Численный анализ и математическое моделирование

                                                        Введение.

 

 

 

 

Курсовая работа по теме «Численный анализ и математическое моделирование» направлена на исследование математических методов в операциях с матрицами, аналитическое решение задачи в различных программных средах.

Целью нашей работы является исследование раличных математических методов в операциях с матрицами.

В настоящее время появилось значительное число различных программных продуктов (Scilab, MathLAB и т.д.), с помощью которых, задавая только входные данные, можно решить значительное число задач.

Для более глубокого анализа численных методов очень удобно использовать средства Scilab, а также алгоритмические языки программирования.

Аналитическое решение задачи позволяет разработать четкий алгоритм решения целого класса задач . 
 Рассматривая решение исследуемой задачи в различных прикладных программах, добиваемся обоснованных результатов, что позволяет выполнить результативный вычислительный эксперимент. 
 Тема курсовой работы актуальна, так как содержит современные математические методы и различные необходимые компьютерные программы. 
 Целью работы является последовательное изложение метода решения поставленной задачи, её компьютерная реализация в специализированных компьютерных программах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Техническое задание.

 

 

 

1. Постановка задачи

2. Дать описание численных  методов, используемых в операциях  над матрицами и массивами.

3. Выполнить указанные  операции с матрицами в математическом  пакете Scilab.

4. Вычислительный эксперимент.

 

 

 

 

 

1. Постановка задачи.

 

 

     При решении  различных задач по математике  очень часто приходится иметь  дело с таблицами чисел, называемых  матрицами. С помощью матриц удобно  решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с  векторами, решать различные задачи  с компьютерной графики и другие  инженерные задачи.

 

 

 

В курсовой работе отобразить различные  операции  как с массивами, так и с матрицами.

Выполнить следующие операции:

- арифметические действия ( + , - , * , / ) ;

-нахождения определителя  матрицы;

- вычисление ранга матрицы;

-  составление обратной  матрицы;

-выполнить: ( А - В) * 3А;

- решить матричные уравнения   А * Х = В ;

 

2. Дать описание численных методов, используемых в операциях над матрицами и массивами.

 

 

      Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество n столбцов. Числа m и n называются порядками матрицы. В случае, если m = n, матрица называется квадратной, а число m = n – ее порядком.

      В дальнейшем  для записи матрицы будут применяться  либо сдвоенные черточки, либо  круглые скобки:

 

                 или                         

 

 

       Для  краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква  (например, A),  либо символ  || a ij || ,  а иногда с разъяснением:  А = || a ij || =    ( a ij ), где (i = 1, 2, ..., т,  j=1, 2, ..., n).

 

Числа a ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j — номер столбца.  В случае квадратной матрицы

 

       (таблица 1.1)

 

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (таблица 1.1) называется диагональ а11 а12 … ann идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ аn1  а(n-1)2 … a1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

 

 

 

 

Операции с матрицами:

 

1. Сумма(Разность).

Суммой(разностью) матриц любого размера называют: матрица, элементы которой являются суммой(разностью) элементов исходных матриц.

C=A+B

Каждый элемент находится по формуле:

Cij=aij+bij

Пример:

 

Дано:

A=

B=

C=A+B.

 

Решение:

 

C===

 

 

2. Умножение(Деление).

1. Операция умножения(деления) матрицы на произвольное число сводится к умножению(делению) каждого элемента матрицы на это число.

x*A=

 

 

 

 

 

 

2. Произведением матриц называют: матрицу элементы которой могут быть вычислены  по следующим формулам:

A*B=C

Каждый элемент вычисляется по формуле:

cij=ik*bkj

 

 

 

 

 

 

Формула справедлива тогда, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

 

Пример:

 

Дано:

A=

 

 

B=

 

 

C=A*B

 

Решение:

C=

 

c11=(-2)*3+5*(-1)+(-3)*4=-23

c12=(-2)*1+5*2+(-3)*5=-7

c21=4*3+(-1)*(-1)+6*4=37

c22=4*1+(-1)*2+6*5=32

c31=7*3+1*(-1)+2*4=28

c32=7*1+1*2+2*5=19

 

C=

 

 

 

 

Основные характеристики матрицы.

1. Определитель матрицы.

Определитель матрицы составляется из равного числа строк и столбцов.

Пример:

A     ∆A=

 

Определитель матрицы находится:

а) По правилу ∆

 

∆A==1*(-2)*1+0*1*1+2*3*3-1*(-2)*3-1*3*1-2*0*1=19

 

б) Метод разложения по строке

 

∆A==1*+(-2)*+1*=19

 

 

 

 

 

 

2. Ранг матрицы.

Ранг матрицы – порядок определителя составленный из элементов матрицы и отличный от нуля.

Пример:

 

A=

 

ra=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Обратная матрица.

Существует при выполнении двух условий:

1. Необходимое – матрица должна быть квадратной «два на два», «три на три» и т.д.

 

 

2. Дополнительное – определитель должен быть не равен нулю.

 

      

Обратная матрица обозначается надстрочным индексом 

 

 

 

 Обратную матрицу   можно найти по следующей формуле:

, где   – определитель матрицы  ,   – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнения задания: ( А - В) * 3А;

 

Исходные данные:

 

A=     B=

 

 

1. A-B= =

 

 

2. 3A= =

 

 

3. ( А - В) * 3А= * = =

 

C11=7*21+0*(-21)+(-3)*3=138

C12=7*6+0*(-6)+(-3)*3=33 

C13=7*0+0*3+(-3)*3=-9

C21=-8*21+(-2)*(-21)+3*3=-117

C22=-8*6+(-2)*(-6)+3*3=-27

C23=-8*0+(-2)*3+3*3=3

C31=-2*21+0*(-21)+0*3=-42

C32=-2*6+0*(-6)+0*3=-12

C33=-2*0+0*3+0*3=0

 

=

 

( А - В) * 3А =

 

 

3. Аналитическое решение  поставленной задачи.

