Басқару жүйелерінің теориясы.

Жалпы жүйенің  дифференциал теңдеуі уақыт функциясындағы шығыстық шаманың өзгерісін анықтайтындықтан, уақыттық сипаттама  жүйенің дифференциал теңдеуінің нөлдік бастапқы шарттағы бірлік сатылы кірістік ықпал үшін графиктік шешуі болып табылады, демек, жүйенің динамикалық қасиетін сипаттайды.

Ал уақыттық сипаттамалар жүйенің дефференциал теңдеуін шешу жолымен ғана емес, сондай-ақ тәжірбие арқылы да алынатындықтан, жүйенің  динамикалық қасиетін осы сипаттамалар бойынша анықтаудың іс жүзіндегі  маңызы өте зор, себебеі бұл жағдайда  уақытты көп алатын, әрі кейде  шешімі болмайтын дефференциал теңдеуді іздеудің және шешудің қажеті болмайды.

Егер жүйе бір орнықты  күйден екінші бір орнықты күйге  ауысқандағы барлық уақыт өтуімен 

 

                         (15)

бірлік кірістік ықпал  буынға не жүйеге ұдайы беріліп тұрса, онда уақытша сипаттаманы буынның  не жүйенің өтпелі функциясы дейді. Өтпелі функцияның графиктік кескінін буынның не жүйенің  өтпелі сипаттамасы  дейді.

Жүйенің дельта-функция ретіндегі  бірлік сатылы әсерге реакциясы

                              

импульсті  өтпелі сипаттама  дейді. Буын не беріліс функциясы бар ажыратылған жүйе кірісіне кірістік шама берілгенде уақытша сипаттаманы аламыз. Бұл жағдайда  кірістік және шығыстық шамалардың кескіндері мынадай болады:

 

                      

жүйенің беріліс  функциясын алуға болатынын көреміз. Қазіргі  кезде тәжірбиелік өтпелі функция  бойынша жүйеніңберіліс функциясын табудың бірқатар инжинерлік әдсі жасалған.

Өз кезегінде Лаплас бойынша  өтпелі функцияның кесіні мына өрнекпен анықталады:

                                   h(p)=1/p(W(p))          (18)

Осы өрнекпен Лапластың кері түрлендірілері бойынша  ажыратылған  жүйенің өтпелі функциясын анықтауға  болады.

     

                                          (19)

    Осыған ұқсас  тұйықталған жүйенің өтпелі функциясы  мына түрде жазылады:

                                                       (20)

 

                     3. Жиіліктік сипаттамалар

 

Егер жүйенің не жеке буынның  кірісіне тұрақты амплитудасы мен  жиілігі бар синусоидалы тербеліс берілетін болса,

 

                                               (21)

онда өтпелі прцесс өшкеннен кейін шығыста жиілігі сондай, бірақ амплитудасы мен фазасы бөлек  синусоидалы тербеліс пайда  болады

 

                          

 

Егер кірістік шаманың  бастапқы фазасы нөлге тең болмаса, онда шығыстық шаманы комплексті көрсеткіш  түрінде жазуға болады:

,

.

мұндағы және   - кірістік және шығыстық тербелістер амплитудасы; - тербеліс жиілігі; және кірістік және шығыстық тербелістердің бастапқы фазалары.

Жүйенің комплексті түрде  көрсетілген шығыстық шамасының  осы түрде көрсетілген кірістік шамасына қатынасы жүйенің амплитудалық-фазалық  жиіліктік сипаттамасы (АФЖС) делінеді.

                                  

.    (22)       

амплитудалардың қатынасы амплитудалық-фазалық-жиіліктік  сипаттамасының модулі, ал фазалар айырымы оның фазасы делінеді.

