Финансовая математика

По банковским картам в расчет эффективной ставки процента не включаются также: комиссии за осуществление операций в валюте, отличной от валюты счета (валюты предоставленной  займа); комиссии за приостановку операций по банковской карте; комиссии за зачисление другими кредитными организациями  денежных средств на банковскую карту.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Определение процентной ставки

 

Начисляемые проценты являются платой заёмщика за пользование ссудой — никто просто так не даст пользоваться своими деньгами, точно так же, как никто не даст бесплатно автомобиль на прокат. Размер этой платы определяется с помощью  так называемой процентной ставки, которая равна относительному приращению задолженности за единицу времени, то есть за год.

Процентная  ставка — относительная величина дохода за фиксированный отрезок  времени. Отношение дохода (процентных денег — абсолютная величина дохода от представления денег в долг) к сумме долга.

Иными словами, если обозначить через S0 первоначальный размер задолженности, а через S(1) —  размер задолженности по истечении  года, то процентная ставка определяется по формуле

 

 

Процентная  ставка используется для сравнения  между собой однотипных ссудных  операций: чем выше процентная ставка, тем выгоднее сделка для кредитора. Это становится понятно, если переписать предыдущую формулу следующим образом:

 

S(1) = (1+ i ) S0

 

— отсюда видно, что S(1) тем больше, чем больше i.

Простые, сложные и непрерывно начисляемые  проценты

При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину. Иначе  говоря,

 

 

Где P — исходная сумма

S — наращенная  сумма (исходная сумма вместе с начисленными %)

i — процентная  ставка, выраженная в долях за  период

n — число  периодов начисления

В этом случае говорят о простой процентной ставке.

При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению  к сумме с уже начисленными ранее процентами. Иначе говоря,

S = (1 + i)nP

(при  тех же обозначениях).

В этом случае говорят о сложной процентной ставке.

Часто рассматривается  следующая ситуация. Годовая процентная ставка составляет j, а проценты начисляются m раз в году по сложной процентной ставке равной j / m (например, поквартально, тогда m = 4 или ежемесячно, тогда m = 12). Тогда формула для наращенной суммы через k лет:

 

В этом случае говорят о номинальной процентной ставке. Сравнение сложных процентных ставок с разными интервалами  начисления производят при помощи показателя годовая процентная доходность(APY).

Наконец, иногда рассматривают ситуацию так  называемых непрерывно начисляемых  процентов, то есть годовое число  периодов начисления m устремляют к  бесконечности. Процентную ставку обозначают δ, а формула для наращенной суммы:

S = eδnP.

3. Способы начисления процентов

 

Если  говорить кратко, то начисление процентов  — это процесс увеличения задолженности  заёмщика перед кредитором с течением времени.

Например, начисление процентов по вкладу выливается в увеличение суммы на счету вкладчика (деньги на счету — это задолженность  банка перед вкладчиком). Начисление процентов по кредиту — это  увеличение суммы, которую заёмщику нужно будет вернуть в банк.

Есть  два способа начисления процентов.

Декурсивный. Когда проценты начисляются в  конце срока и возврату подлежит сумма долга вместе с процентами. При этом увеличение суммы долга  в связи с присоединением процентов  называют наращением суммы.

Второй  способ антисипативный (дисконтирование) – сокращения. Процентный доход  выплачивается в начале срока, при  этом должнику выдаётся сумма, уменьшенная  на его величину, а возврату в  конце срока подлежит исходная сумма.

S = P + I –  это декурсивный метод начисления  процентов. Процентный доход считаем  по формуле I = P*n*i

Отсюда  легко выразить S. При росте срока  ссуды или процентов – результат  меняется одинаково быстро и линейно. Если срок ссуды определён в днях, то вместо n будут использоваться t/k, где t – это число дней, а k –  это число дней в году или временная  база.

Метод простых  процентов

Метод простых  процентов заключается в том, что задолженность заёмщика перед  кредитором возрастает с постоянной скоростью. Это значит, что график задолженности является прямой линией, проходящей через точки S0 и S(1) = (1+ i ) S0 :

 

Рисунок 1 - Увеличение задолженности заёмщика по методу простых процентов

 

Формула, с  помощью которой можно найти  размер задолженности в произвольный момент времени t, для метода простых  процентов имеет следующий вид:

 

S(t) = (1+ i t ) S0

 

(в этом  нетрудно убедиться, если подставить  в неё значения t = 0 и t = 1).

