Дифференциальные уравнения механических колебаний. Векторное и комплексное изображение гармонических колебаний

 

где – амплитуда колебаний, – круговая частота. 

Рис. 10. Вынужденные колебания груза на пружине. Свободный конец пружины перемещается по закону - длина недеформированной пружины, – жесткость пружины.

Уравнение вынужденных колебаний  имеет вид

          (1)

Рассмотрим практически  важный случай, когда возмущающая  внешняя сила является периодической  и изменяется по закону

 

Тогда уравнение (1) примет вид

          (1’)

1. Предположим сначала, что и , то есть корни характеристического уравнения – комплексные числа В этом случае (см. формулы (12) и (13) выше) общее решение однородного уравнения имеет вид

          (2)

Частное решение неоднородного  уравнения ищем в форме

          (3)

Подставляя это выражение  в исходное дифференциальное уравнение, находим значения и :

 

 

 

Прежде чем подставить найденные значения и в равенство (3), введем новые постоянные и , положив

 

то есть

 

Тогда частное решение  неоднородного уравнения можно  записать в форме

 

или окончательно

 

Общий интеграл уравнения (1) равен  то есть

 

Первый член суммы, стоящей  в правой части (решение однородного  уравнения), представляет затухающие колебания; при увеличение t он убывает, и, следовательно, через некоторый промежуток времени главное значение будет иметь второй член, определяющий вынужденные колебания. Частота этих колебаний равна частоте внешней силы f(t); амплитуда вынужденных колебаний тем больше, чем меньше p и чем ближе к q.

Исследуем подробнее зависимость  амплитуды вынужденных колебаний  от частоты  при различных значениях p. Для этого обозначим амплитуду вынужденных колебаний через :

 

Положим ( при p=0 равнялась бы частоте собственных колебаний). Тогда

 

Введем обозначения

 

 

где  - отношение частоты возмущающей силы к частоте свободных колебаний системы, а постоянная не зависит от возмущающей силы. Тогда величина амплитуды будет выражаться формулой

 

Найдем максимум этой функции. Он, очевидно, будет при том значении , при котором квадрат знаменателя имеет минимум. Но минимум функции

          (5)

достигается при

 

и равен

 

Следовательно, максимальная величина амплитуды равна

 

Графики функций  при различных значениях показаны на рисунке 11 (для определенности при построении графиков положено ). Эти кривые называются кривыми резонанса.

Рис.11

Из формулы (5) следует, что  при малых  максимальное значение амплитуды достигается при значениях , близких к единице, то есть когда частота внешней силы близка к частоте свободных колебаний. Если (следовательно, ), то есть если отсутствует сопротивление движению, амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает при , то есть при :

 

При имеет место явление резонанса.

2. Предположим теперь, что , то есть рассмотрим уравнение упругих колебаний без сопротивления при наличии периодической внешней силы

          (6)

Общее решение однородного  уравнения

 

Если , то есть если частота внешней силы не равна частоте собственных колебаний, то частное решение неоднородного уравнения имеет вид

 

Подставляя это выражение  в исходное уравнение, найдем

 

Общее решение есть

 

Таким образом, движение получается в результате наложения собственного колебания с частотой и вынужденного колебания с частотой .

Если , то есть частота собственных колебаний совпадает с частотой внешней силы, то функция (3) не является решением уравнения (6). В этом случае (в соответствии с ЛНДУ II порядка) частное решение надо искать в форме

 

Подставляя это выражение  в уравнение, найдем и :

 

Следовательно,

 

Общее решение будет иметь  вид

 

Второй член, стоящей в  правой части, показывает, что в этом случае амплитуда колебания неограниченно  возрастает при неограниченном возрастании времени t. Это явление, имеющее место при совпадении частоты собственных колебаний системы с частотой внешней силы, называется резонансом.

График функции  изображен на рисунке 12.

Рис.12

 

2. Резонанс.

Если постепенно увеличивать  частоту вынуждающей силы то рано или поздно мы увидим, что когда частота вынуждающей силы приблизится к собственной частоте колебательной системы, то амплитуда колебаний резко возрастает. Амплитуда колебаний максимальна, когда частота вынуждающей силы равна собственной частоте  колебательной системы. При дальнейшем росте частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний уменьшается.

Явление резкого возрастания  амплитуды вынужденных колебаний при равенстве частот вынуждающей силы и собственной частоты колебательной системы  называется резонансом. В чем причина явления резонанса, почему растет амплитуда колебаний, когда частота вынуждающей силы приближается к собственной частоте.