Жүйенің амплитудалық-фазалық-жиіліктік  сипаттамасы уақытқа тәуелсіз. Оның уақыттық сипаттамадан принцитік өзгешелігі де осында. Егер уақыттық сипаттама  жүйенің өтпелі процестегі қалпын айқындаса, онда АФЖС әр түрлі жиіліктегі орныққан шығыстық тербеліс параметрлерінің  кірістік тербеліс параметрлеріне тәуелділігін бейнелейді. Әйтсе де, АФЖС тек орныққан процестерді ғана бейнелеп қоймай, олардың динамикалық қасиеттерін  де уақыттық сипаттамамен дифференциал теңдеулер тәрізді толық анықтай  алады. Ал,

,

,

.      (23)

Туындыларын жүйенің (9) теңдігіндегі сәйкес мәндерінің орындарына қоятын болсақ, онда оның кірісіне әсер етер гармоникалық тербеліс үшін мынаны шығарып аламыз:

.         (24)

Осы өрнектен жүйенің АФЖ  сипаттамасын анықтаймыз

.       (25)

(25) пен (3) өрнектерін салыстырсақ  жүйенің АФЖ сипаттамасын алу  үшін қандай 

                         (26)            

да болсын математикалық  түрлендірудің қажеті болмайтындығын, мұнда тек  жүйесінің беріліс функциясындағы символын -ге ауыстыру керек екендігін көреміз. (22) өрнегіндегі және деп белгілесек, онда АФЖС

       (27)

аламыз.

Шығыстық және кірістік тербелістер  амплитудалары қатынасының жиілікке тәуелділігін жүйенің амплитудалық-жиіліктік  сипаттамасы дейді (АЖС)

.                         (28)

Амплитудалық-жиіліктік  сипаттама (АЖС) АФЖС-ның модулі

.                 (29)

Шығыстық және кірістік тербелістер  фазаларының айырымдарының жиілікке тәуелділігін жүйенің фазалық-жиіліктік  сипаттамасы дейді:

.                      (30)

Фазалық-жиіліктік сипаттама (ФЖС) АФЖС-ның аргументі деп аталады. Ал

болғандықтан екі көп  мүшені (полином) нақты және жорамал  бөлікке бөліп, мынаны шығарып аламыз:

;

.

Осы тәуелділіктерді ескере отырып жүйенің АЖ сипаттамасын былай  өрнектеуге болады:

.                     (31)

Амплитудалық-фазалық-жиіліктік  сипаттама

                 

.                        (32)

Бұл бөлшектің алымы мен  бөлімін  түйіндес көбейткішке көбейтсек, алатынымыз:

,

мұндағы

,

деп белгілесек, онда

.                   (33)   

 шамасын жүйенің нақты  жиіліктік сипаттамасы,  шамасын жүйенің жорамал жиіліктік сипаттамасы дейді. Осымен бес жиіліктік сипаттама алдық: амплитудалық-фазалық , амплитудалық-жиіліктік , фазалық-жиіліктік ,нақты жиіліктік және жорамал жиіліктік . (27) - (33) тәуелділіктерден басқа, бұл сипаттамалардың бір-бірімен мынандай байланысы бар:

,                        (34)

.                      (35)

Қайсы бір  жиілігі үшін комплекстік жиіліктік сипаттаманы комплекстік жазықтығындағы вектор ретінде қарастыруға болады. Бұл вектордың ұзындығы (модуль)( 34) өрнекпен, ал оң жартылай нақты осьпен құрайтын бұрышы (фаза) (35) өрнекпен анықталады.

Егер  жиілікті 0-ден дейін өзгертсек,  векторының ұшы жазықтығында осы вектордың годографы немесе жүйенің комплекстік жиіліктік сипаттамасы деп аталатын қисықты сызады. Ал бұл алынған годограф АРЖ-ны жиіліктік аймақта зерттеген кезде қолданылады.

Енді  векторының физикалық мәнін түсіндірейік. Жүйе кірісіне гармоникалық тербеліс беріліп тұр делік. Жүйедегі өтпелі процесс аяқталғаннан кейін оның шығысында сол жиілікті, тек амплитудасы Y болатын және фазасы бойынша бұрышына ығысқан гармоникалық тербеліс пайда болады. шамасын біле отыра Y пен мәндерін

,

өрнектері арқылы тауып алуға  болады.

