Биологиялық процестерді математикалық модель көмегімен зерттеу

Біздің мақсатымыз - әртүрлі процессте қолданылатын математикалық модельдерді бағалау және зерттеу тәсілдерімен таныстыру, яғни дүниетанымына қажетті математикалық көпір құруды үйрету.

Әдебиетте және мәдениетте кейбір шығарманы талдау үшін    оның    мазмұнын,    әрі    формасын    бағалаймыз.

Шығарманың мазмұны туралы сөз болса, жазушы қандай сюжетті мақсат еткенін, ойын оқырман қауымға қалай жеткізгенін анықтау керек. Форма - автордың айтайын деген ойын жеткізу құралы. Сөйтіп, мазмұн - зерттелінетін құбылыс немесе зат жөнінде объективтік информациядан тұрады. Форма - авторға тән жеке басының көзқарасы, сондықтан субъективтік шама.

Мақсат, идея, ой -форманың табиғи құралы десек, зерттеушінің субъективтік көзқарасы қарастырылатын құбылыстың табиғи бейнесін бүркемеуге тиісті. Өнерде және әдебиетте шығарманың формасы мазмұнына адекватты болса, онда қолданған құралымыз қойған мақсатымызға жеткізгені.

Осыған байланысты Огюста Роденнің сөзін келтірейік. Шындықты дәл бейнелеуге тырысқан суретші, болымсыз детальдардың бұлжытпай көшірмесін беріп, үлкен шебер иесі бола алмайды. Мысалы: жазушы оқиғаны документалдық дәлдікпен берсе, шығарманың тартымдылығы азаяды; үлкен қалам иесінің жазбасы соттағы эксперттік дәл жазбаға қарағанда көп әсер етеді.

Енді ғылыми зерттеудегі мазмұн мен форманың байланысы , оның ішінде математикалық модельдеудің мәні қандай? Кез-келген модельдің мақсаты- қарастырылатын объект туралы информацияны жеткізу болғандықтан, мазмұнын модельдеу, формаға қарағанда басым болады. Ал, математикалық модель бейнслейтін нақтылы дүниеге адекватты болады, сондықтан формаға және мазмұнға қойылатын талап бірдей. Математикалық танымның алдындағы кейбір этаптарды қарастырайық. Зерттелетін құбылысқа қойылған модельмен зерттеуші қандай проблеманы шешпек, қандай математикалык апаратты, тәсілді және техниканы қолданбақ, жетілген құрал-жабдықтарға, білімге байланысты нақтылы шындыққа барынша жақындап, нақты информация алуға болады десек артық бола ма? Әрине, бұдан математикалық апараттың негізінде абсолютті дәл немесе ықтималдылығы басым эталондық модель аламыз деген ой тумайды.

Айтар ойымызды жеңілдету үшін кейбір қарапайым мысалдарға жүгінейік. Кеңістікте дененің қозғалу процесіне байланысты есепте, кез-келген уақыт моментінде дененің тұрған орнын және жылдамдығын анықтау. Электрондық қабаттағы таңбаланған электронның уақытқа тәуелді орнын және импульсін табу.

Модельдеу дегеніміз – негізінен информацияны жинақтау, сақтау және түрлендіру болып табылады. Сондықтан бір объектінің екі моделін салыстырсақ, қайсысының информацияны түрлендіру эффектілігі басым, сол модель жақсы делінеді. Кейде абстрактілі математикалық модельден қосымша енгізілген түзетулердің көмегімен информацияларды өңдеп зерттелетін процесс туралы нақты деректер алуға болады.

Математикалық модель құруға байланысты кездесетін негізгі зандылықтарды түсіндіру үшін, еркін құлаған дененің моделіне тоқталайық. Ең алдымен, зерттелетін құбылыстың негізі болатын объектіні анықтау. Біздің жағдайда, құлайтын денеге сипаттама беру. Яғни дененің формасын, өлшемін және ішкі структурасын ескермей, біз материалдық нүкте деп қарастырдық. Келесі, қарастырылатын процессті сипаттайтын жүйедегі күйді анықтайтын функцияны табу. Біздің жағдайда құлаған дененің жер бетінен қандай биіктікте болғаны және жылдамдығын анықтау. Мысалы, жылу физикасында температура-күй функциясы болады, ал кинетикалық химияда озара әсерлесетін заттардың және өнімі болатын заттардың концентрациясы т.с.с. Сонымен математикалық модель дегеніміз - күйді сипаттайтын функциялар бойынша берілген теңдеу.

