Решение системы n-линейных алгебраических уравнений методом итераций.

    Министерство  образования и науки Российской Федерации Казанский государственный  технический университет им. А.Н.Туполева 

                            Кафедра автоматики и управления 
 
 
 
 

                         Пояснительная записка к курсовой работе 

    по дисциплине «ИНФОРМАТИКА» 

    на  тему 

    Решение системы n-линейных алгебраических уравнений методом итераций. 

     Выполнил студент группы 3135

                                                                  (подпись)             (Фамилия И.О.) 

     Руководитель

                                   (должность, подпись)                      (Фамилия И.О.) 
 

Оценка  

                                    

                 

                       (подпись)                                          (Фамилия И.О.) 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      Казань,2012

Федеральное бюджетное государственное образовательное  учреждение высшего профессионального  образования

КАЗАНСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени А.Н.Туполева-КАИ 

Институт  Автоматики и электронного приборостроения Кафедра Автоматики и управления

УТВЕРЖДАЮ  Зав.кафедрой_____________Г.Л.Дегтярев

 

Направление  Управление в технических системах (код 220200)

             

ЗАДАНИЕ  №_____ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

по дисциплине: Информатика

студенту_____________________________группы 31__

            (фамилия, и., о.)

1. Тема ______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________

2. Технические условия и исходные данные _______________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________

3. Объём работы (перечень подлежащих разработке  вопросов)

1. Требуемые расчеты: _______________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3.2.Отчетный материал  курсовой работы

   - пояснительная записка (в MS Word) с блок-схемой алгоритма и программой (10-15 с.);

- плакаты - презентация курсовой работы (Power Point) (3-5 страниц);

- дискета с файлами пояснительной записки, программой и плакатами.

4. Требования  к оформлению определены методическими  указаниями к курсовой работе  по информатике, ГОСТ 7.32-2001 Отчет  о научно-исследовательской работе. Структура и правила оформления; ЕСПД

5. График выполнения курсовой работы

№	Наименование  этапа	Максимальн. количество баллов		Срок выполнения.
1.	Получение задания, подготовка технического задания	5	30	1-2 недели
2.	Изучение литературы. Подготовка обзора	15		3 неделя
3.	Постановка  задачи			4 неделя
4.	Выбор, изучение, обоснование метода решения			5-6 недели
5.	Разработка  алгоритма	10		7-8 недели
6.	Разработка  и отладка программы на контрольном  примере	30	40	9-11 недели
7.	Проведение  расчетов, анализ результатов, оценка погрешности, сравнение	10		12 неделя
8.	Оформление пояснительной записки и презентации	20	30	13-14 недели
9.	Подготовка  к защите, защита курсовой работы	10		15 неделя

 

6. Дата выдачи  задания __ февраля 2012 г.

6. Срок сдачи  студентом законченной работы _20 мая 2012 г.

Руководитель  ___________________________________Лазарева П.А. 

Задание к исполнению принял, студент ___________________________________________

(подпись)                     (Фамилия И.О.) 

                                                   Оглавление

Введение………………………………………………………………………3

1.Постановка  задачи………………………………………………………….4

2.Метод решения……………………………………………………………...5

3.Блок-схема  алгоритма……………………………………………………...6

4.Текст программы…………………………………………………………7

5.Описание программы……………………………………………………..8

5.1.Назначение  программы…………………………………………………9

5.2.Исходные параметры  программы……………………………………..10

5.3.Выходные параметры…………………………………………………11

6.Заключение и выводы…………………………………………………….16

7.Список использованной литературы…………………………………..17

                                                   Введение

        Итерационные методы позволяют получить корни системы  с заданной точностью путем сходящихся бесконечных процессов (к числу  таковых относят, метод итераций, метод Зейделя, метод релаксации).

  Вследствие неизбежных округлений результаты даже точных методов являются округленными, причем оценка погрешностей корней в общем случае затруднительна.

  При использовании итерационных процессов, сверх того, добавляется погрешность  метода.

  Заметим, что эффективное применение итерационных методов существенно зависит от удачного выбора приближения и быстроты итерационного процесса.

  Сейчас  разберем несколько определений  которые будем использовать в  этой работе.

  Система  линейных уравнений с n неизвестными (или, линейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида 

       (1) 
 

  Здесь   — неизвестные, которые надо определить. — коэффициенты системы — и — свободные члены — предполагаются известными. Индексы коэффициентов ( ) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно. 

  Система (1) называется однородной, если все  её свободные члены равны нулю ( ), иначе — неоднородной. 

  Система (1) называется квадратной, если число m уравнений равно числу n неизвестных. 

  Решение системы (1) — совокупность n чисел  , таких что подстановка каждого ci вместо xi в систему (1) обращает все ее уравнения в тождества. 

  Система (1) называется совместной, если она  имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у нее нет ни одного решения. 

  Совместная  система вида (1) может иметь одно или более решений. 

  Решения и совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:  

   = соответственно 

  Совместная  система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение; если же у нее есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределенной. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

                                                                                                      

           Постановка  задачи

     Исследовать метод простой итерации для решения  систем линейных алгебраических уравнений.

                                        Метод итераций

                                                    Метод решения

  При большем числе неизвестных Линейная система (ЛС впоследствии) схема метода Гаусса, дающая точное приближение, становиться весьма сложной.

  В этих условиях для нахождения корней системы иногда удобнее использовать приближенные методы вычисления. Изложим  здесь один из из этих методов – метод итераций.

  Пусть дана ЛС

  

  Введя в  рассмотрение матрицы

                                  (1)

  Систему 1 коротко можно записать в виде матричного уравнения

                 (1’)

  Предполагая, что диагональные коэффициенты

  Разрешим  первое уравнение первое уравнение  системы (1) относительно , второе относительно и т. д. Тогда получим эквивалентную систему

          (2) 

  где   при

  и при  

  введя матрицы 

     и   

  Систему (2) можем записать в матричной  форме 

             (2’) 

  Систему (2) будем решать методом последовательных приближений. За нулевое приближение  принимаем, например столбец свободных  членов т.е.

  Далее строим матрицы столбцы 

    

  Первое  приближение 

    

  Второе  приближение

  Вообще  говоря, любое (k+1)-е приближение вычисляется по формуле: 

             (3) 

  Если последовательность приближений 

    

  Имеет придел

  

    

  То этот придел является решением системы (2). В  самом деле, переходя к приделу  в равенстве (3) будем иметь: