Бірінші ретті дербес туынды

 облысында  дифференциалданатын функциялардың класын деп белгілейміз.

Туындының механикалық және геометриялық мағынасы

а) Механикалық. - нүктесінің қозғалу заңы болсын. нүктесінің -дан -ға дейінгі аралығындағы қозғалысын қарастыралық. Онда ал - орташа жылдамдық . Егер

шегі табылса, онда жолдың уақыт  бойынша туындысы   нүктесінің    уақыт аралығындағы қозғалысының жылдамдығына тең.

 

б) Геометриялық. қисығында және нүктелерін қарастыралық. және екендігі анық. нүктесін қисықтың бойымен нүктесіне қарай жылжытамыз. нүктесінің орналасу аралығын белгілей отырып,    қимасын аламыз. Онда болған жағдайда болатыны анық.

 

Анықтама.  нүктесі қисықтың бойымен   нүктесіне   кез келген жағынан шексіз жақындағанда қимасының    шектелген орны  табылса, онда қисығына нүктесінде жүргізілген жанама  деп аталады.

Егер қисықтың жанамасы бар болса, онда

.

Бұдан,   нүктесінде дифференциалданатын функцияның осы нүктеде бұрыштық коэффиценті  болатын жанамасы бар болады.

Мысал 1.  функциясының  нүктесіндегі жанамасының теңдеуін жаз.

а) . болғандықтан,  жанаманың теңдеуі .  -ті табалық:   

б) .  болғандықтан, және жанаманың теңдеуі . в)

б)               о х

в)                 х о

 

Оң жақ жанамасы  болады, яғни , ал сол жағынан жанамасы ,  яғни . Бұдан, х= нүктесінде берілген функцияның туындысы табылмайды, бұл функция х= нүктесінде  үзіліссіз болғанның өзінде.

   болатын нүктелер  бұрыштық  деп аталады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.  Дифференциалдық  теңдеулер

 

2.1. Толық  дифференциалды теңдеулер

Анықтама.

                                                  (1)

түріндегі дифференциалдық  теңдеу толық  дифференциалды  теңдеу  деп  аталады, егер толық  дифференциалы  қандай да  бір  облыста  теңдеудің  сол  жағындағы өрнекке  тең  болатын  функциясы табылса.

Сонымен,

                                      (2)

Теорема. үзіліссіз және  дифференциалданатын  функция  және пен қандай да  бір облыста үзіліссіз болсын. (1) теңдеуі  толық  дифференциалды  теңдеу  болуы  үшін:

                                                                   (3)

шарты  орындалуы  қажетті  және  жеткілікті. Және жалпы  интеграл мына  түрде  жазылады:

,                                             (4)

немесе:

                                                (5)

мұндағы .

Мысал: теңдеуін шеш.

Шешуі: 

және    болғандықтан, бұл толық дифференциалды теңдеу.   болсын. Онда

-жалпы интеграл.

Мысал:   теңдеудің жалпы интегралын  тап.

►   белгілеуін  енгіземіз.  , яғни, (3)   шарты орындалады, берілген  теңдеу  толық дифференциалды  теңдеу. Оның жалпы интегралын  (4) немесе (5) түрінде іздейміз, қарапайымдылық  үшін деп  аламыз. , -дің бұл мәндерін  таңдап  алуымыз дұрыс, себебі     функциялары мен оның дербес  туындылары осы нүктеде анықталған,  яғни,    (4) формуласынан:

ал  (5)  формуласынан:

                                  

шығады, бұл  (4)  формуласынан  табылған  жалпы интегралмен беттеседі.

 

2.2. Туындысы бойынша шешілмеген дифференциалдық теңдеулер

 

        (1)

Егер (1) теңдеуі ізделінді функция  у-тің туындысына байланысты шешілмесе, яғни нормаль формаға келтірілмесе, онда туындысы бойынша шешілмеген теңдеулер  типіне жатады дейді.

Қандай да бір (а,в) аралығында анықталған үзіліссіз  функциясы (1) теңдеуін тепе-теңдікке айналдырса, онда бұл функция (1) теңдеуінің шешімі болады. Кейбір жағдайларда дифференциалдық теңдеулердің шешімі , параметрлік түрінде немесе айқындалмаған функция түрінде беріледі.

Мысал:   теңдеуінің шешімі нақты сандар өрісінде жоқ.

