Решение дифференциальных уравнений 1 порядка методом Эйлера

  Метод Эйлера легко распространяется на системы дифференциальных уравнений и на дифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны быть предварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

     Модифицированный  метод Эйлера

Рассмотрим дифференциальное уравнение (2.5.1)  y^/=f(x,y) с начальным условием y(x₀)=y₀. Разобьем наш участок интегрирования на n равных частей. На малом участ интегральную кривую заменим    прямой                      линией.

                                           Рис.1 Метод Эйлера в графическом видa

 

 Получаем точку М_к(х_к,у_к). Через М_к проводим касательную:  у=у_к=f(x_k,y_k)(x-x_k). Делим отрезок (х_к,х_к1) пополам:

                                          x_Nk^/=x_k+h/2=x_{k+1/2                                                (2.5.6)}

                                               y_Nk^/=y_k+f(x_k,y_k)h/2=y_k+y_k+1/2

Получаем точку N_k^/. В этой точке строим следующую касательную:

                                           y(x_k+1/2)=f(x_k+1/2, y_k+1/2)=α_{k                           (2.5.7)}

Из точки М_к проводим прямую с угловым коэффициентом α_к и определяем точку пересечения этой прямой с прямой Х_к1. Получаем точку М_к^/. В качестве у_к+1 принимаем ординату точки М_к^/. Тогда:

                                           у_к+1=у_к+α_кh

                                           x_k+1=x_k+h

                          (2.5.8)                α_k=f(x_k+h/2, y_k+f(x_k,Y_k)h/2)

                                           y_k=y_k-1+f(x_k-1,y_k-1)h

(2.5.8)-рекурентные формулы метода Эйлера.

      Сначала вычисляют  вспомогательные значения искомой  функции у_к+1/2 в точках х_к+1/2, затем находят значение правой части уравнения (11) в средней точке y^/_k+1/2=f(x_k+1/2, y_k+1/2) и определяют у_к+1.

      Для оценки погрешности  в точке х_к проводят вычисления у_к с шагом h, затем с шагом 2h и берут 1/3 разницы этих значений:

                                          | у_к^*-у(х_к)|=1/3(y_k^*-y_k),                          (2.5.9)

где у(х)-точное решение дифференциального  уравнения.

 Таким образом, методом Эйлера  можно решать уравнения любых  порядков. Например, чтобы решить  уравнение второго порядка  y^//=f(y^/,y,x) c начальными условиями y^/(x₀)=y^/₀, y(x₀)=y₀, выполняется замена:

                                            y^/=z                                                     (2.5.10)

                                            z^/=f(x,y,z)

Тем самым преобразуются начальные  условия: y(x₀)=y₀, z(x₀)=z₀, z₀=y^/₀.    (2.5.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Описание алгоритмов решения задачи

3.1.Описание переменных.

Наименование	Тип	Описание
Входные данные
Xi	double	Начальное значение (x) интервала вычисления
Xkon	double	Конечное значение (x) интервала вычисления
n	integer	Количество шагов
Yi	double	Начальное значение y
kx	double	Коэффициент при переменой  x
ky	double	Коэффициент при переменной y
Выходные данные
h	double	Фиксированное приращение аргумента (x)
res	double	Расчётное значение уравнение y’=F(x,y) в точке (x)
Промежуточные
i	integer	Счётчик цикла
Yprom	double	Промежуточное значение y в точке Xprom
Xprom	double	Промежуточное значение x при h/2
a	double	Решение уравнения в точках f(Xprom,Yprom)
f1	double	Функция f(x,y)

3.2. Блок- схема главного модуля

 

3.3 Описание алгоритма главной программы.

Номер блока	Описание
1	Ввод начального и конечного  значений интервала вычисления уравнения, количество шагов, начальное значение у, а также коэффициенты при kx и ky.
2	Вычисление фиксированного приращения аргумента х
3	Цикл с шагом 1 и конечным значением  не превышающим количество шагов, который  высчитывает значение   y на определённом интервале
4	Функция для расчёта уравнения  вида y’=f(x,y);
5	Вывод результатов на интервале X

3.4 Блок-схема функции “func”.

3.5 Описание блок- схемы функции “func”.

Номер блока	Описание
1	Вычисление: функции f1 с подстановкой начальных значений; промежуточных значений Yprom и Xprom,  значения a для вычисления f(Xprom,Yprom) и расчёт результатов функции и переход на следующий шаг.
2	Приращение аргумента x на h
3	Вывод результатов уравнения и  интервала

 

*Реализация алгоритма  на языке программирования C++ представлена в приложении .

 

 

 

4.Описание программного обеспечения.

4.1 Описание операционной системы

 

Основное требование к операционной системе (ОС), предъявляемое поставленной задачей, это наличие ANSI или POSIX совместимого компилятора языка C++.

Для реализации задачи была выбрана последняя клиентская версия операционной системы Microsoft, основанная на ядре NT – Microsoft Windows XP Professional.

