Вычисление значения определенного интеграла методом криволинейных трапеций

ФБГОУ ВПО Кубанский государственный  технологический университет

(КубГТУ)

 

Кафедра    Вычислительной техники и АСУ

Факультет    Компьютерных технологий и автоматизированных систем

 

 

 

 

 

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовому проекту

 

 

по дисциплине       Информатика и программирование___________________________

на тему «Вычисление значения определенного интеграла методом криволинейных трапеций»                                                                    _________

Выполнил студент группы    11-КБ-ПР1__________________________________________

                                                                     __________________________________________

 

Допущен к защите ______________________________________________

 

Руководитель проекта______________________________________________

 

Нормоконтроллер__________________________________________________

 

 

Защищён _____________________         Оценка________________________

 

 

 

 

Члены комиссии __________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

(подпись,  дата, расшифровка подписи)

 

 

 

 

 

Краснодар

2012

 

ФБГОУ ВПО Кубанский государственный  технологический университет

(КубГТУ)

 

Кафедра    Вычислительной техники и АСУ

Факультет    Компьютерных технологий и автоматизированных систем

 

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой Ключко В.И.

___________________________

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ

на курсовое проектирование

 

Студенту Синченко Е. В.           группы        11-КБ-ПР1________1_курса___

факультета  __КТАС_______________________________________________

специальности                     231000 – Программная инженерия___________________

Тема проекта: «Вычисление значения определенного интеграла методом криволинейных трапеций»_________________________________________________________

Содержание задания: составить программу на языке программирования C#, вычисляющую значение определенного интеграла методом криволинейных трапеций.______________________________________________________________________________

_________________________________________________________________

 

 

 

Объём курсовой работы:

а) пояснительная записка               стр.;

б) графическая часть            листа формата А4;

Рекомендуемая литература__________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

 

Срок выполнения проекта:        с ___  ________20__г.  по ____ _______20__г.

Срок защиты:                              с ___  ________20__г.  по ____ _______20__г.

Дата выдачи задания:                 с ___  ________20__г.  по ____ _______20__г.

Дата сдачи работы на кафедру: с ___  ________20__г.  по ____ _______20__г.

Руководитель работы ______________________________________________

(подпись)

Задание принял студент ____________________________________________

(подпись)

ФБГОУ ВПО Кубанский государственный  технологический университет

(КубГТУ)

 

Кафедра    Вычислительной техники и АСУ

Факультет    Компьютерных технологий и автоматизированных систем

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

Пояснительная записка курсового  проекта:   14 стр.,  1 рис.,  2 табл., 5  литер.

 

 

 

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ, МЕТОД  КРИВОЛИНЕЙНЫХ ТРАПЕЦИЙ.

 

 

Объектом исследования является метод криволинейных трапеций, который  позволяет выполнить вычисление приближенного значения определенного  интеграла с помощью средств разработки Microsoft Visual C#.

 

Цель работы состоит в  разработке программы, вычисляющей  определенный интеграл методом криволинейных  трапеций, изучении методов приближенного  интегрирования, использовании различных  структур данных в среде Visual C#, повышении навыков алгоритмизации и оптимизации.

 

К полученным результатам  относятся корректно работающая программа и сопровождающая ее пояснительная  записка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

Введение

 

1. Основная часть

 

1.  Спецификация задачи

 

2.  Формулировка задачи

 

 

3.  Описание методов вычислительной математики, используемых при          решении

 

2. Описание методов программирования

 

1.  Текст программы на С#

 

2.  Описание программы

 

3. Блок-схема

 

4. Результат ручного тестирования

 

5.  Результаты машинного тестирования программы

 

Заключение

 

Используемая литература

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Численное интегрирование (квадратура) – система вычислительных методов отыскания приближенного значения определённого интеграла, которые применяются в следующих случаях:

1. вычисление интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно

- подынтегральная функция не задана аналитически

- первообразная подынтегральной функции не выражается через аналитические функции

2) вид первообразной настолько сложен, что эффективнее вычислить значение интеграла численным методом

Основная  идея методов – замена подынтегральной функции функцией, интеграл от которой вычисляется аналитически, при этом квадратурные формулы (Ньютона - Котеса) получаются вида:

– вещественная функция, непрерывная на [a,b]; 
–весовая (фиксированная) функция– полином различных степеней;

 –  узлы метода; 
–коэффициент Ньютона - Котеса;

 n – количество разбиений (число точек, в которых вычисляется значение подынтегральной функции).