Мысал:

немесе 

             

Кейбір туындысы бойынша шешілмеген теңдеулерді ізделінді функцияның туындысына байланысты шешілсе шешіп, алынған бір немесе бірнеше теңдеулерді түріне қарай ажыратып шешімін табамыз.

Кейбір туындысы бойынша шешілмеген теңдеулер ізделінді функция  у бойынша және тәуелсіз айнымалы х бойынша шешілсе, онда деп параметр енгізу әдісін пайдаланып, алынған алгебралық теңдеудің екі жағын толық дифференциалдап ауыстыруын қайтадан жасап, дифференциалдық теңдеудің шешімін параметр мен айқындалмаған функция түрінде беруге болады.

               (2)

                (3)

(2) 

   (*)

           (4)

Алынған (4) теңдеуі х және р-ға байланысты бірінші ретті теңдеу түріне қарай  ажыратып, түрінде шешімін алсақ, ондағы р-ның мәнін (*)-ға қоямыз. Сонда (*) шешімін аламыз.

 

2.3. Бірінші ретті дербес дифференциалдық теңдеулер

 

Анықтама.

Ізделінді функцияны, оның туындылары мен дифференциалдарын және аргументтерін  байланыстыратын теңдеуді дифференциалдық  теңдеу деп айтамыз.

Теңдеуге кіретін туындының  не дифференциалдың ең жоғарғы ретін  дифференциалдық теңдеудің реті деп атаймыз.

Дифференциалдық теңдеудің шешімі деп кез келген функцияны айтамыз, егер оның өзін, туындысын және дифференциалын теңдеуге қойғанда тепе-теңдік шығатын болса. 

Тек қана бір айнымалыға (бірнеше  айнымалыға) тәуелді дифференциалдық  теңдеуді қарапайым ( дербес туындылы) дифференциалдық теңдеулер деп  айтамыз.

Мысал:

а) -  екінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеу;

б) - үшінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу;

в) - бірінші ретті қарапайым дифференциалдық теңдеу.

Ескерту. Ары қарай дифференциалдық теңдеу дегенді қарапайым дифференциалдық теңдеу деп түсінеміз.

Мысал: Теңдеудің  жалпы шешімін  тап

а)  

                                                                      (1)

(1)  шешімі кез келген   С   тұрақтысына  байланысты, яғни,  С-ның әртүрлі мәнінде әртүрлі  шешім аламыз. Енді  С тұрақтысын анықтау үшін қосымша бір  шарт (бастапқы шарт) берелік:

Онда осы бастапқы шартты  (1)-ге қойсақ:  - дербес шешім.

б) 

  - жалпы шешім.                                                           (2)

Екінші ретті  (2) теңдеуі  екі  тұрақтыға байланысты  С₁ және С₂ , оларды анықтау үшін екі шарт (бастапқы) қажет: . Бұдан:

- дербес шешім.

Геометриялық  тұрғыдан,  (1) және (2)  шешімдері – параболалар жиынтығы. Бастапқы шарт берілді деген: осы параболалар жиынтығынан мына шарттарды қанағаттандыратын параболаны тап деген сөз:

а) нүктесі арқылы өтетін;   б) нүктесі арқылы өтетін және  нүктесінде жүргізілген жанамасының бұрыштық коэффиценті   болатын.

  2. Коши  теоремасы.  Жалпы және дербес шешім

ші ретті айқын дифференциалдық  теңдеу мына түрде жазылады:                  

,                                                          (3)

ал айқын емес ші ретті  дифференциалдық теңдеу:      .

Коши есебі. (3) дифференциалдық теңдеуінің, болғанда  

, , … ,                         (4)

бастапқы шартын қанағаттандыратын  шешімдерін тап.

Коши  теоремасы.  Егер қандай да бір тұйық облыста функциясы барлық аргументі бойынша үзіліссіз болып және осы облыста оның дербес туындылары   табылса, онда (3) дифференциалдық теңдеуінің  (4) бастапқы шартын қанағаттандыратын жалғыз шешімі болады,  мұндағы   нүктесі - осы облысқа тиісті нүкте.

Анықтама.  Кез келген дифференциалданатын функция

,                                                                    (5)

мұндағы - кез келген тұрақтылар, (3)  дифференциалдық теңдеуінің жалпы шешімі деп аталады, егер:

а) ол     -дің кез келген  тұрақты мәндерінде (3)  дифференциалдық теңдеуінің шешімі болса,

б) Коши теоремасының шартын қанағаттандыратын  осы облыстың кез келген бастапқы шарты   үшін,  

                                                     (6)

шешімі  бастапқы шартты қанағаттандыратындай   тұрақтылары табылатын болса.

