Системы счисления

1)  679      -6        7       - 6         19       - 18           1

339   -2    13   -12      19     -18        1

169   -16        9      - 8        1

84   -8      4     -4       0

42   -4       2     - 2       0

 

21      -2         1

10   -10      0

5   -4     1

2   -2     0

 

679₁₀=1 0 1 0 1 0 0 1 1 1₂

2)   679      -64         39        -32            7

84   -8      4

10   - 8     2

 

679₁₀=1 2 4 7₈

3)   679      -64         39        -32            7

42   -32   10=А

 

679₁₀=2А7₁₆

Для того чтобы осуществить обратный перевод, необходимо составить степенной  ряд с основанием той системы  счисления, из которой данное число  переводится в десятичную систему  счисления.

1010100111₂=1*2⁹ + 0*2⁸ + 1*2⁷ + 0*2⁶ + 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 512 + 128 + + 32 + 4 + 2 + 1 = 679₁₀

1247₈ = 1*8³ + 2*8² + 4*8¹ + 7*8⁰ = 512 + 128 + 32 + 7 = 679₁₀

2А7₁₆ = 2*6² + А*16¹ + 7*16⁰ = 512 + 160 + 7 = 679₁₀

При переводе двоичного числа в  восьмеричное или шестнадцатеричное и обратно можно воспользоваться более простым способом, чем описанный выше.

При переводе двоичного числа в  восьмеричную систему счисления  в двоичном числе справа налево выделяются группы по три  разряда в каждой и каждую такую тройку (триаду) записывают в виде восьмеричной цифры. Если в группе, куда входят старшие разряды числа, нет трех разрядов, то недостающие подразумевается равным нулю.

Пример:

10  111  001₂ = 010  111  001₂ = 271₈

        

При переводе двоичного числа в  шестнадцатеричную систему счисления в двоичном числе справа налево выделяются группы по четыре разряда в каждой и каждую четвертую (тетраду) записывают в виде шестнадцатеричной цифры. Если в группе, куда входят старшие разряды числа нет четырех разрядов, то недостающие подразумеваются равными нулю. Пример:

        0001 1111  0010  1010  0101₂ = 1F2А5₁₆

 

Учитывая сказанное, можно составить  табл.5, которая позволит переводить числа из двоичной системы счисления  в восьмеричную (шестнадцатеричную) и обратно.

Таблица 5

№ п/п	Восьмеричное число	Двоичное отображение восьмеричного  числа	Шестнадцатеричное число	Двоичное отображение шестнадцатеричного числа
	0	0 0 0	0	0 0 0 0
	1	0 0 1	1	0 0 0 1
	2	0 1 0	2	0 0 1 0
	3	0 1 1	3	0 0 1 1
	4	1 0 0	4	0 1 0 0
	5	1 0 1	5	0 1 0 1
	6	1 1 0	6	0 1 1 0
	7	1 1 1	7	0 1 1 1
			8	1 0 0 0
			9	1 0 0 1
			А(10)	1 0 1 0
№ п/п	Восьмеричное число	Двоичное отображение восьмеричного  числа	Шестнадцатеричное число	Двоичное отображение шестнадцатеричного числа
			B(11)	1 0 1 1
			C(12)	1 1 0 0
			Д(13)	1 1 0 1
			Е(14)	1 1 1 0
			F(15)	1 1 1 1

 

Перевод из восьмеричной (шестнадцатеричной) системы счисления выполняется  аналогично: один символ восьмеричной заменяется тремя двоичными, один символ шестнадцатеричной заменяется четырьмя двоичными.

Примеры:

2 5 4 7₈ = 010 101 100 111₂

9 A 6 F₁₆ = 1001 1010 0110 1111₂

Незначащие нули (расположены слева) можно не писать.

 

П е р е в о д   п  р а в и л ь н ы х   д р о б е й

 

Для перевода правильной дроби из одной системы счисления в  другую необходимо выполнить следующие действия:

1. отделить вертикальной чертой дробную часть от целой;
2. умножить дробную часть на основании новой системы счисления, записав результат строго над исходным числом, начиная с младшего разряда.

В случае, если получится перенос в целую часть числа, записать его слева от вертикальной черты.

3. дробную часть полученного числа снова умножить на основание новой системы счисления и т.д.

Умножение выполнять до тех пор, пока либо будет полученное число  с заданной точностью. Либо справа от вертикальной черты окажется нуль. 