Совпадение частот означает, что сила упругости действует  «в такт» с вынуждающей силой. Если сила упругости и вынуждающая сила в какие-то моменты действуют в одном направлении, то они складываются и их действие усиливается. И даже если вынуждающая сила мала, она все равно приведет к росту амплитуды. Ведь эта малая сила будет добавляться к силе упругости каждый период.

Явление резонанса может  быть полезным, поскольку оно позволяет  получить даже с помощью малой силы большое увеличение амплитуды колебаний. С другой стороны, резонанс может оказаться вредным и даже опасным. Если, например, на фундаменте установлена машина, в которой какие-нибудь части совершают периодические движения, то колебания передаются фундаменту и он будет совершать вынужденные колебания. Фундамент – это тоже колебательная система со своей собственной частотой. И если частота периодических движений совпадает с собственной частотой фундамента, то амплитуда его колебаний может возрасти настолько, что это приведет к его разрушению.

Известно несколько исторических примеров, например, в XIX в. обрушился Египетский мост в Петербурге. По мосту шел в ногу отряд кавалергардов. Ритм их строевого шага случайно совпал с собственной частотой сооружения, амплитуда вынужденных колебаний стала резко возрастать, смещения превысили расчетную критическую величину – и мост не выдержал.

Именно поэтому с опасными результатами резонанса нужно бороться, т. е. его не допускать. Для этого заранее рассчитывают частоты колебаний машин, фундаментов, средств транспорта и т.д., с тем, чтобы при обычных условиях их эксплуатации резонанс не мог наступить.

С явлением резонанса мы встречаемся и в повседневной жизни. Если в комнате задребезжали оконные стекла при проезде по улице тяжелого грузовика, то это значит, что собственные частоты колебаний стекла совпали с частотой колебаний машины.

 

 

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

Областью применения колебаний  служат многие изобретения человека: от музыкальных инструментов и акустических динамиков до эхолотов и ультразвуковых диагностических аппаратов. Познакомимся с последним: ультразвуковая диагностика.

Ультразвук – это механические колебания высокой частоты (более   20 000 Гц). Такие колебания  человеческий слух не воспринимает. В ультразвуковой диагностике обычно применяют частоты от 2 до 20 МГц. Датчик состоит из одного или нескольких пьезоэлектрических элементов, которые превращают акустические и механические колебания в электрические и обратно. Его прикладывают к поверхности кожи, на которую нанесен слой геля, обеспечивающего хороший акустический контакт. Электрический сигнал, подаваемый на датчик, преобразуется им в механические колебания, они и распространяются вглубь тканей. На границах тканями волны преломляются и отражаются, создавая эхо сигнал, возвращающийся к датчику. Там он вновь превращается в электрический и после обработки формирует изображение внутренних органов пациента на экране монитора.

Ультразвуковой аппарат, соединенный с компьютером, - это  уже ультразвуковой томограф. Во многих случаях он может успешно заменить рентгеновский томограф и, в отличие от последнего, не оказывают вредного воздействия на организм.

Звук  обуславливается  механическими  колебаниями  в  упругих  средах  и телах,  частоты которых лежат в диапазоне  от  20  Гц  до  20  кГц , то есть, которые  способно  воспринимать  человеческое ухо. Неслышимые механические колебания с частотами ниже звукового диапазона называются инфразвуковыми, а с частотами выше звукового диапазона называются ультразвуковыми. Звук, который мы слышим тогда, когда источник его совершает гармоническое колебание, называется музыкальным тоном. Во всяком музыкальном тоне мы можем различить на слух два качества: громкость и высоту. Наблюдения убеждают нас в том, что тона какой-либо данной высоты определяется амплитудой колебаний. Высота тона определяется частотой колебаний. Чем выше частота и, следовательно, чем короче период колебаний, тем более высокий звук мы слышим.

Если бы в современной  физике не было таких понятий как, механические колебания, то мы не знали бы, почему мы слышим друг друга, Томас Эдисон не изобрел бы телефон и фонограф, и их бы не было в нашей повседневной жизни.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение задачи.

 

Список литературы.

1. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗОВ. Том II 1985 г.»;

 

2. Н.С. Пискунов «Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗОВ. Том I 1985 г.»;

 

 

3. И. В. Савельев «Курс общей физики, том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. 1970 г.»