Дифференциал теңдеудің берілген облысындағы әрбір нүктесі үшін жалғыздық шарты орындалатын болса, онда  (6)  түріндегі шешім дербес шешім деп аталады. 

Геометриялық тұрғыдан, (5) – қисықтар жиынтығы (интегралдық қисықтар). Коши теоремасының шарты орындалды дегеніміз -  облысқа тиісті кез келген   нүктесінен  (4)  шартын қанағаттандыратын  тек бір ғана қисық өтеді деген сөз.

(3)   теңдеуінің  айқын емес  түрде берілген  жалпы (дербес)  шешімі: 

 сәйкесінше  дифференциалдық теңдеудің  жалпы (дербес)  интегралы деп аталады. (3)   теңдеуінің   жалпы және дербес шешімінен басқа ерекше шешімдері болады.

Анықтама. -ді ( ) қандай етіп таңдап алсақ та, жалпы шешімнен шықпайтын және шешімнің жалғыздық шарты бұзылатын нүктелерде орналасқан (облыстың шекарасында) шешімдерді ерекше шешімдер деп атаймыз.

Мысал 3.  Мынадай теңдеуді қарастыралық:

                                                    (7)

Шешуі. Орнына қою арқылы  (7)  теңдеуінің жалпы интегралы:

                                                         (8)

болатынына көз жеткізуге болады.

,

болғандықтан, түзулерінде  - шектелмеген, яғни, Коши теоремасының шарты бұзылып тұр.     (7)-теңдеуінің шешімі болмайтыны анық, ал  түзулері  (7)  теңдеуінің шешімдері және бұл шешімдер жалпы шешім (8)-дегі    қалай таңдалса да онымен беттеспейді, С=±∞ болса да. Геометриялық  тұрғыдан, бұл -  түзулерінің кез келген нүктесі арқылы екі интегралдық қисық өтеді деген сөз. Мысалы, нүктесі арқылы  және қисықтары өтеді. Сонымен, - ерекше шешім.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Қорытынды

 

Егер  функциясы нүктесінде дифференциалданатын болса, онда бұл функция осы нүктеде үзіліссіз.

Шынымен де, мұндағы , егер .

Бұдан,

 егер  .

2. Күрделі функциялардың туындылары . Егер функциясы нүктесінде дифференциалданатын, ал функциясы нүктесінде дифференциалданатын болсын, онда  күрделі функциясы нүктесінде  дифференциалданады және

,  немесе 

3. Дифференциалдау ережелері. және табылсын, ал - const. Онда

а) .     Шынында да, .

б) .

в) .

г) .   

 функциясы  х=с нүктесінде   локальді максимумге ( минимумге)  жетеді деп айтамыз, егер  аймағы табылып, төмендегі теңдік орындалса:

.Локальді максимум (max)  және минимум (min)  функцияның экстремумдары деп аталады.

Теорема . (Ферма). Егер болып және  нүктесінде экстремумы бар болса, онда

Дәлелдеуі.                                                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пайдаланылған әдебиеттер  тізімі

 

1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа-М., Наука, 1975

2. Ильясов М.Н. Индивиауальные домашние задания.ч.1,2- ПГУ, 2002

3. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике( типовые расчеты)-М, высш.шк,1983.

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике-М; Наука,1987.-С

5. Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления- Т.1,2-М., Наука,1978

6. Сборник индивиауальных задании по высшей математике (в 3-х частях). Под ред А.П.Рябушка- Минск, Высш.шк, 1991.-С

7. Шипачев В.С. Основы высшей математики-М, Выс.шк,1989

8. Боровский Ю.В.,Хасеинов К.А.,Шафиева Д.Р  Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка.-Методические указания КазПТИ,Алма-Ата,1987.

 

Есептер жинағы

1. Миронский В.П Сборник задач по высшей математике.-М.:Наука,1964.

2. Мостеллер Ф.,Рукре Р.,Томас Д Вероятность.-М.:Мир,1969.

3. Смирнов М,М. Задачи по уравнениям математической физики.-М.:Наука,1968.

4. Берман Г.Н. Сборник  задач по курсу математического анализа.-М.:Наука,1985.