Диференціювання функції

ЗМІСТ

 

ВСТУП    ..............................................................................................................................5

АНОТАЦІЯ………………………………………………………………………………..4

1 АНАЛІЗ ТЕОРЕТИЧНОЇ БАЗИ ЧИСЕЛЬНОГО ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ

ФУНКЦІЇ ……………………………………………………………………………….....6

2 РОЗРОБКА АЛГОРИТМІВ ТА ВИБІР  ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМУ............11

3 ПРИКЛАД ПРОГРАМИ ОБЧИСЛЕННЯ  ДРУГОЇ ПОХІДНОЇ функції за

допомогою ДРУГОю інтерполяційною формулою НЬЮТОНА.........15

3.1 Інструкція користувача  ...................................................................................15

3.2 Лістинг програми.............................................................................................. 16

3.3 Опис програми………………………………………………………………...17

3.4 Тестування програми  ......................................................................................18

ВИСНОВКИ   ....................................................................................................................20

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АНОТАЦІЯ

 

Об’єктом досліджень є друга інтерполяційна формула Ньютона для знаходження першої похідної функції. Розроблено ефективний алгоритм та програму мовою програмування Турбо Паскаль 7,0 обчислення другої похідної функції за допомогою другої інтерполяційної формули Ньютона. Алгоритм, що розроблений, є оптимальним за розміром пам’яті, необхідної для збереження даних, котрі обчислюються в ході виконання алгоритму та за кількістю арифметичних операцій для обчислення за основною формулою.

 

ВСТУП

Актуальність теми. Обчислення другої похідної таблично заданої функції має важливе значення при вирішенні як наукових, так і практичних задач. Проте звичайними методами це зробити досить важко особливо тоді, коли є багато табличних значень. Для обчислення значення функції в обчислювальній математиці користуються різними методами. Кожен з яких має свої переваги і недоліки, що полягають в кількості обчислень та похибці обчислення.   На відміну від інших методів друга інтерполяційна формула Ньютона успішно використовується для обчислення значень в кінці таблиці.

 

Мета дослідження.  Метою роботи є дослідження можливості використання другої інтерполяційної формули Ньютона для чисельного диференціювання функції

 

Задачі дослідження.

-   Проаналізувати існуючі методи для обчислення другої похідної таблично заданої функції та обгрунтувати переваги другої інтерполяційної формули Ньютона по відношенню до існуючих.

• Розробити алгоритми обчислення другої похідної функції за допомогою другої інтерполяційної формули Ньютона та вибрати оптимальний із них.
• Розробити програму обчислення другої похідної функції за допомогою першої інтерполяційної формули Ньютона, та здійснити її тестування.

Об’єкт дослідження. Друга інтерполяційна формула Ньютона.

 

Структура курсової роботи. Курсова складається з трьох основних розділів. В першому розділі наведено аналіз теоретичної бази методів диференціювання, та розв’язок прикладу з використанням другої інтерполяційної формули Ньютона. В другому розділі розроблений алгоритм програми. Третій розділ містить інструкцію користувача, лістинг програми, опис програми, тестування програми.

 

1 АНАЛІЗ ТЕОРЕТИЧНОЇ БАЗИ МЕТОДІВ  ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЇ

 

Нехай дана функція яку необхідно продиференціювати кілька разів і знайти цю похідну в деякій точці.

В подальшому нам потрібна наступна лема

Лема 1. Нехай  - будь-які точки, і=1, 2, 3, ..., n. Тоді існує така точка , що

Ця лема витіка є з очевидних  нерівностей

 

 

і теореми  про проміжні значення неперервної функції[1].

 

Нехай для функції  у= f(x) дані значення у_i= f(x_i) для значень незалежної зміни: х_і=х_о+іh (і=0,1,2,...,n), де h — крок інтерполяції. Потрібно  підібрати поліном Р(х) степеня не вище n, приймаючий в точках х_і значення     

 

                                       ( =0,1,..., ),                                          (1)

 

Умова (1) еквівалентна тому, що

 

∆^mР _n(х_о)=∆^mу_о,

 

при m=0,1,2,...,n.

Наслідуючи Ньютона, будемо шукати поліном у вигляді

 

          (2)

 

Користуючись узагальненою степеню, вираз (1) запишемо так:

 

 (2^/)

 

Метою є визначення коефіцієнтів ( =0,1,2,..., ) полінома 

 

 

,

 

Щоб найти  коефіцієнт , складемо першу скінчену різницю

 

∆ ,

 

Вважаючи, що в останньому рівнянні = , отримаємо:

 

∆ ∆ ,

 

звідки

 

 

Для визначення коефіцієнта  складемо скінчену різницю другого порядку

 

Ввівши  , отримаємо:

 

,

 

звідки

 

 

Послідовно продовжуючи  цей процес, ми виявимо, що

 

                 

 

де 

    і     

 

Підставляючи знайдені значення коефіцієнтів в рівняння (2^/), отримаємо інтерполяційний поліном Ньютона

 

    (3)

 

Легко бачити, що поліном (3) повністю задовольняє вимоги поставленої задачі. Дійсно, по-перше, степінь полінома не вище , по-друге,

 

,

і

            

 

Зауважимо, що при формула (3) перетворюється в поліном Тейлора для

функції .