 

Остаток квадратурной формулы (абсолютная погрешность):

При замене подынтегральной функции на полином  нулевой (n = 0), первой (n = 1) и второй (n = 2) степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона), для (n> 2) получают

квадратурные формулы Ньютона - Котеса высших порядков. Данные методы носят общее название методов Ньютона - Котеса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

 

1.1 Спецификация задачи

 

В качестве входных данных вводится n – количество разбиений.

В качестве выходных данных программа  должна вывести приближенное значение определенного интеграла на [a,b].

 

1.2 Формулировка задачи

 

Cоставить программу, вычисляющую значение определенного интеграла методом криволинейных трапеций.

 

1.3Описание методов вычислительной математики, используемых при решении

 

Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на каждом элементарном отрезке полиномом 1 степени – линейной функцией. Площадь под графиком функции аппроксимируется^[1] прямоугольными трапециями. Алгебраический порядок точности^[2] равен 1.

[1] Аппроксимация (приближение) – математический метод, в основе которого лежит замена одних математических объектов более простыми.

[2] Алгебраический  порядок точности численного  метода — наибольшая степень  полинома, для которой численный  метод даёт точное решение задачи.

 

Высота n трапеций: 

 

Формула криволинейных  трапеций:

 

Абсолютная  погрешность аппроксимации:

 

2. Описание методов программирования

 

В данном курсовом проекте вычисление значения определенного интеграла методом криволинейных трапеций реализовано данным способом:

 

- вычислить длину 1 шага разбиения h

- вычислить значение интеграла как сумму площадей всех прямолинейных

  (аппроксимированных) трапеций с использованием формулы  вида [4]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Текст программы на С#

 

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Linq;

using System.Text;

 

namespace Project_1

{

    class Program

    {

        static void Main(string[] args)

        {

            Console.Write("Введите количество шагов разбиения: ");

            int n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

            double h = (1.0 / n), x = 0, y, s = 0;

            y = (Math.Cos(x * x * x) * 1 / (1 + x * x));

            x = 0 + h;

            while (x <= 1)

            {

                double f = y;

                y = (Math.Cos(x * x * x) * 1 / (1 + x * x));

                f = h * (f + y) / 2;

                s += f;

                x += h;

            }

            Console.WriteLine("Значение определенного интеграла: " + s);

            Console.ReadKey();

        }

    }

}

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Описание программы

 

Таблица 1.

Переменные	Типы	Пояснения
n	byte	количество шагов разбиения
h	float	длина одного шага
x	float	аргументы функции
y	float	значения функции
f	float	площадь каждой прямолинейной трапеции
s	float	приближенное значение интеграла

 

 

Общее:

-вводится количество шагов разбиения  n E [0…255] (чем больше точек разбиения, тем точнее значение искомого интеграла)

- вычисляется длина 1 шага: 

  т. к.  xo = a = 0, xn = b = 1, то h = 1/n

Программа :

Затем вычисляется     yi = Cos(xi * xi * xi) * 1 / (1 + xi * xi)

  ,  ,  0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  Блок-схема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4 Результат ручного тестирования

 

Посчитаем для 10 разбиений, т.е. для  n=10

 

Таблица 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Результаты машинного тестирования программы

 

 

 

Рис.1 .Тестирование Программы 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Основные результаты: в процессе выполнения курсового проекта были изучены методы программирования в среде Microsoft Visual C#, справочный материал по методам численного интегрирования функций одной переменной, в частности по методу криволинейных трапеций, в соответствии с которым была составлена программа, вычисляющая приближенное значение определенного интеграла.

Особенности реализации: программа реализована с использованием условного оператора while.  Программа теоретически более эффективна по сравнению с программами, содержащими массивы (System.Array). Этот тип данных определенной размерности занимает фиксированный объем памяти, а циклические обработки его элементов могут привести к снижению быстродействия программы.