Решение системы n-линейных алгебраических уравнений методом итераций.

  

    

  или 

    

  т.е. предельный вектор x является решением системы (2’), а следовательно, и системы (1).

  Напишем формулы приближений в развернутом  виде

  

    

  Заметим, что иногда систему (1) выгоднее приводить  к виду (2), так чтобы коэффициенты не были равны нулю.

  Вообще  имея систему: 

      

  можно положить 

    

  где . Тогда данная система эквивалентна приведенной системе 

    

  где  

         

  при

  Поэтому при дальнейших рассуждениях мы не будем вообще говоря предполагать, что .

  Процесс итерации хорошо сходиться т.е. число  приближений необходимых для  получения корней  системы (1) с  заданной точностью  невелико, если элементы матрицы  малы по абсолютной величине. Иными словами, для успешного применения процесса итерации модули диагональных коэффициентов системы (1) должны быть велики по сравнению с модулями недиагональных коэффициентов этой системы (свободные члены при этом роли не играют). 

              
 
 
 
 
 
 
 
 

                                          Блок-схема алгоритма 
 
 

                                                Текст программы

     По  представленному в.п алгоритму  была разработана программа на языке  Turbo Pascal.

                                           Описание программы

                                         Назначение программы

     Программа предназначена для решения системы  n линейных алгебраических уравнений методом простых итераций.

                      

                                       Исходные параметры программы

     А-данная матрица.

     i,n- количество строк.

     j- количество столбцов.

     х- не известная переменная.

     eps- заданная точность.

     b- константы.

                                            Выходные параметры

     оtv- ответ.

      

                 Программа метод простой итерации на Turbo-Pascal

  program iter;

  var A: array [1..4,1..4] of real;

      b,x,otv: array [1..4] of real;

      i,j,n: byte;

      eps: real;

      pr: boolean;

  begin

  write('razmer matrix n=');

  readln(n);

  for i:=1 to n do   {Ввод данных}

  for j:=1 to n do

  begin

  write('A[',i,',',j,']=');

  readln(A[i,j]);

  end;

  for i:=1 to n do

  if a[i,i]=0 then begin

writeln('oshibka vvoda');             {проверка чтобы на диагонали не было

                       exit;   нулевых коэффициэнтов}

                   end;

  for i:=1 to n do

  begin

  write('b[',i,']=');

  readln(b[i]);

  end;

  for i:=1 to n do

  begin

  for j:=1 to n do

  begin

  if i=j then continue;        {Выражаем x1,x2,x3…из системы}

  a[i,j]:=-a[i,j]/a[i,i];

  end;

  b[i]:=b[i]/a[i,i];

  a[i,i]:=0;

  end;

  for i:=1 to n do

  begin

  for j:=1 to n do

  write(a[i,j]:4:2,'  ');

  writeln(b[i]:4:2);

  end;

  for i:=1 to n do

  x[i]:=0;

  write('tochnost=');  {Вводим точность}

  readln(eps);

  repeat

  for i:=1 to n do

  begin

  for j:=1 to n do

  otv[i]:=otv[i]+a[i,j]*x[j];   {алгоритм решения}

  otv[i]:=otv[i]+b[i];

  end; 

  for i:=1 to n do

  if abs(otv[i]-x[i])<eps then pr:=true; 

  for i:=1 to n do

  begin

  x[i]:=otv[i];

  otv[i]:=0;

  end;

  until pr;

  for i:=1 to n do

  writeln(x[i]);  {Вывод результата}

  end.

                                 Заключение и вывод

В данной курсовой работе была разработана алгоритм и программа на языке Turbo Pascal для решения системы n линейных алгебраических уравнений методом итераций.

  Линейные  системы имеют в вычислениях очень большое значение, так как к ним может быть приведено приближенное решение широкого круга задач. Теория этих систем сравнительно проста и доведена во многих частях до совершенства. Что же касается практики решения систем, то наши возможности еще сильно отстают от потребностей. Здесь многое зависит от порядка системы, т. е. от числа уравнений и неизвестных в ней. С увеличением порядка число операций, нужных для решения системы, быстро растет.

  Число операций, требующихся для решения, зависит не только от порядка системы, но также от выбора метода вычислений. Поясним это примером. Предположим, что дана система п уравнений с п неизвестными и с определителем, отличным от нуля. По теореме Крамера система имеет единственное решение. В этой теореме указывается явное выражение для значений неизвестных в виде отношения двух определителей порядка я, при этом число различных определителей в отношениях

  равно .

  Пусть для нахождения решения мы хотим  воспользоваться теоремой Крамера, при этом детерминанты будем вычислять по их обычному определению, как сумму со знаками произведений элементов по одному из каждой строки и каждого столбца. Легко можно подсчитать, что для нахождения решения нужно будет приблизительно п^гп  умножений и делений. Уже при  п = 20 это число приблизительно равно 10²¹ и являете настолько большим, что становится ясной невозможность решать указанным путем на современных машинах систему даже двадцати уравнений.                           

  Чтобы было возможным решение систем большого числа уравнений, необходимо изменить метод вычислений и сделать его  менее трудоемким. Такая задача привлекала внимание очень большого числа лиц, и было указано много методов решения линейных систем, преследующих не только основную цель уменьшения числа, операций, но и другие цели. Эти методы строились как для систем общего вида с любыми коэффициентами, так и для систем специальных форм, например, получающихся при численном решении уравнений. Такими методами являются описанные выше метод простой итерации, позволяющий получать приближенное решение уравнения, затрачиваю при этом меньше числовых операций, чем при точных методах.

Список  используемой литературы

1. Вычислительные методы, том I. В.И. Крылов, В.В. Бобков, П.И. Монастырный. - М., Наука, 1976. - 303 с.

2. Калиткин Н.Н. Численные методы - М., Наука 1978. - 512 с.

       3.       Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной                               математики. – М.: Гос. Изд. Физ-мат лит., 1963.