Жиіліктік сипаттамалар автоматты  реттеу жүйелерін талдауда және есептеуде  инженерлік практикада кең қолданылады.Олардың  арақашықтығына тәжірибелік жолмен алынатындығы жатады,яғни ол әсіресе  технологиялық процестің математикалық  өрнегі тұрғысынан обьектінің аз зерттелуіне  орай талдама теңдеуді  алуға  мүмкін болмайтын жүйелер үшін барынша  тиімді.Осыған байланысты тұйықталған  жүйелердің динамикалық қасиеттерін  бағалау үшін олардың ажыраған күйдегі  АФЖС-сы қолданылады.

Инженерлік есептеулер үшін логарифмдік масштабта салынған жиілік сипаттамалар кеңінен қолданылады.Қазіргі  кезде логарифмдік жиіліктік  сипаттамалар әдісі  АРЖ талдау және синтездеудің басты әдістері болып  саналады.Яғни,логарифмге көшкенде шамалар(сандар) мәнін көбейту амалы олардың  логарифмдерін қосу секілді жеңіл  амалмен ауыстырылады,оған қоса логарифмдік  масштабта тәуелділік кескінінің қисықтығы  азаяды.Бұл логарифмдік масштабта  жиілік сипаттамаларды түзу кескіндерден құралған сынық сызықтармен алмастырып аппроксималауға мүмкіндік береді.

АФЖС-ның (27) өрнегін логарифмдеп,мынаны шығарып аламыз

     (36)

Сигнал қуатының қайсыбір құрылғыдан өту кезінде күшею  не кемуінің логарифмдік  бірлігі  үшін мәндері ондық логарифммен  өрнектелген шығыстағы  қуаттың кірістегі қуатқа қатынасын алады.Бұл қатынасты техникада бел(Б)деп атайды.Ал сигнал қуатыоның амплитудасының квадратына пропорционал болғандықтан,(28)-ін ескере отырып,алатынымыз:      

(Б)

Бұл қуаттың күшеюінің (кемуінің)жеткілікті ірі бірлігі (қуаттың 10 есе күшеюі 1 белге тең) болғандықтан,автоматты  реттеу теориясында өлшем бірлігіне  децибел(дБ) алынған,1дБ=0,1Б.Осыны ескерсек:

,

Бұл шама

                       (37)

логарифмдік амплитудалық-жиіліктік  сипаттама(ЛАЖС) деп аталады.

Октава деп қайсыбір жиілік мәні мен оның екі еселенген мәні аралығындағы жиілік ауқымын айтады.Жиіліктің  логарифмдік масштабындағы бір  октаваға сәйкес кесіндінің ұзындығы мынаған тең болады:

 

және ұзындық ώ-ға тәуелсіз.

Декада деп қайсыбір жйілік мәнімен оның он еселенген мәні арасындағы жиілік ауқымын айтады.

Жиіліктің логарифмдік масштабында  бір декадаға сәйкес кескіннің ұзындығы октава секілді,жиілікке тәуелсіз және мынаған тең болады:

 

 

 

Жиіліктік сипаттамалар автоматты  реттеу жүйелерінің тиімді параметрлерін  анықтауға және іс жүзіндегі көптеген талдау,синтездеу есептерін шешу үшін кеңінен қолданылады.Сол себептен автоматты жүйенің динамикалық  қасиеттерін жақсарту үшін осы жүйедегі барлық буындар олардың қосылыстарының жиіліктік сипаттамаларын білген қажет.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найквист критерийі 

 

       Бұл критерийдің жәрдемімен ажыратылған жүйінің амплитудалық-фазалық-жиіліктік сипаттамасының түрі бойынша тұйықталған жүйенің орнықтылығын бағалауға болады. Осы критерий қазір оңайлығы, көрніктілігі және тәжірбие жасауға мүмкіншілік туғызуына байланысты кең тараған.