Енді тендеуді шеше отырып, біз математикалық модельді зерттейміз, яғни күйдің функцияларының басқа параметрлермен байланысын тауып, сипаттамасын анықтаймыз. Әуелі бұған жататындар тәуелсіз айнымалы шамалар - уақыт және кеңістік айнымалылары. Мысалы, құлаған дененің кез-келген уақыт моментіндегі биіктігі. Ал жылу тасымалдау процесінде дененің нүктелеріндегі температураның өзгерісі т.с.с.

Құрылған математикалық модельге байланысты, күйдің функцияларын және тәуелсіз айнымалыларды анықтағаннан кейін координат жүйесін анықтау қажет.

Осыдан бастап жүйеде қарастырылатын күйдің функцияларының өзгеру зандылығын беретін математикалық формуланы анықтау болады. Бұл үшін уақиғанын дамуына нақты әсер еткен не, яғни системаның эволюциясының себебін көрсету қажет. Мысалы, қарастырған есепте дененің құлауына негізгі себеп болған, денеге әсер ететін - ауырлық күш.

Бізді қызықтыратын уақиғаны туғызған себептерді көрсету үшін, модельдеу процесін құру кезінде салдарды туғызатын себептердің әрқайсысының қандай әсері болатынын білу кажет. Сөйтіп математикалық модельдеу негізі дегеніміз - осы салдарлық - себептердің әсеріне байланысты күй функцияларының өзгеру заңдылығын анықтау. Біздің мысалға келсек, мұндай байланыс Ньютонның екінші заңымен беріледі, яғни күй функциясының уақыт бойынша алынған екінші туындысы, әсер ететін ауырлық күшке пропорционал өзгереді.

Зерттелінетін құбылыстың салдарлық - себептер байланысын анықтайтын математикалық модельді толықтыратын басқа сипаттамасына тоқталайық. Бұл зерттелінетін табиғат құбылысының бізге керекті шарттарын анықтайтын жүйе параметрлерін анықтау. Дененің еркін құлауына байланысты, бастапқы биіктік және бастапқы жылдамдық болады. Ал, жылу тасымалдау процесіне дененің жылу қасиеттерін беретін физикалық шамалар жатады.

Келесі жүйе параметрлерінің өзгеру диапазонын белгілеу болады. Бұл дегеніміз, математикалық модельдің қолданылу мүмкіндігін анықтайтын шарттары туралы мәліметтер белгілі болу керек. Мысалы, дененің еркін құлауын сипаттайтын модель тек гравитациялық өрісте қолданылатыны зерттеушілерге мәлім.

Сөйтіп, математикалық модельдің құрамы жөнінде үш сипаттамаға назар аударуға болады. Әрбір нақтылы жағдайды сипаттайтын процестің параметрлері, белгіленген шамалардан тұрады және осылардың ақпараттарынан құралады. Мұнда тәуелсіз айнымалылар белгіленбеген, бірақ өзгеру облысы берілген, күй функциясының анықталу облысы болады. Параметрлері берілген айнымалылар бойынша, күй функциясын қалпына келтіру есебі математкалық модельдің негізгі жұмысына жатады.

Керекті математикалық ара-қатыстарды қорытып алған соң, күй функциясынан басқа шығатын информацияларды анықтау кажет. Мысалы, дененің жерге қүлағандағы уақыт моментін және соңғы жылдамдықты шығатын информацияға жатқызуга болады.

Қорыта келіп, зерттелінетіи процесстің математикалық моделін құрайтын элементтер:

1. Зерттелінетін объект.
2. Жүйе күйінің функциясы.
3. Тәуелсіз айнымалылар.
4. Координат системасы.
5. Жүйе эволюциясының себептері.
6. Салдарлық-себептер байланысы.
7. Жүйенің енетін параметрлері.
8. Математикалық модельдің қолданылу шарттары.
9. Жүйенің шығатын параметрлері.

