Автор работы: Пользователь скрыл имя, 28 Октября 2013 в 20:02, лабораторная работа
Вычислительные машины работают с информацией, заданной числами, представленными в виде специальных кодов в принятой для данной машины системе счисления.
Система счисления – это совокупность приемов наименования и обозначения чисел.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Вычислительные машины работают с информацией, заданной числами, представленными в виде специальных кодов в принятой для данной машины системе счисления.
Система счисления – это совокупность приемов наименования и обозначения чисел.
Различают непозиционные и позиционные системы счисления. В непозиционной системе счисления выделяются знаки, которыми записываются условные числа. Все же остальные числа получаются путем прибавления или вычитания одних узловых чисел из других. Примером такой системы счисления может служить римская система.
В позиционных системах счисления любое число изображается в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от того, какое место (позицию) занимает каждая из них в числе.
Количество различных цифр, используемых для изображения чисел в позиционной системе счисления, называют ее основанием, т.е. если в системе счисления для изображения чисел используется К различных между собой цифр, обозначающих целые числа, то основанием этой системы будет число К, являющееся целым положительным числом.
Рассмотрим последовательность цифр, изображающую некоторое число, в котором целая и дробная части разделены запятой: ±
Если в заданном числе перенумеровать позиции, занимаемые цифрами, индексом i, то увидим, что он пробегает последовательность значений, лежащую в пределах, -m ≤ i ≤ n – 1
где n – количество цифр, изображающих целую часть числа;
m - количество цифр, изображающих дробную часть числа.
Позиции, перенумерованы таким образом, называют разрядами числа, в заданном числе количество разрядов равно сумме n+m.
Далее, если считать, что приведенная выше последовательность изображает число в системе счисления с основанием К, от каждая из цифр этой последовательности может принимать одно из значений диапазона
Для оценки количественного значения
каждого разряда числа
Данное выражение используется для записи чисел в любой позиционной системе счисления.
Пример:
Рассмотрим известную всем десятичную
систему счисления, в которой
для обозначения чисел использу
293=2*102+9*101+3*100
145,37=1*102+4*101+5*100+3*10-
0,638=6*10-1+3*10-2+8*10-3
Д в о и ч н а я с и с т е м а с ч и с л е н и я
Основанием двоичной системы счисления является число два. Любое число в этой системе изображается последовательностью цифр 0 и 1. При этом каждой старший разряд больше соседнего младшего в два раза (1 десяток равен двум единицам). Например, двоичное число 10110 в развернутом виде можно записать так
1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20.
Для получения значения двоичного числа 10110 в десятичной системе счисления достаточно вычислить написанное выражение:
1*24 + 0*23 + 1*22 + 1*21 + 0*20 = 16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22.
Дробное двоичное число в развернутом виде записывается с использованием позиций с отрицательным номерами.
Например, 101,11 в развернутом виде запишется:
1*22 + 0*21 + 1*20 + 1*2-1 + 1*2-2 = 4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.¾ .
В дальнейшем основание системы счисления будем указывать в качестве нижнего индекса у самой правой цифры числа, например: 12510 – десятичная система счисления; 10112 – двоичная система счисления. Арифметические операции в двоичной системе счисления выполняются по правилам, указанным в табл.1.
Таблица 1
сложение |
вычитание |
умножение |
0 + 0 = 0 |
0 – 0 = 0 |
0 * 0 = 0 |
0 + 1 = 1 |
1 – 0 = 1 |
0 * 1 = 0 |
1 + 0 = 1 |
1 – 1 = 0 |
1 * 0 = 0 |
1 + 1 = 10 |
10 – 1 = 1 |
1 * 1 = 1 |
1) 100112*101102=1101000102
10011 *10110 00000 10011 10011 00000 10011____ 110100010 |
2) 1111010101112 : 10112 =1011001012
111101010111 1011 -1011 1000 -0000 10001 - 1011 1100 -1011 11 -00 110 -000 1101 -1011 101 -000 1011 -1011 0 |
Примеры: (действительные числа).
1011,1
+ 101,01
10000,11
1011,1
- 101,01
110,01
110011
* 11,101
11001
11001
11001
11001______
1011010,101
Двоичная система счисления широко используются для представления данных в вычислительных машинах. Это связано с тем, что в этой системе счисления очень просто выполняются арифметические и логические действия, а для представления двоичных чисел в машине можно использовать достаточно простые электронные элементы.
В о с ь м е р и ч н а я с и с т е м а с ч и с л е н и я
Основанием восьмеричной системы счисления является число 8. Для представления чисел используется восемь различных цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Все числа в этой системе счисления записываются в виде последовательности указанных цифр, в которой целая и дробная части разделяются запятой, а каждый старший разряд числа больше соседнего младшего в восемь раз. Например, число 15 записывается в восьмеричном виде как 17 или в развернутом виде: 178 = 1*81 + 7*80 = 8 + 7 = 1510
Дробное восьмеричное число 134,25 в развернутом виде запишется так:
1*82 + 3*81 + 4*80 + 2*8-1 + 5*8-2 = 64 + 2 + 4 + ¼ + 5/64 = 92.21/6410.
Действия над числами в
Таблица 2 Сложение
|
Таблица 3 Вычитание
|
В этой табл.3 не заполнены те места, где при вычитании уменьшаемое меньше вычитаемого. На практике в этом случае вычитание производиться также, как и в десятичной системе счисления, т.е. занимается единица с ее весом из соседнего старшего разряда числа. Если же нет ни одного старшего по отношению к данному разряду в числе, то получается отрицательный результат.
Таблица 4
Умножение
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 | |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
10 |
2 |
0 |
2 |
4 |
6 |
10 |
12 |
14 |
16 |
20 |
3 |
0 |
3 |
6 |
11 |
14 |
17 |
22 |
25 |
30 |
4 |
0 |
4 |
10 |
14 |
20 |
24 |
30 |
34 |
40 |
5 |
0 |
5 |
12 |
17 |
24 |
31 |
36 |
43 |
50 |
6 |
0 |
6 |
14 |
22 |
30 |
36 |
44 |
52 |
60 |
7 |
0 |
7 |
16 |
25 |
34 |
43 |
52 |
61 |
70 |
10 |
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
100 |
Примеры:
1) 234,158+101,738=336,18 234,15 +101,73 336,10
|
2) 351,78-23,18=326,68 351,7 - 23,1 326,6 |
3) 127,128*32,58=4420,4228
127,12 * 32,5 66362 25624 40536___ 4420,422 |
4) 301,38 : 218 =13,38
301,3 -21 71 -63 63 - 63 0 |
Ш е с т н а д ц а т е р и ч н а я с и с т е м а с ч и с л е н и я
Для представления чисел в
Например:
CF,816 = C*161 + F*160 + 8*16-1 = 12*161 + 15*160 + 8*16-1 = 12*16 + 15*1 + 0,5 = 207,510
Примеры:
0,F47
+0,D98
1,CDF
63
- 0,F72
62,08E
ПЕРЕВОД ЧИСЕЛ ИЗ ОДНОЙ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ В ДРУГУЮ
П е р е в о д ц е л ы х ч и с е л
Для того чтобы перевести целое число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную или шестнадцатеричную систему счисления, необходимо осуществить последовательное деление этого десятичного числа на основание той системы счисления в которую это десятичное число переводится. Деление необходимо производить до тех пор, пока не получится частное, меньшее этого основания. Число в новой системе счисления записывается в виде остатков деления, начиная с последнего. (Последнее частное считается как остаток). Пример: Переведем десятичное число 679 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.