Действия над матрицами

Промежуточные задания для курса

«Математические методы исследования операций в экономике»

Действия над матрицами

1. Вычислите:

а) · ;

Решение

б)  ·

Решение

2. Вычислите АВ  и  ВА:

а)  А = ,   В =

Решение

б)  А =

Решение

в)  А =      В =

Решение

3. Вычислить  АВ – ВА, если:

А ,       В = .

Решение

4. Найти  обратную матрицу для матрицы  А и сделать проверку, если:

Решение

Найдем определитель матрицы А

Определитель отличен  от нуля, значит обратная матрица существует.

Найдем алгебраические дополнения.

       

Составим матрицу из алгебраических дополнений и транспонируем ее

обратная матрица будет  иметь вид

Выполним проверку

расчеты выполнены верно

 

Вычисление определителей

5. Вычислить  определители:

а) второго порядка ;

Решение

б) третьего порядка двумя  способами:

1) правилом треугольников, 

2) разложением по элементам  любой строки (столбца),

.

Решение

а)

б)

Решение систем алгебраических уравнений

6. Решить  систему алгебраических уравнений  тремя методами (методом Крамера,  методом обратной матрицы и  методом Жордана-Гаусса):

Решение

Вычислим главный определитель системы

Определитель отличен  от нуля, значит  решение существует и оно единственное.

Заменим  1 столбец столбцом свободных членов

Заменим  2 столбец столбцом свободных членов

Заменим  3 столбец столбцом свободных членов

ответ

Найдем методом  обратной матрицы. Для этого нужно  вычислить определитель, что было сделано выше. Далее найдем алгебраические дополнения

     

Составим матрицу  из алгебраических дополнений и транспонируем  ее

тогда обратная матрица  имеет вид

Решение системы  тогда 

ответ

Найдем  решение системы методом Жордана-Гаусса. Выпишем расширенную матрицу  системы.

Умножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой, результат запишем на место  второй строки. Первую  и третью строки просто перепишем

Разделим  все элементы второй строки на (-4)

Умножим вторую строку на (-1) и сложим с третьей  строкой, результат запишем на место  третьей строки. Первую и вторую строки перепишем.

Разделим  все элементы третьей  строки на (2,25)

Умножим третью строку на 0,25 и сложим со второй строкой, результат запишем на место  второй строки. Первую и третью строки перепишем.

Умножим вторую строку на (-2) и сложим с первой строкой, результат запишем на место  первой строки. Третью и вторую строки перепишем.

ответ

 

Векторное пространство

7. Найти линейную комбинацию 2а₁ - 3а₂ + а₃ следующих векторов:

а₁=(1; 0; 3; -2),

а₂ =(-1; 1; 4; 3),

а₃ =(-5; 3; 5; 3).

Решение

8. Даны четыре вектора а =(4; 5; 2), b =(3; 0; 1), c =(-1; 4; 2), d =(5; 7; 8) в некотором базисе. Показать, что векторы a, b, c образуют базис, и найти координаты вектора d в этом базисе.

Решение

Составим  определитель из векторов a,b,c

Определитель, составленный из векторов отличен от нуля, значит все вектора  линейно  независимы, т.е. образуют базис.

Найдем  координаты вектора d в полученном базисе. Составим систему уравнений.

Найдем  решение методом Жордана-Гаусса

Выпишем расширенную матрицу системы

Разделим все  элементы первой строки на 4

Умножим первую строку на (-5) и сложим со второй и результат  запишем на место второй строки

Умножим первую строку на (-2) и сложим со третьей и результат  запишем на место  третьей строки

Разделим все  элементы  второй строки на -3,75

Умножим вторую  строку на 0,5  и сложим с третьей  и результат запишем на место  третьей  строки

Разделим все  элементы  третьей  строки на -1,8

Умножим  третью строку на 1,4  и сложим со второй   и результат запишем на место  второй   строки

Умножим вторую  строку на -0,75  и сложим с первой   и результат запишем на место  первой   строки

Координаты  вектора d в базисе a,b, c {-1,4,3}

 

Задачи линейного программирования

9. Симплекс-метод. Компания производит полки для ванных комнат двух размеров – А и В. Агенты по продаже считают, что в неделю на рынке может быть реализовано до 550 полок. Для каждой полки типа А требуется 2 м² материала, а для полки типа В – 3 м² материала. Компания может получить до 1200 м² материала в неделю. Для изготовления одной полки типа А требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки типа В – 30 мин; машину можно использовать 160 час в неделю. Если прибыль от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В – 4 денежных единицы, то сколько полок каждого типа следует выпускать в неделю, чтобы получить максимальную прибыль?

Решение:

Пусть   кол-во полок размера А

  кол-во полок размера В

Если прибыль  от продажи полок типа А составляет 3 денежных единицы, а от полок типа В – 4 денежных единицы, то суммарная  прибыль от реализации составит

Получили целевую  функцию, которую требуется максимизировать.

Перейдем к  ограничениям.

Поскольку для  каждой полки типа А требуется 2 м² материала, а для полки типа В – 3 м² материала и при этом компания может получить до 1200 м² материала в неделю, значит

Если для  изготовления одной полки типа А  требуется 12 мин машинного времени, а для изготовления одной полки  типа В – 30 мин; при этом машину можно  использовать 160 час в неделю

Известно, что  в неделю на рынке может быть реализовано  до 550 полок

Из экономического смысла задачи ясно, что переменные не могут принимать отрицательные  значения, тогда

Составим математическую постановку задачи

Решим задачу симплекс-методом. Приведем к каноническому виду, введя  дополнительные переменные

 

Составим первую симплекс таблицу

 

Базисные переменные	Свободные члены
	1200	2	3	1	0	0		400
	9600	12	30	0	1	0		320
	550	1	1	0	0	1		550
F		-3	-4

 

Так как в  столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение. Так как в  строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-4). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 
Пересчитаем таблицу

Базисные переменные	Свободные члены
	240	0,8	0	1	-0,1	0		300
	320	0,4	1	0		0		800
	230	0,6	0	0	-	1		383,3
F	1280	-1,4	0	0		0

Так как в  столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение. Так как в  строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца  найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-1,4). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 
Пересчитаем таблицу

Базисные переменные	Свободные члены
	300	1	0	1,25	-0,125	0	0	-2400
	200	0	1	-0,5		0	0	2400
	50	0	0	-0,75		1	0	1200
F	1700	0	0	1,75	-0,041666667	0	0

 

Так как в  столбце свободных членов нет  отрицательных элементов, то найдено  допустимое решение. Так как в  строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца  найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-0,0416). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца. 
Пересчитаем таблицу

 

Базисные переменные	Свободные члены
	450	1	0	-1	0	3	0
	100	0	1	1	0	-2	0
	1200	0	0	-18	1	24	0
F	1750	0	0	1	0	1	0

 

Найдено оптимальное решение.

Нужно производить 450 полок типа А и  и 100 полок  типа В. Прибыль при этом составит

1750 ден. ед.

 

 

10. Задача коммивояжера. Коммивояжер должен объездить 6 городов. Для того чтобы сократить расходы, он хочет построить такой маршрут, чтобы объездить все города точно по одному разу и вернуться в исходный с минимумом затрат. Исходный город A. Затраты на перемещение между городами заданы следующей матрицей:

	A	B	C	D	E	F
A	∞	26	42	15	29	25
B	7	∞	16	1	30	25
C	20	13	∞	35	5	0
D	21	16	25	∞	18	18
E	12	46	27	48	∞	5
F	23	5	5	9	5	∞