Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике

   По возможности  нужно применять чисто математические  методы исследования модели, так  как это позволяет наиболее  полно использовать мощные аналитические  возможности. К сожалению, во многих  случаях получить решение основных  уравнений аналитическими

методами не удается и необходимо обращаться к численным решениям. Численный анализ полон ловушек, подстерегающих неосторожного исследователя. Однако при соблюдении достаточной осторожности численные решения часто дают значительный объем полезной информации о свойствах модели. По мере усложнения моделей и приближения их к реальным процессам уменьшается возможность получения лаконичных изящных решений в явном виде, и все более возрастает необходимость обращаться к тем или иным формам численных решений. Поэтому в настоящее время исключительно важное значение приобретают быстродействующие вычислительные машины.

9

  В некоторых случаях возникают более серьезные трудности. Может оказаться, что полученные дифференциальные уравнения движения для некоторого сложного биологического процесса (это могут быть дифференциальные уравнения в частных производных высокого порядка) не только неразрешимы аналитически, но и не поддаются решению существующими методами численного анализа.[1][2]

1.2Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

     Уравнения  вида ?1 (x)?1 (y)dx + ?2 (x)?2 (y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными. Оно может быть приведено к уравнению с разделёнными переменными путём деления обоих его частей на ?1(y) ?2 (x).

Алгоритм решения ДУ с разделяющимися переменными:

Производную функции y представить как y’ =

      С помощью  алгебраических операций преобразовать  уравнение так, чтобы члены, содержащие y, находились в левой части  равенства, а члены, содержащие x- в  правой.Проинтегрировать полученное равенство: левая часть по аргументу y, а правая – по аргументу x. Неопределённая постоянная С добавляется в правую часть равенства после вычисления интеграла по x.ешить уравнение относительно y и находим общее решение.Подставляя в общее решение значения x и y из дополнительных условий, находим значение неопределённой постоянной С и вид частного решения.

Глава 2.Линейность или нелинейность дифференциальных уравнений

       Другой  важнейшей характеристикой  дифференциального  уравнения 

10

 

является его линейность или нелинейность. Дифференциальное уравнение называется линейным, если

в него входят неизвестные  только в первой степени, нет членов, содержащих произведения этих неизвестных  на их производные, а также функций  этого неизвестного    (тригонометрических, логарифмических, показательных и др.). В противном случае дифференциальное уравнение является нелинейным. Простейшие линейные дифференциальные уравнения 1-го и 2-го порядков имеют в медицинских исследованиях наибольшее распространение. В некоторых исследованиях относительно сложных процессов, происходящих в организме, уравнение путем вполне допустимых упрощений обычно можно привести к линейному виду и ограничиться порядком не выше второго.  Однородные линейные дифференциальные уравнения характеризуют многие медико-биологические процессы.[2]

2.1.Пример применения дифференциальных уравнений в медицине.

  Применение дифференциальных  уравнений в медицине продемонстрируем  на примере простейшей математической  модели эпидемии. Отметим здесь  же, что приложения дифференциальных  уравнений в биологии и химии  тоже имеют медицинский оттенок, поскольку в медицине важную  роль играет исследование различных  биологических популяций (например, популяции болезнетворных бактерий) и исследование химических реакций  в организме (например, ферментативных). В модели описывается распространение  инфекционного заболевания в  изолированной популяции. Особи  популяции делятся на три класса. Инфицированный класс численностью x(t) (t — время) состоит из инфицированных (заболевших) особей, каждая из этих  особей заразна (предполагается, что  инкубационный период заболевания  пренебрежимо короток). Второй класс  численностью y(t) составляют восприимчивые  особи, т. е. особи, которые могут  заразиться при контакте с  инфицированными особями. И, наконец, третий класс состоит из невосприимчивых особей (приобретших иммунитет или погибших в

11

результате заболевания). Его численность обозначается z(t). Предполагается также, что общая численность популяции n постоянна (т. е. не учитываются рождения, естественные смерти и миграция). Две гипотезы, лежащие в основе модели таковы:

1) заболеваемость в момент  времени t равна x(t)y(t) (эта гипотеза  основывается на правдоподобном  предположении, что число заболевающих  пропорционально числу встреч  между больными и восприимчивыми  особями, которое в свою очередь  в первом приближении пропорционально x(t)y(t)); таким образом численность класса x растет, а численность класса y убывает со скоростью ax(t)y(t) (a > 0);

2) численность становящихся  невосприимчивыми особей (приобретших  иммунитет или погибших) растет  со скоростью, пропорциональной  численности заболевших, т. е. со  скоростью bx(t) (b > 0). В результате мы получаем систему уравнения 

x? = axy – bx,  y? = – axy,  z? = bx. [4][5]

 

2.2.Уравнения старшего порядка

Многие дифференциальные уравнения, с которыми сталкиваются физики, это урав-

нения второго порядка (т.е. уравнения, содержащие вторые производные) Таково,

например, уравнение простого гармонического движения из примера (3), md 2x/dt 2

= –kx. Вообще говоря, можно ожидать, что уравнение второго порядка имеет част-

ные решения, удовлетворяющие двум условиям; например, можно потребовать, что-

бы кривая-решение проходила через данную точку в данном направлении. В случа-

ях, когда дифференциальное уравнение содержит некоторый параметр

12

 

(число, величина которого зависит от обстоятельств), решения требуемого типа существуют

только при определенных значениях этого параметра. Например, рассмотрим урав-

нение md 2x/dt 2 = –kx и потребуем, чтобы y(0) = y(1) = 0. Функция y є 0 заведомо

является решением, но если – целое кратное числа p, т.е. k = m2n2p2, где n –

целое число, а в действительности только в этом случае, существуют другие реше-

ния, а именно: y = sin npx. Значения параметра, при которых уравнение имеет осо-

бые решения, называются характеристическими или собственными значениями; они

играют важную роль во многих задачах.

Уравнение простого гармонического движения служит примером важного класса

уравнений, а именно: линейных дифференциальных уравнений с постоянными ко-

эффициентами. Более общий пример (также второго порядка) – уравнение

где a и b – заданные постоянные, f(x) – заданная функция. Такие уравнения можно

решать различными способами, например, с помощью интегрального преобразова-

ния Лапласа. То же можно сказать и о линейных уравнениях более высоких поряд-

ков с постоянными коэффициентами. Не малую роль играют также и линейные уравнения с переменными коэффициентами.[3]

13

                                           Заключение

Характеризуя математику как метод проникновения в тайны природы, мож-но сказать, что основным путем применения этого метода является формирование и изучение математических моделей реального мира. З Изучая какие-либо физические явления, исследователь прежде всего создает его математическую идеализацию или, другими словами, математическую модель, то есть, пренебрегая второстепенными характеристиками явления, он записывает основные законы, управляющие этим явлением, в математической форме. Очень часто эти законы можно выразить в виде дифференциальных уравнений. Для составления математической модели в виде дифференциальных уравнений нужно, как правило, знать только локальные связи и не нужна информация обо всем физическом явлении в целом. Математическая модель дает возможность изучать явление в целом, предсказать его развитие, делать количественные оценки изменений, происходящих в нем с течением времени. Теория дифференциальных уравнений в настоящее время представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики.

 

 

 

 

 

 

 

14

                                              Список литературы

1) Понтрягин Л.С. Обыкновенные  дифференциальные уравнения. М., 1982

2) Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравне-

ний. М., 1984

3)Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качествен-

ная теория с приложениями. М., 1986

4) http://256bit.ru/mat/blok/

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/Дифференциальное_уравнение

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15