Бірінші ретті дербес туынды

Мамандық: «Ақпараттық жүйелер»

Топ: 304118

Студенттің аты-жөні: Сейил Елеусинов

Пән атауы: Алгоритмдер және деректер структурасы

Практикалық сабақтың №1.

Тақырыбы: Бірінші ретті дербес туынды

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЖОСПАР

 

I. Кіріспе

 

II. Негізгі  бөлім

1. Дифференциалдау.

1.1. Дифференциалдау  ережелері.

1.2. Дифференциалдау әдістері.

1.3. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар

1.4. Туынды және жоғарғы ретті  дифференциалдар

1.5. Бір айнымалы функцияның туындысы.

 

2. Дифференциалдық теңдеулер.

2.1. Толық  дифференциалды теңдеулер.

2.2. Туындысы бойынша шешілмеген дифференциалдық теңдеулер.

2.3. Бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулер.

 

III. Қорытынды

 

IV. Пайдаланылған әдебиеттер тізімі

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

функциясы - нүктесінде дифференциалданатын функция болу үшін - нүктесінде функцияның ақырлы туындысының болуы қажетті және жеткілікті, теңдіктегі бірінші қосылғыш -ке пропорционал және оған сызықты тәуелді, ал екінші қосылғыш , - ке салыстырғанда кішкене болу реті жоғары шексіз аз шама , яғни жағдайда екінші қосылғыш қарағанда жылдамырақ нөлге ұмтылады. Осыған байланысты шамасын функция өсімшесінің бас мүшесі дейді және ол  функцияның дифференциалы деп аталады да арқылы белгіленеді.

Жоғары ретті туындылар. функцияның  аралығында туындысы бар болса, онда белгілі функция болады. Өз кезегінде бірінші туындының да аралығында туындысы болуы мүмкін. Бұл жағдайда оны функциясының екінші ретті туындысы дейді және   немесе арқылы белгілейді.

Жалпы - тің ретті туындысының туындысы функцияның - ші ретті туындысы деп атайды да

 немесе 

деп белгілейді. - рет дифференциалданатын және функцияларының қосындысы мен көбейтіндісі үшін келесі дифференциалдау ережесі орындалады:

1. ;

Жоғары ретті дифференциал. f(x)  аралығында -рет дифференциалданатын функция,  -тәуелсіз айнымалы. Онда функциясының нүктесіндегі бірінші дифференциалынан алынған дифференциал функциясының екінші дифференциалы деп аталады да арқылы белгіленеді, және

  тең 

 функциясының  - ретті дифференциалы деп функциясының - ретті дифференциалының дифференциалын айтады және оны келесі түрде белгілейді.

 

 

 

 

 

 

 

1. Дифференциалдау

 

1.1. Дифференциалдау ережелері

 

Теоремалар.

1. Егер  функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функция осы нүктеде үзіліссіз.

Шынымен де, мұндағы , егер .

Бұдан,

 егер  .

2. Күрделі функциялардың туындылары . Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын, онда  күрделі функциясы нүктесінде  дифференциалданады және

,  немесе 

3. Дифференциалдау ережелері. және табылсын, ал - const. Онда

а) .     Шынында да, .

б) .

в) .

г) .   

 

1.2. Дифференциалдау  әдістері

 

Туындының кестесі  

-  айнымалысына тәуелді функциялар, ал - тұрақты сандар болсын. Онда

 

3-формуланың дәлелдеуін келтірелік.

 

Мысал: Берілген функциялардың туындыларын тап

а) . 2-формуладан .

б)

. .2-формуладан .

в) .  .  2-формуладан

.

г) .

.

д) .

  .

е)

 

Кері функцияның туындысы.

Егер  функциясы үшін  нүктесінде туындысы бар және ол нөлден өзгеше болатындай кері функциясы табылса, онда

.

 айқын емес функциясын  дифференциалдау

Берілген функцияның туындысын  табу үшін -тің айнымалысына тәуелді функция екенін ескере отырып, теңдіктің екі жағын да дифференциалдаймыз.

Мысал:   функциясының туындысын тап.

Параметрлік түрде берілген функцияның туындысы

  айнымалысына тәуелді  функциясы параметрлік түрде берілсін

.

 функциясының кері функциясы бар болып, және функциялары дифференциалданатын функциялар, сонымен қатар, болсын. Онда

Мысал:   тап.

Гиперболалық функциялар  және олардың туындылары

Гиперболалық анықталу облысы D=R, мәндерінің облысы E=R (сурет 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сурет 1.

Гиперболалық  косинус 

 анықталу облысы D=R, мәндерінің  облысы  (сурет 2).

 

 

 

х

 

 

 

 

 

Сурет  2.

                                                                                                           

Гиперболалық  тангенс  анықталу облысы D=R, мәндерінің облысы  E=(-1,1) (сурет 3).

 

                                                                                 Y

 

х

                                                                    

 

 

 

 

 

 

 

Сурет 3.

 

Гиперболалық котангенс  анықталу облысы мәндерінің облысы  (сурет 4).

                           

  

                                 

                                                            

                                                                                                                                     

                   -                             

 

      

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сурет 4

 

Осы функцияларды байланыстыратын  формулалар тригонометриялық функциялардың  арасындағы байланыс формулаларына  ұқсас:

Туындыны есептеу ережелерін қолданып, гиперболалық функциялардың туындыларын  есептелік:

.

Келесі тепе-теңдікті өз беттеріңмен  тексеріңдер:

.