Результатом перевода будет число, полученное слева от вертикальной черты, при чтении сверху вниз.

При выполнении перевода необходимо умножение производить в исходной системе счисления и основание новой системы счисления тоже представить в исходной системе.

Примеры:

1. Перевести число 0,728 в восьмеричную систему:

 

Х 0	8 728
5 6 4	824 592 736	Þ 0,72810 = 0,5648

 

2.    Перемести число 0,752 в десятичную систему счисления:

 

Х 0	12 752	, где   1)   12                *752                  24                62              106            11444	2)   12          *444            50          50          50        5550	3)   12            *550              62            62           7020
9Û11 5 7	444 550 020

 

 

Þ 0,752₈ = 0,957₁₀

 

3.     Перевести 0,5, в двоичную систему счисления:

 

Х 0,	2 5	Þ 0,510 = 0,12
1	0

 

 

П е р е в о д   н  е п р а в и л ь н  ы х   д р о б е й

 

Перевод неправильных дробей из одной  системы счисления в другую производиться раздельно для целой части числа и дробной по предложенным выше правилам. Пример: перевести число 4,875 в двоичную систему счисления.

410 = 1002

4   -2    0

2   - 2     0

 

 

 

 

 

 

Х 0	2 875	Þ 0,87510 = 0,1112
1 1 1	750 500 000
		4,87510 = 100,1112

 

Д в о и ч н о – д  е с я т и ч н а я   з а п и с ь   ч и  с е л

 

Для записи десятичных чисел математики часто используют специальную промежуточную  запись, называемую двоично-десятичной. Для записи десятичного числа  в двоично-десятичной форме каждую цифру этого числа записывают в виде четырехразрядного двоичного числа. Каждая такая четверка называется тетрадой. Пример:

172,3 = 0001 0111 0010, 0011.

Для обратного перевода двоично-десятичное число разбивают на тетрады вправо и влево от запятой.

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДАННЫХ, ВВОДИМЫХ С КЛАВИАТУРЫ

 

Для получения высокой производительности компьютер выполняет арифметические операции над числами в двоичном формате.

Во многих случаях новые данные вводятся программой с клавиатуры. Система BIOS (Basic I/O System – основная система ввода - вывода) преобразует символы, которые набираются на клавиатуре, в ASCII – коды (American National Standard Code for Information Interchange). Система ASCII представляет собой набор числовых кодов, используемых ЭВМ для обмена данными.

Перед вводом данных на экран или  принтер производится обратное преобразование двоичных результатов в ASCII.

В табл.6          показаны ASCII – коды десятичных цифр от 0 до 9. Из таблицы видно, что двоичный эквивалент десятичной цифры есть ни что иное как младшие четыре бита ее ASCII кода.

 

Таблица 6

ASCII – коды десятичных цифр

 

ASCII – код шестнадц.сс.	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39
Десятич.цифра	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9

 

Так как цифры числа вводятся по одной, то преобразование из ASCII – кодов в двоичное число осуществляется следующим образом:

1. первая (старшая) цифра преобразуется в двоичное число обнуления четырех старших битов ее ASCII – кода;
2. это двоичное значение запоминается в качестве промежуточного результата;
3. следующая цифра преобразуется в двоичное число, промежуточный результат умножения на 10 и к полученному произведению добавляется значение цифры (модифицируется там самым промежуточный результат).

Обычно требуется преобразовывать  как положительные, так и отрицательные  числа, а так же числа с десятичной точкой. Поэтому преобразования учитывают возможность появления еще и символов минус (-) и точка (.).

 

Б у к в е н н о –  ц и ф р о в ы е   к о д ы

 

Среди буквенно-цифровых (символьных) кодов применяются коды EBC DIC и ASCII.

Символьные коды являются основным средством осуществления ввода – вывода при взаимодействии с внешним миром.

При нажатии клавиши на терминале  производится формирование и передача в компьютер соответствующего кода ASCII. (рис.1). Если компьютер посылает в терминал двоичную цепочку кода ASCII, терминал должен дешифровать эти биты и отреагировать соответствующим образом. (Печатаются не все символы кода ASCII; некоторые из них осуществляются возврат на шаг, пробел, перевод строки, возврат каретки и т.д.). Кроме печатных и управляющих символов, в коде ASCII так же символы, как EOF (конец файла) и EOT (конец передачи), которые служат маркерами при передачи и хранении данных.