Дифференциальные уравнения

Содержание

 

1. Задача 1.4. …………………………………………………………………………….3
2. Задача 2.4. …………………………………………………………………………….5
3. Задача 3.4. …………………………………………………………………………….7
4. Задача 4.4. …………………………………………………………………………….8
5. Задача 5.4. …………………………………………………………………………….8
6. Задача 6.4. …………………………………………………………………………….9
7. Задача 7.4. …………………………………………………………………………….11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 1.4. Найти особые точки уравнения или системы, определить их тип. Построить схематически поведение фазовых траекторий в окрестности каждой особой точки.

 

Решение.

Найдём точки покоя  данной системы, для чего решим следующую  систему уравнений:

            

             (1)

 

 

Итак,

Получаем две  точки покоя: и

Составим матрицу  – якобиан:

 

Для данной системы  получаем:  

      

               (2)

1. Рассмотрим  первую точку . Подставим её координаты в якобиан (2), получим:

 

 

Составим характеристическое уравнение:

Так как характеристическое уравнение имеет комплексные  корни и  -1,35 < 0, то точка – устойчивый фокус.

Для определения направления закручивания, найдём векторы, соответствующие найденным  собственным значениям:

               

 

                                         

Построим схематически поведение  фазовых траекторий в окрестности  точки  .

2. Рассмотрим вторую особую  точку  . Подставим её координаты в якобиан (2), получим:

 

Составим характеристическое уравнение:

                                                                

                                             

Так как характеристическое уравнение имеет действительные различные корни, то точка – седло (неустойчиво).

 

Для определения направления  найдём собственные векторы, соответствующие  собственным значениям.

           

                                   ~

                

                                        

Построим схематически поведение  фазовых траекторий в окрестности точки .

Задача 2.4. Найдя фазовый интеграл, изобразить фазовый портрет уравнения на плоскости .

Решение.

Покажем, что уравнение  имеет первый интеграл.

Домножим данное уравнение на :

,

тогда этому  уравнению можно придать следующий  вид:

.

Поэтому первый интеграл уравнения  имеет вид

Исследуем функцию  .

Эта функция чётная, то есть , найдём точки пересечения её с осями координат:

                                                                 

Следовательно, система имеет три точки покоя: . Теперь найдём точки, в которых функция принимает свои максимальные и минимальные значения, для чего возьмём первую производную :

                                                                  

а значение аргумента  в этих точках равно 0,12.

Построим фазовый портрет  данного уравнения.

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3.4. Исследовать, при каких значениях параметров a и b асимптотически устойчиво нулевое решение.

 

Решение.

Для данного уравнения  запишем полином, который имеет  следующий вид:

            

           (3)

 

Составим  для полинома (3) матрицу Гурвица.

        

      

               (4)

где

Вычислим диагональные миноры матрицы (4). Первый минор нечётного  порядка  . Второй минор нечётного порядка:

 

Условие устойчивости Гурвица:

                                                       

Следовательно, при  нулевое решение данного уравнения асимптотически устойчиво.

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 4.4. Исследовать устойчивость нулевого решения, построив функцию Ляпунова и применив теоремы Ляпунова и Чатаева.

 

 

 

Решение.

В качестве функции Ляпунова возьмём функцию

, где  .

Тогда получаем:

Пусть  , тогда

 

Следовательно, .

Имеем:

  - определённо отрицательная функция.

В силу теоремы  Ляпунова об асимптотической устойчивости, получаем, что нулевое решение данной системы асимптотически устойчиво.

 

 

Задача 5.4. С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое решение системы:

 

 

Решение.

Нулевое решение  системы: x = 0, y = 0.

Матрица системы первого приближения  имеет вид:

 

 

и в рассматриваемой  точке

     

             (5)

Составим характеристическое уравнение

 

 

Так как вещественные части собственных значений матрицы (5) – положительные , то в силу теоремы об устойчивости по первому приближению нулевое решение данной системы неустойчиво по Ляпунову.

 

 

Задача 6.4. Используя теорему Пуанкаре-Бендиксона, доказать существование цикла у уравнения или системы

 

        

          (6)

 

Решение.

Рассмотрим  функцию  . Её производная в силу системы (6) имеет вид

Рассмотрим  первую концентрическую окружность

                    

.            (7)

Тогда

Отсюда

Получаем, что, а при условии (7) .

На ней выполнено  условие  , поэтому траектории системы пересекают окружность (7) по направлению "от центра".

Рассмотрим  вторую концентрическую окружность

                   

.          (8)

Тогда

.

Отсюда

Получаем, что, а при условии (8) .

На ней выполнено  условие  , поэтому траектории системы пересекают окружность (8) по направлению "к центру". Значит, в фазовом пространстве рассматриваемой системы имеется положительно инвариантное кольцо.

Докажем, что  кольцо не содержит точек покоя системы:

 

 

Следовательно, точка (0;0) – единственное состояние  равновесия системы.

    Рассмотрим  точки (-6;0), (-0,1;0), (0,1;0), (6;0), в них . Но в точках из достаточно малой окрестности точек (-6;0), (-0,1;0), (0,1;0), (6;0), векторы поля направлены, как показано на рисунке. По теореме о непрерывной зависимости от начальных данных, траектории в этих точках идут близко к ним.

    Согласно  принципу кольца уравнение будет  иметь цикл.

 

Задача 7.4. Найти приближённо периодическое решение системы

Решение.

Решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде

Тогда

                         

                   (9)

Подставим (9) в  исходное уравнение

Приравняем  коэффициенты при одинаковых степенях  параметра в левой и правой частях последнего равенства:

 

 

        

         (10)

 

Так как  , порождающее уравнение имеет единственное периодическое решение, которое будем искать в виде

.

Продифференцируем и подставим в первое из уравнений (10).

 Тогда получим, что

Будем искать из второго уравнения системы (10).

           

      (11)

в виде

                                     

Продифференцируем и подставим в уравнение (11).

Итак, .

 Подставим  найденные функции  в правую часть последнего уравнения системы (10).

Тогда оно примет вид 

              (12)

Будем искать решение последнего уравнения (12) в виде

.

Продифференцируем и подставим в уравнение (12).

Тогда

Итак, приближенное периодическое решение имеет  вид:

          

.

 

    Используя  пакет MathCAD, сравним полученное решение с точным решением исходного уравнения на периоде .

    Результаты  расчетов приведены ниже.