 

1.3. Дифференциалданатын функциялар туралы теоремалар

 

Анықтама. функциясы х=с нүктесінде   локальді максимумге ( минимумге) жетеді деп айтамыз, егер аймағы табылып, төмендегі теңдік орындалса:

Локальді максимум (max)  және минимум (min)  функцияның экстремумдары деп аталады.

Теорема. (Ферма). Егер болып және  нүктесінде экстремумы бар болса, онда

                                                                    (1)

Дәлелдеуі.

                                                         (2)

c нүктесі максимум нүктесі болсын. Онда ең кіші  үшін . (2)-ден үшін , ал  үшін . Бұдан,  .

Ферма теоремасының геометриялық мағынасы: функциясының экстремум нүктесінде жүргізілген жанама    осіне параллель.                                                           

Сурет 5.

 

Бұл    нүктесінде экстремум болуының  қажетті шарты, бірақ жеткілікті шарты емес. нүктесі функциясының экстремумы болмайды, теңдігі орындалса да. Сонымен қатар, экстремум туындысы табылмайтын нүкте болуы да мүмкін, функциясында ()  х=0  нүктесі бұрыштық нүкте,  болса да.

Анықтама. Функцияның туындысы нөлге тең немесе үзіліс нүктелері болатын нүктелер кризистік (стационар) нүктелер деп аталады.

Теорема. (Ролль). Егер функциясы  сегментінде үзіліссіз және ең болмағанда  интервалында ақырлы туындылы болып, теңдігі орындалса, онда  орындалатындай .

Дәлелдеуі. функциясы  сегментінде үзіліссіз болғандықтан,  функциясы осы аралықта өзінің ең кіші мәні  m  мен ең үлкен мәні  М –ді қабылдайды. Онда, егер m=M , аралығында . болсын және . Онда х₁ және х₂ нүктелерінің біреуі интервалының шеткі нүктелеріне тең емес. Ол нүкте нүктесі болсын. Ендеше, c нүктесі экстремум нүктесі болғандықтан,  (сурет 6).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сурет 6.

 

Теорема (Коши).  Егер аралығында  және болса, онда  

Келесі  теорема  3 теореманың салдары  сияқты қарастырылады.

Теорема  (Лагранж  теоремасы)

Егер , онда  теңдігі орындалатындай  (сурет 7).

 

 

 

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

Салдар . Егер , [a;b] аралығында.

Салдар. Егер , [a;b]  аралығында, мұндағы С – const.

 

    түріндегі анықталмағандықтарды ашу.  Лопиталь ережесі

Бұл ереже  түріндегі дифференциалданатын функцияның шектерін туынды көмегімен есептеуге мүмкіндік береді.

Мысал:

(8)-ші формуланың сол жағынның  шегі табылуы мүмкін, ал оң жағының шегі – табылмайды. 

Мысал:

- шегі табылмайды.

Мысал:   шегін есепте.

Берілген бөлшектің алымы мен  бөлімі үзіліссіз, дифференциалданатын  және нөлге ұмтылатын функция.  Яғни,  Лопиталь ережесін екі рет қолдана аламыз:

= = = = .

 

 анықталмағандықтарын ашу

  болсын.  Онда  

а) . Бұл жағдайда .

Мысал:.  .

б) . Онда .

Мысал:  .

.

в) анықталмағандықтары өрнегінен шығады  және  теңдіктің екі жағын да  логарифмдеу арқылы анықталмағандық түріне келтіреміз.

Мысал:

Немесе

 

1.4. Туынды және жоғарғы ретті  дифференциалдар

 

 болсын. Егер  болса, онда   функциясының екінші туындысы деп аталады және былай белгіленеді: . Яғни,

  немесе 

Анықтама. функциясының -ші ретті туындысы деп ( )-ші ретті туындыдан алынған туындыны айтамыз, яғни,

Мысал:

 болсын. Онда   функциясының екінші ретті дифференциалы деп аталады. Бұдан

.

  

Анықтама. функциясының  -ші ретті дифференциалы деп ( )-ші ретті дифференциалды тағы бір рет дифференциалдауды айтамыз және

                                                          (6)

(6)-дан

                                                                (7)

шығады. (6)  және (7)  теңдіктер    айнымалысы тәуелсіз айнымалы болған жағдайда ғана ақиқат.

 болсын. Онда  .

,

яғни,  дифференциалдың  формасының  инварианттылығы сақталмайды.

Екі функцияның көбейтіндісінің жоғарғы  ретті туындысын қарастыралық.

және функциялары – рет дифференциалданатын функциялар болсын, онда Лейбниц формуласы орынды:

;      .

Дәлелдеусіз.

Мысал 7. Лейбниц формуласын қолданып есепте.

.

 және екенін көреміз, сондықтан орынды, үшін және келесі қосылғыштар да нөлге тең болады, ендеше

.

 

1.5. Бір айнымалы функцияның туындысы

 

Туынды

 маңайында,  нүктесін қоса алғанда,   функциясы берілсін. нүктесінде аргументіне өсімшесін береміз (оң немесе теріс). Онда .

Анықтама. Егер шегі табылса, онда оны нүктесіндегі функциясының туындысы деп айтамыз, немесе функциясы   нүктесінде дифференциалданады деп айтамыз және былай белгілейміз: яғни,

                                                  (1)

Егер  (1)-де  және  болса, онда (1)-ді    нүктесіндегі  оң жақ туындысы [ сол жақ туындысы] деп атаймыз. Егер және   болса,  онда  .

Анықтама.   функциясын    кесіндісінде дифференциалданады деп айтамыз, егер  оның   аралығындағы әрбір нүктеде туындысы бар болса,  ал және ұштарында сәйкесінше және табылса.