Указанная операционная система обладает рядом преимуществ:

• наличие достаточного количество ANSI или POSIX совместимых компиляторов языка C++, разработанных для данной ОС, а именно –
• Microsoft C++ (version 2-6)
• gcc
• Borland  C++
• Intel C++
• прочие;
• достаточная управляемость,  надежность и безопасность;
• широкое распространение основанных на ядре NT операционных систем Microsoft, совместимых по программному обеспечению с Windows XP Professional (NT/2000/XP/2003 – client & server);
• высокая скорость работы приложений, разработанных для данной ОС с использованием компиляторов C++.

 

Исходный код программы может  быть откомпилирован и под другой операционной системой, если для таковой имеется ANSI или POSIX совместимый компилятор языка C++.

Программа была протестирована на операционной системе Microsoft Windows XP Professional SP1.

Технические данные :

• HDD: 60 Gb
• Процессор x86 Family 15 Model 2 Stepping 7 GenuineIntel ~1817 МГц
• Версия BIOS Award Software International, Inc. F4, 06.03.2003
• Аппаратно-зависимый уровень (HAL) Версия = "5.1.2600.1106 (xpsp1.020828-1920)"
• Полный объем физической памяти 256,00 МБ
• Доступно физической памяти 29,97 МБ
• Всего виртуальной памяти 873,69 МБ
• Доступно виртуальной памяти 350,04 МБ
• Файл подкачки 618,21 МБ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.2 Описание языка программирования

Язык программирования С++

С++ - это универсальный язык программирования, задуманный так, чтобы сделать программирование более приятным для серьезного программиста. За исключением второстепенных деталей С++ является надмножеством языка программирования C. Помимо возможностей, которые дает C, С++ предоставляет гибкие и эффективные средства определения новых типов. Используя определения новых типов, точно отвечающих концепциям приложения, программист может разделять разрабатываемую программу на лег ко поддающиеся контролю части.  Такой метод построения программ часто называют абстракцией данных. Информация о типах содержится в некоторых объектах типов, определенных пользователем. Такие объекты просты и надежны в использовании в тех ситуациях, когда их тип нельзя установить на стадии компиляции. Программирование с применением таких объектов часто называют объектно-ориентированным. При правильном использовании этот метод дает более короткие, проще понимаемые и легче контролируемые программы.

В С++ нет типов данных высокого уровня и нет первичных операций высокого уровня. В нем нет, например, матричного типа с операцией обращения или типа строка с операцией конкатенации. Если пользователю понадобятся подобные типы, их можно определить в самом языке. По сути дела, основное, чем занимается программирование на С++ - это определение универсальных и специально-прикладных типов. Хорошо разработанный тип, определяемый пользователем, отличается от встроенного типа только способом определения, но не способом использования.

Реализация С++ очень легко переносима. Однако есть полные основания использовать С++ в среде, где имеется гораздо  более существенная поддержка. Такие средства, как динамическая загрузка, пошаговая трансляция и база данных определений типов могут с пользой применяться  без  воздействия на язык.

Типы и средства сокрытия данных в С++ опираются на проводимый во время компиляции анализ программ с целью  предотвращения случайного искажения данных. Они не обеспечивают секретности или защиты от умышленного нарушения правил. Однако эти средства можно использовать без ограничений, что не приводит к дополнительным расходам времени на  выполнение или пространства памяти.

 

Компилятор Microsoft C++ и среда разработки Microsoft Visual Studio

 

В качестве компилятора для разработки приложения был выбран Microsoft C++ по следующим причинам:

• практически полная совместимость со стандартом ANSI C++;
• наличие удобной среды разработки Microsoft Visual Studio;
• наличие отличной документации;
• высокая скорость работы результирующих приложений;
• совместимость разработанных приложений с большим количеством широко распространенных операционных систем;
• достаточная скорость компиляции.

4.3 Описание программы

Разработанное приложение поставляется в виде 2-ух файлов:

1. method Eulera.cpp – исходный код программы на языке C++;
2. method Eulera.exe – исполняемый файл.

Для выполнения исполняемого файла  необходима одна из ниже перечисленных  операционных систем:

• Microsoft Windows 3.11+Win32s;
• Microsoft Windows 95/98/Me;
• Microsoft Windows NT/2000/XP/2003 – клиентская или серверная версия.

   Программа не требует  предварительной установки и  может быть сразу же запущена  на выполнение.

Исходный код приложения может быть откомпилирован в любом ANSI или POSIX совместимом компиляторе С++ для получения выполнимой программы. Для успешной компиляции требуется наличие стандартной библиотеки «iostream».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Контрольный пример

Данный метод протестирован на контрольном примере и реализован с помощью языка программирования С++.

В результате вычислений контрольного примера вида y’=2x+y с интервалом [0,1],

количеством шагов равному 5 и начальным условием у равным 1, с помощью программы, получились следующие результаты: