Двойные и тройные интегралы

Двойные и тройные интегралы

 

Двойной интеграл

 

Основные понятия  и определения

 

Обобщением определенного  интеграла в случае функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция . Разобьем область D на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через (см.рис.1).

В каждой области  выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы  , когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается (или )

 

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D – область интегрирования; x и y – переменные интегрирования.

 

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция z=f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.

 

 

 

 

Объем цилиндрического  тела

 

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу – замкнутой областью D плоскости Оху, боковое ограничение- цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а направляющей служит граница области D (см.рис.2.1).

 

 

 Такое тело  называется цилиндрическим. Найдем его объем V. Для этого разобьем область D (проекция поверхности z=f(x;y) на плоскость Оху) произвольным образом на n областей , площади которых равны . Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями , ограниченные сверху кусками поверхности z=f(x;y). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив объем столбика с основанием через , получим.

Возьмем на каждой площадке произвольную точку и заменим каждый столбик прямым цилиндром с тем же основанием и высотой . Объем этого цилиндра приблизительно равен объему цилиндрического столбика, т.е. . Тогда получаем:

Это равенство тем точнее, чем больше число n и чем меньше размеры «элементарных областей»

. Естественно принять предел суммы при условии, что число площадок неограниченно увеличивается , а каждая площадка стягивается в точку ( ), за объем V цилиндрического тела, т.е. , или, согласно равенству .

 

Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела.

 

 

 

 

 

Основные свойства двойного интеграла.

 

1. , c-const.
3. Если область D разбить линией на 2 области и такие, что , а пересечение и состоит лишь из линии, их разделяющей, то

4. Если в области D имеет место неравенство , то и . Если в области D функции и удовлетворяют неравенству , то и
5. , так как
6. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то , где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в области D.
7. Если функция непрерывна в замкнутой области D, площадь которой S, то в этой области существует такая точка , что .

Величину называют средним значением функции в области D

 

 

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

 

Пусть требуется  вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области D. Тогда двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а, х=b и кривыми и , причем функции и непрерывны и таковы, что для всех (см.рис.3).

 Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического  тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох: х-const, где .

В сечении получим криволинейную  трапецию ABCD, ограниченную линиями , где х=const, z=0, и .

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

 Теперь, согласно методу  параллельных сечений, искомый  объем цилиндрического тела может  быть найден так:

С другой стороны, объем цилиндрического  тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно

Это равенство обычно записывается в виде

 

Формула представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы называют двукратным интегралом от функции по области D.

При этом называется внутренним интегралом.

 

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от a до b.

Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми и , причем для всех , т.е. область D – правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью y=const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянной.

 

 

Вычисление  двойного интеграла в полярных координатах

 

Для упрощения  вычисления двойного интеграла часто  применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

 

Определим преобразование независимых переменных х и у как

 и

Если эти функции имеют в некоторой области плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от 0 определитель

,

а функция  непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом.

 

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и .

В качестве u и v возьмем полярные координаты r и . Они связаны с декартовыми координатами формулами и .

 

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.

 

 

 

 

Якобиан преобразования определяется как

Формула замены переменных принимает вид:

,

Где – область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах  применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область имеет вид, изображенный на рисунке

 

 

 

 

 

 

(ограничена  лучами и , где , и кривыми и , где , т.е. область правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы можно записать в виде 

Внутренний  интеграл берется при постоянном .

 

 

 

Тройной интеграл.

 

Основные  понятия.

 

Обобщением  определенного интеграла на случай функции трех переменных является так  называемый тройной интеграл.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

 

Пусть в замкнутой  области V пространства Oxyz задана непрерывная функция . Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области V.

Если предел интегральной суммы существует при  неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т.у. диаметр области стремится к нулю, т.е. ), то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают

 или

 

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь dv=dxdydz – элемент объема.

 

Теорема (существования).

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы при и существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.

 

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и  двойной интеграл:

 

1. ,

2.

3. ,если V = , а пересечение и состоит из границы, их разделяющей.

4. , если в области V функция . Если в области интегрирования , то и

5. , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6.Оценка тройного  интеграла:

  ,

где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела,

 

Вычисление  тройного интеграла в декартовых координатах

 

В декартовых координатах  вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху – поверхностью , причем и  - непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Oxy. Будем считать область V – правильной в направлении оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции имеет место формула

,

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного. При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей интеграла является ; верхней границей - . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у.

Если область D ограничена линиями x=a, x=b (a<b), и , где и – непрерывные на отрезке [a;b] функции, причем , то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу

,

по которой  вычисляется тройной интеграл в  декартовых координатах.

 

Замена  переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в  цилиндрических и сферических координатах.

 

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершена  подстановка , ,

Если эти  функции имеют в некоторой  области  пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель

,

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

Здесь – определитель Якоби, или якобиан преобразования.

 

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Положение точки M(x;y;z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел r, ,z, где r – длина радиус-вектора проекции точки М на плоскость Оху, - угол, образованный этим радиус-вектором с осью Ох, z - аппликата точки М. Эти три числа (r, ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.

 

 

 

 

 

 

Цилиндрические  координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

; ;

( ; ; )

Возьмем в качестве u, v, w цилиндрические координаты r, ,z и вычислим якобиан преобразования:

 

Формула замены переменных принимает вид

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

 

Сферическими  координатами точки М(x;y;z) пространства Oxyz называется тройка чисел , где – длина радиус-вектора точки М, - угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость Оху и осью Ох,

 - угол отклонения радиус-вектора от оси Oz.

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:

, , .

( ; ; )

В некоторых  случаях вычисление тройного интеграла  удобно производить, перейдя к сферическим  координатам. Для этого нужно  воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле. Так как  якобиан преобразования

,

 то

  .