Табиғи құбылыстағы зандылықты анықтау үшін өзіне тән ғылыми салалар зерттейді (физика, химия, биология т.с.с). Ал, математикалық амалдарды қолданып, модель құрып, компьютердің көмегімен анализ жасап, әрі табиғи процесті қалағанымызша қайталап, дисплейде тәжірибе жасап, көз жеткізіп, кез-келген құбылысты зерттеу мүмкіндігі зор.

Құрылатын модельдер үшін, математикалық модельдің сипаттамасы қолданылған математикалық есептер мен оларға кіретін шамалардың арасындағы байланыспен анықталады. Күй функциясы уақытқа тәуелді өзгерсе, онда жинақталған параметрлік жүйеде, ал күй функциясы уақытқа және кеңістік айнымалыларына байланысты өзгерсе - тарамдалған параметрлік жүйеде берілді деуге болады. Бұған маятниктің тербелісін, снарядтың ұшуын кейбір дербес жағдайда жинақталған параметрлік жүйеде қарастыруға болады, ал жылудың тасымалдануы, көлем ішіндегі сұйықтың қозғалысы - тарамдалған параметрлік жүйеде зерттелінеді. Математикалық есептерде жай дифференциалдық теңдеу жинақталған параметрлік жүйеде кездессе, ал дербес туындылары бар дифференциалдық теңдеу тарамдалған параметрлік жүйеде қарастырылады.

Теңдеулерді қолданып қоймай, кейбір процестерді модельдеу үшін вариациялық принциптер негізінде әдістемелейді. Классикалық механикадан материалдық нүктенің козғалысын динамиканың тендеуін қолданып немесе ең аз әсер ету принципінің негізінде, яғни жүйе эволюциясын құрғанда шығатын энергияның шамасы минимум болатындай есеп құрып шығаруға болады.

Процеске кездейсоқ факторлар әсер етсе стохастикалық модель деп, ал сырттай әсер ететін факторлардың эффектілігін ескермей құрылған модель детерминальдық делінеді. Үздіксіз жүйеде тәуелсіз айнымалы үздіксіз өзгереді, ал дискретті жүйе тәуелсіз айнымалы тұрақты немесе айнымалы қадам жасап өзгереді.

Күйді сипаттайтын функциялар уақытқа байланысты өзгерсе динамикалық, ал күйдің сипаттамаларын беретін шамалар уақыт өзгерісіне қатысы жоқ болса стационарлық жүйе деп айырады. Математикалық модельдердің зерттелінетін процесті беру ерекшеліктеріне қарап, классификациалаудың басқа да түрлерін атауға болады.

 

 

 

 

1.2 Биологиялық кинетика заңдылықтары

 

Биологиялық кинетика биомассаның, организмндегі клетка мөлшерінің, жеке биологиялық объектінің массасының уақытқа тәуелді өзгерісін зерттейді. Аталған объектілер көптеген компоненттен тұрады және оларды сипаттайтын параметрлердің  уақытқа тәуелді өзгерістері әр түрлі заңдылықтармен болады. Сондықтан да біз алдымен  биологиялық кинетиканың негізгі ұғымдарымен танысып алайық:

1. Биологиялық объект  құрамында болатын кейбір компонент бойынша жылдамдығы ретінде осы компоненттің концентрациясының бірлік уақыттағы өзгерісін айтады [1]. Егер Dt уақыт ішінде кейбір компоненттің концентрациясы DС өзгерсе компонент бойынша жылдамдық

R =

                                           (1)

Бұл анықтама тек  химиялық кинетика ғана емес, биологиялық процестердің уақытқа байланысты өзгерісін де сипаттайды. Мысалы, белгілі бір микроорганизмдердің биомассасының уақытқа тәуелділік заңдылығын зерттесек, осы құбылыс белгілі бір жылдамдықпен сипатталады. Ал концентрация ұғымын көбінесе микроптарға қоладанады: бір литр қоректік ортадағы грамм бойынша алынған микроогранизм мөлшерін концентрация деп атайды.

2. Биологиялық процестер үшін Мальтус заңы. С.Д.Перт өсімдіктердің биомассасының өсу шарттарын анықтады [2]. Ол шарттар мыналар:

А) өсімдіктің өміршеңдігі;

Б) энергия көзінің болуы;

В) биомассаның синтезіне  қажетті барлық компоненттері бар қоректік қосымша заттарды енгізіу;

Г) Орта ішінде клеткалардың көбеюін тежейтін ингибиторлардың  болмауы;

Д) Ортада жағымды физико-химиялық шарттардың орындалуы.