Найквист критерийі жәрдемімен автоматты жүйемен тәжірбие арқылы зерттенген ондағы кері байланысты үзеді. жүйенің кірісіне  амплитудасы  жиілігі тұрақты тербеліс беріледі. Сызықтық жүйе арқылы өткен сигналыдың жүйенің шығысынғыы жиілігі де сондай, ал амплитудасы мен фазасы өзгеше болады:

 

Комплексті тербеліс коэфиценті немесе жиілікті беріліс функциясы  бұлай анықталады

. (23)

 мен мәндері жиілікке тәуелді.   жиілікті беріліс функциясы өзгергенде комплекс айнымалылар жазықтығында осы вектордың годографы, яғни амплитудалық фазалық сипаттамасы (АФС) түрінде кескіндеуге болады.

Зерттелетін ашық жүйенің  беріліс функциясы біле отырып және ондағы   операторды -ға алмастырып, жиілікті беріліс функциясы сипаттаманы (АФС)алады. тәжірбие жүзінде не есептеуге алынған АФС-ның түрі бойынша жүйе орнықты ма, жоқ па, соны анықтайды.

Орнықтылықтың Найквист критерийі  былай тұжырымдалады: егер тұйықталмаған  күйдегі АРЖ орнықты болу үшін тұйықталмаған жүйенің амплитудалық-фазалық  сипаттамасы координаты (-1,0) нүктені қамтуы қажетті әрі жеткілікті.

Орнықтылықтың қарастырылған  тұжырымы тұйықталмаған жүйе орнықты  болып, АФС теңдеуіндегі бөлшектің  алымындағы полиномды дәрежесі бөліміндегі  полином дәрежесінен кем болғанда ғана дұрыс болады.

Тұйықталмаған жүйе орнықты  және бейтарап буындардын құралғанда ғана орнықты болады. Бұл жүйені құрылымдық схемасынан құралған буындар  құрамын қарастырылғанда тағайындалады.

АФС координаты  нүктені қамтима, жоқ па, соны анықтау үшін осы нүктеден АФС-ның барлық нүктелеріне векторы тұрғызылады. Егер жүйе орнықты болса, онда   векторының қорытқы бұрылысы (8,а-сурет, 1-қисық) нөлге тең. Ал орнықсыз жүйе үшін ол нөлге тең болмайды (7.8,б-сурет, 1-қисық).

Бұл бұрыш -ге тең. 2-қисық астатикалық жүйенің беріліс функциясының көбейткіші , ал АФС теңдеуінікі болады. Мұндай жүйенің АФС-сын салғанда болса, онда ол шексіздікке кетеді. 2¹-қисық айналық кескінін салады. Содан кейін 2 және 2¹ қисықтарымен қиылысқанға дейін үлкен радиусты, центр координат басында болатын т доғаны тұрғызады. Егер векторының соңы j-q-a-b-m-n-a-r-o  тұйықталған қисықтармен өтсе, әрі нүктесінің төңірегінде оның бұрылысының қорытқы бұрышы нөлге тең боса, онда 7.8,б-суретте 2 қисық орнықсыз жүйеге сәйкес келеді.

АФЖ-ның ақты осътің бағытымен  қиылысу нүктесінде фаза бойынша  ығысу 180⁰ -қа тең, олай болса, шығыстық сигнал кіріспен қарсы фазада болады. Егер қиылысу нүктесі координаты нүктенің сол жағында болса, онда шығыстық сигналының амплитудасын кіріске қатынасы бірден үлкен, яғни берілген жиіліктегі коэфиценті 1-ден үлкен екенін білдіреді. Кері байланыс тізбегі тұйықталған жүйенің кірісіне амплитудасымен фазасы ұлғайған сигнал келеді. Жүйе арқылы өте отырып, ол тағы да ұлғаяды. Демек, жүйе орнықсыз.

3-мысал. Найквис критерийімен  статистикалық АРЖ-ны орнықтылыққа  тексеру қажет. 

Тұйықталмаған АРЖ-ның беріліс  функциясы

   (24)