а) и б), сравнить.

Задачи 31 – 40 решить аналитически и с помощью  системы Maxima.

Решение:

а) пяти отличных от нуля членов разложения в степенной  ряд;

Так как из начальных условий следует , подставляем:

Приравниваем коэффициенты при равных степенях:

Записываем пять отличных от нуля членов разложения в степенной ряд:

или с округлением до пятого десятичного знака:

б) по методу Рунге-Кутта составить  таблицу приближенных значений  решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, соответствующей  заданному уравнению, на отрезке  с шагом .

 

Метод Рунге-Кутта
x	y	z	k1	k2	k3	k4	l1	l2	l3	l4
0,0	2,00	1,00	0,10	0,07	0,05	-0,85	-0,70	-0,91	-9,46	-54,62
0,1	1,92	-11,67	-1,17	-1,52	-1,59	-9,79	-6,99	-8,38	-86,27	-491,68
0,2	-0,95	-126,33	-12,63	-15,76	-16,36	-89,12	-62,60	-74,46	-764,86	-4352,14
0,3	-28,61	-1141,90	-114,19	-141,88	-147,09	-789,90	-553,78	-657,97	-6757,11	-38440,84
0,4	-275,62	-10112,70	-1011,27	-1255,82	-1301,79	-6978,09	-4890,98	-5810,34	-59668,18	-339439,99
0,5	-2459,71	-89327,36

 

41 – 50. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу указанного вида для зависимых и , заданной таблицей. 46.

	1	2	3	4	5	6	7	8	общий вид зависимости
	56,9	67,3	81,6	201	240	474	490	518

 

 

Задачи 41 – 50 решить аналитически и с помощью  системы Maxima.

	x	y	lny	x2	x*lny	yp
	1,00	56,90	4,04	1,00	4,04	52,99
	2,00	67,30	4,21	4,00	8,42	76,50
	3,00	81,60	4,40	9,00	13,21	110,44
	4,00	201,00	5,30	16,00	21,21	159,44
	5,00	240,00	5,48	25,00	27,40	230,17
	6,00	474,00	6,16	36,00	36,97	332,28
	7,00	490,00	6,19	49,00	43,36	479,70
	8,00	518,00	6,25	64,00	50,00	692,51
Сумма	36,00	2128,80	42,04	204,00	204,61

 

 

A0	3,60		A1	0,37
a	36,71		b	0,37