Егер жоғарыда қарастырылған  талаптар орындалса, онда биомассаның  өсу жылдамдығы биомассаның мөлшеріне тура пропорционал болады.

Демек, 

=m·x₁                           (2)

m - бірлік биомассаның өсу жылдамдығы биомассаның меншікті өсу жылдамдығы деп аталады.  Ол бірлігімен өлшенеді. (1) және (2) теңдеулерді салыстыра отырып,  өрнекті r_x1 белгілейміз. Сонда r_x1 = . Бұл өрнек Мальтус заңы деп аталады. Жоғарыда келтірілген дәнді дақылдар үшін жасалған идеал жағдай орындалса, онда Мальтус заңы орындалады. Бұл қарапайым дифференциалдық теңдеуге жатады. Дифференциалдық теңдеуді айырмалық схема (разностная схема) түріне келтіріп, Matchad 14 ортасында шештік.

Оның шешуі 1-суретте  көрсетілген:

 

Сурет 1 – Мальтус теңдеуінің шешімі

 

Ал нақты  өмірде күнделікті практикадан білетініміздей С.Д.Перттің шарттары орындалмайды. Мұндай жағдайда математиканың универсаль әдісі – сандық әдісті пайдалану керек. (2) теңдеудегі m тұрақты шама- биомассаның өсуінің меншікті жылдамдығы. Осы шаманың мәнін эмпириялық жолмен анықтайық. Көрнекі физиолог Макс Клейбер егеуқұйрықтан бастап өгіздерге дейін метоболизмнің интенсивтілігін анықтаған. Бұл жануарлардың массасы 0,15 кг-нан 679 кг аралығында болған. Осы жануарлардың метоболизмін зерттей отырып, метобоизм интенсивтілігі мынандай теңдеуге бағынатынын ашқан:

 

Р_мет =70·М_Т^3/4

 

Мұндағы Р_мет метоболизм интенсивтіліг (ккал/сөтке), М_Т – жануар массасы (кг) [3]. Зерттеуші 1 литр оттек мөлшерімен 4,8 ккал жылу бара-бар екенін есептеген. Демек Р_мет шаманы ккал/сөтке бірлігімен емес лО₂/сағат мөлшерімен алмастырса онда былайша жазуға болады:

 

Р_мет =70/4,8/24·М_Т^3/4 лО₂/сағат

 

Көмірсутекті  энергия қөзі ретінде пайдаланатын бактериялар мен саңырауқұлақтардың оттек бойынша экономикалық коэффициенті 1 г оттекке келетін 1г құрғақ биомассаға жуық. Қалыпты жағдайда 22,4 литр оттек 16 грамм тартатынын біле отырып  1 литр оттектің массасын есептейміз:

m=16/22,4 г.

Демек, бір сағатта Р_мет литр оттек жұмсап, микроорганизм биомассасы

Р_мет· Y·m (құрғақ биомасса) шамаға өседі. Демек М_Т шама неғұрлым көп болса, өсім де соғұрлым көп болады. Ал меншікті өсу жылдамдығын табу үшін өсуді М_Т ға бөлеміз. Сонда меншікті өсу жылдамдығы

m = Р_мет· Y·

                                (4)

Мұндағы А (г  құрғақ биомасса/кг ылғал биомасса) ылғал биомассадан құрғақ биомассаға көшу коэффициенті. Р_мет шаманың М_Т шамаға тәуелділігін ескерсек

m = Р_мет· Y·

=

Біз к шаманы тек микроорганизмдер үшін есептедік. Анықтама материалдарды пайдалана отырып 11 түрлі микроорганизмдер үшін к шама орташа k = 0,0001 тең екенін таптық. Сонда массасы 10^-15 кг болатын бактерия үшін меншікті өсу жылдамдығы 0,6 болады [4].

Әрине, нақты  жағдайда организмдер тұрақты меншікті жылдамдықпен өспейді. Оған не әсер етеді. Өсудің меншікті жылдамдығы қоректік субстраттың концентрациясына тәуелді. Егер қорек жоқ болса организм өспейді және көбеймейді (m =0). Ал қоректік зат артығымен болғанда жоғарыда көрсеткендей максималь меншікті жылдамдық болады.