 

 

Исходные данные:

 

 

A=      B=     X=

 

 

1. Матричное решение X=A-1 *B

 

Определитель матрицы А

 

 

∆A(3)= =7*(-1)1+1 +2*(-1)1+2 +0*(-1)1+3 =

 

=-21+16=-5

 

 

∆A(3)=-5 (≠0) => Имеет обратную матрицу A-1

 

 

       Ранг  матрицы А , rA=3 – это означает, что матрица  А имеет все   

       линейно независимые строки.                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Обратная матрица А(-1)

 

          A(-1)= транспортировка матрицы

 

Каждый элемент есть алгебраическое дополнение.

 

 

A11=+ =-3      A21=- =-2     A31=+ =2

 

 

A12=- =8       A22=+ =7      A32=- =-7

 

 

A13=+ =-5     A23=- =-5     A33=+ =0

 

 

A-1=- * =      

 

X=A-1 *B = *    =

 

      X1=                    X2=

 

     X3=1*7+1*2+0*1=9

 

Ответ: X1= , X2= , X3=9.

 

4. Вычислительный эксперимент с исследуемой задачей.

 

1. Решение задачи в программной среде SciLab.

 

 

                      Сведения о программе Scilab.

 

Scilab-математический пакет, решает математические, инженерные, технические задачи, при этом используются различные математические методы и расчеты.

  Каждая  строка называется  файл сценарий, содержит подпрограмму - поэтому называется командной  строкой(;) – указывается в конце строки, означает результат вычислений не выводится.

Система переменной ans   <ответ> .

Другие переменные записываются символом %.

 

 

 

1. Метод обратной матрицы.

 

Элементы матрицы вводятся в квадратных скобках при этом элементы строки отделяются пробелом или запятой, а строки разделяются между собой (;) элементы массива вводятся через запятую в квадратных скобках.

 

àA=[7 2 0;-7 -2 1; 1 1 1];

 

A=

 

àB=[7;2;1];

 

àX=inv(A)*B

 

  X=

 

     4.6

    -12.6

     9.

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение матричного уравнения : А * Х = В ; в программе Scilab

 

 

 

Рисунок-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Операция с матрицами и массивами

 

Вычисление обратной матрицы

 

àA=[7 2 0;-7 -2 1; 1 1 1];

 

àB=[0 2 3;1 0 -2;3 1 1 ];

 

à(A-B)*(3*A)

 

ans =

 

 

 

 

 

 

Рисунок-2

 

 

 

Поиск max(min) элемента матрицы

 

М=[5 0 3;2 7 1; 0 4 9]

Max(M)

ans=9

 

 

 

 

 

Рисунок-3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

              

       Определитель  матрицы

 

     

M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

 

àdet(M)

ans=17

 

 

 

 

Рисунок-4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ранг матрицы

 

M=[1 0 2;3 2 1;0 3 1];

 

àrank(M)

ans=3

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок-5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  4.2 Решение исследуемой  задачи в среде MS Excel

 

 

1. Некоторые сведения о MS-Excel.

 

MS-Excel – электронная таблица, пакет прикладных программ. Excel содержит подпрограммы с математическим аппаратом.

С помощью электронной таблицы можно проводить расчеты экономических, инженерно-технических, финансовых задач.

Графические средства электронной таблицы позволяют представить данные таблицы в виде диаграмм графиков различного типа.

Электронная таблица – это программа, работающая под управлением ОС Windows и является её приложением. Документ, создаваемый и обрабатываемый приложением Excel, называется книгой.

При запуске Excel открывается новый документ с именем Книга1, рабочий лист разделён на столбцы и строки, с рабочим листом выполняются такие же операции, что и с файлом.

 

 

2. Решение

 

 

Исходные данные:

 

A=

 

B=

 

Выполнить: (A-B)*3A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Вводим данные в ячейки рабочего листа Excel.

 

 

                                     (Рис.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Выполняем действия с матрицами(A-B)*3A.

 

 

(Рис.2)

 

 

 

 

Данный ответ соответствует ответу полученному в ходе аналитического решения поставленной задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходные данные.

 

A=

 

B=

 

Решить: A*X=B

 

1. Ввод данных в ячейки рабочего листа MS Excel.

(Риc.3)

2. Для решения матричного уравнения нам понадобиться найти обратную матрицу.

Для этого сначала нам нужно найти транспонированную матрицу.

(Рис.4)

 

Aт – Транспонированная матрица.

 

Теперь находим определитель матрицы A.

(Рис.5)

∆= -5  - определитель матрицы A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Используя транспонированную матрицу A и определитель матрицы A, находим обратную матрицу A-1

(Рис.6)

 

Находим матрицу X по формуле X=A-1*B.

(Рис.7)

 

 

4.3 Анализ полученных результатов.

 В ходе вычислительного эксперимента  исследуемая задачи была решена  в программных средах Scilab и MS Excel.

При проведении вычислительного эксперимента было дано краткое описание программных сред Scilab и MS Excel.

Так же было проведено подробное решение исследуемых задач с описанием действий и сопровождающееся скриншотами..

Результаты решений поставленных задач в программных средах Scilab и MS Excel совпадают. Это означает, что задачи были решены правильно.