Справді,

 

 

Крім того, очевидно,

 

 

Звідси при  формула (3) приймає вид полінома Тейлора:

 

 

Для практичного використання інтерполяційну формулу Ньютона (3) записують в іншому вигляді. Для  цього введемо нову зміну  , яка знаходиться за формулою:

 

,

 

отже

 

 

Підставляючи ці вирази в формулу (3), отримаємо:

 

    ,                 (4)

 

де  являє собою число кроків, необхідних для досягнення точки , виходячи з точки . Це і є кінцевий вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона[2].

Приведені нижче формули чисельного диференціювання застосовують в  тих випадках, коли функція  задана таблицею своїх значень в вузлах . Вибравши будь-яку кількість вузлів, замінимо функцію інтерполяційним многочленом Тоді похідна від цього многочлена застосовується для наближеного подання похідної 

 

,

 

Наближені формули для  обчислення другої похідної утворюються  шляхом двократного диференціювання інтерполяційних многочленів. В початку і в кінці таблиці користуються формулами, які утворюються з інтерполяційних многочленів Ньютона:

 

                         (5)

          (6)

 

Ці формули менш зручні для  підрахунків і мають меншу  точність, ніж двічі продиференційований  інтерполяційний многочлен Стiрлінга (при )[3]

 

            (7)

Розглянемо обчислення другої похідної за допомогою другої інтерполяційної формули Ньютона на прикладі. Обчислення якого подано в табл 1.

Знайти другу похідну  функції  в точці x=7, на проміжку [1;7] з кроком  h=1.

X	Y
1 2 3 4 5 6 7	0,57735 0,16666 0,07647 0,04419 0,02800 0,01950 0,01435	-0,41069 -0,09019 -0,03228 -0,01619 -0,0085 -0,00515	0,3205 0,05791 0,01609 0,00769 0,00335	-0,26259 -0,04182 -0,0084 -0,00434	0,22077 0,03342 0,00406	-0,18735 -0,02936	0,15799
		-0,563	0,40554	-0,31715	0,25825	-0,21671	0,15799
S	-0,563	0,40554	-0,31715	0,25825	-0,21671	0,15799

Таблиця 1

 

 

 

 

2  РОЗРОБКА АЛГОРИТМІВ ТА ВИБІР ОПТИМАЛЬНОГО АЛГОРИТМУ

 

При розробці алгоритму обчислення другої похідної за допомогою другої інтерполяційної  формулою Ньютона  будемо використовувати формулу (2), яка описана в теоретичних відомостях.

Аналіз формули та прикладу, наведеного в першому розділі показує, що для обчислення першої похідної для тадблиці з 6 елементів необхідно обчислити 15 значення таблиці різниць, а також похідної. Безпосереднє обчислення за формулою вимагає 4 операцій додавання (віднімання), 3 - операцій ділення та  3 - операцій множення. З врахуванням того, що час виконання операції множення та ділення відповідно в 1,14 та 2,33 рази більший за час виконання операції додавання (віднімання) при використанні математичного співпроцесора, загальна кількість операцій обчислення складає

 

.

 

Алгоритм можна побудувати таким  чином,  щоб спочатку обчислити  елементи таблиці різниць, після  чого виконати обчислення за основною формулою.  В цьому випадку необхідно виконати 19 проходжень циклу та затратити 16 комірок пам’яті (рис. 2.1).

Інший спосіб побудови алгоритму  полягає в тому, щоб обчислення перших різниць виконати разом з  введенням інформації, а потім  обчислити інші елементи таблиці  різниць, після чого виконати обчислення за основною формулою. В цьому випадку необхідно виконати 19 проходжень циклу, 6 перевірок за умовою та затратити 16 комірок пам’яті (рис. 2.2).

Отриманий алгоритм легко  застосувати для обчислення другої похідної за допомогою другої інтерполяційної формули Ньютона, для цього під час обчислення полінома нам необхідно внести зміни до формули полінома, для того щоб використовувати інші значення таблиці різниць.

Комплексний коефіцієнт ефективності К_е одного алгоритму в порівнянні з іншим  можна обчислити за формулою

 

 

 де К_ч – коефіцієнт ефективності за часом виконання;

К_n – коефіцієнт ефективності за затратами пам’яті алгоритму.

Оскільки коефіцієнт ефективності за часом виконання алгоритму можна приблизно оцінити за кількістю арифметичних операцій алгоритму, то комплексний  коефіцієнт  ефективності описаних вище алгоритмів

 

.

 

Блок-схеми описаних вище алгоритмів  відповідно на рис. 2.1 та рис. 2.2. В алгоритмах вважається, що  матриця А – масив табличних значень та таблиці різниць, p – перший елемент таблиці значень, n – кількість елементів таблиці значень, h – крок х в таблиці значень, T – порядковий номер точки в якій знаходимо похідну[5].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                   

                                                                                          

                                                

                                                                                              

                                                                                        

 

 

 

 

 

 

 

 
3 ПРИКЛАД ПРОГРАМИ ОБЧИСЛЕННЯ ДРУГОЇ ПОХІДНОЇ ФУНКЦІЇ ЗА ДОПОМОГОЮ ПЕРШОЮ ІНТЕРПОЛЯЦІЙНОЮ ФОРМУЛОЮ НЬЮТОНА