Пример.

Допустим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч  рублей в банк, предлагающий 10% годовых. Если банк использует метод простых  процентов для начисления процентов  по вкладу, то через полгода на счету  вкладчика будет сумма 

 

S(½) = (1 + 0,1 · ½ ) · 100 = 105 тысяч рублей.

 

Метод сложных  процентов

Смысл метода простых процентов заключается  в том, что проценты начисляются  всё время на одну и ту же сумму  — начальный долг (поэтому скорость начисления процентов постоянна). В  отличие от этого, метод сложных процентов характеризуется фразой «начисление процентов на проценты». Это значит, что задолженность заёмщика возрастает в геометической прогрессии: задолженность в предыдущий момент времени служит основой для начисления процентов в следующий момент:

Рисунок 2 -Увеличение задолженности заёмщика по методу сложных процентов

 

Наглядно  представить этот механизм можно  следующим образом. Предположим, что  вкладчик положил в банк сумму S0 под процентную ставку i. Тогда через  год на его счету будет сумма S(1) = (1+ i ) S0 . Если вкладчик решит не снимать  деньги со счёта, а снова их вложить  с теми же условиями (реинвестировать), то уже через два года от даты совершения первого вклада на его счету будет сумма:

 

S(2) = (1+ i ) S1 = (1+ i )2 S0 .

 

Продолжая в том же духе, за n лет вкладчик сможет получить сумму 

 

S(n) = (1+ i )n S0 .

 

Как видим, сумма вклада возрастает в геометрической прогрессии. Если обобщить этот пример, то можно сказать, что при использовании метода сложных процентов задолженность заёмщика является показательной функцией от времени (показательная функция — это обобщение геометрической прогрессии

 

S(t) = (1+ i )t S0 .

 

Пример.

Предположим, что вкладчик положил сумму 100 тысяч  рублей всё в тот же банк, предлагающий вклады под 10% годовых. Если банк использует метод сложных процентов для  начисления процентов по вкладу, то через полгода на счету вкладчика  будет сумма 

 

S(½) = (1 + 0,1)½ · 100 ≈ 104 тысячи 881 рубль.

 

Нужно обратить внимание: в этом и предыдущем примерах мы неявно полагали, что вклад на полгода имеет продолжительность ½ года. Если бы мы знали точные даты начала и окончания этой финансовой операции, то для получения правильного результата нам бы пришлось вычислять её точную продолжительность в годах по методу «365/365».

Применение  простых и сложных процентов

С экономической  точки зрения метод сложных процентов  является более обоснованным, так  как он выражает возможность непрерывного реинвестирования (повторного вложения) денежных средств. Тем не менее, для  краткосрочных (продолжительностью менее  года) финансовых операций чаще всего  используется метод простых процентов. Тому есть несколько причин:

Во-первых, и ещё несколько десятилетий  назад это было достаточно актуально, расчёты с применением метода простых процентов намного проще, чем расчёты с применением  метода сложных процентов.

Во-вторых, при небольших процентных ставках (в пределах 30%) и небольших промежутках  времени (в пределах одного года) результаты, полученные с помощью метода простых  процентов, довольно близки к результатам, полученным с применением метода сложных процентов (расхождение  в пределах 1%).

В-третьих, и, возможно, это основная причина, задолженность, найденная с помощью метода простых  процентов для промежутка времени  меньше года, всегда больше, чем задолженность, найденная с применением метода сложных процентов. Так как правила  игры всегда диктует кредитор, то понятно, что в таком случае он выберет  первый метод.

Краткосрочные операции (продолжительностью менее года) составляют основную массу всех финансовых операций. Потому что долгосрочные кредиты, погашаемые по частям раз в месяц или раз в квартал (или даже раз в полугодие) — это не одна большая финансовая операция, а совокупность большого числа непродолжительных операций (длиною в месяц, квартал или полугодие). Именно поэтому в России для начисления процентов по любым кредитам используется метод простых процентов (об этом — буквально в следующем параграфе).

Сравнение методов простых и сложных  процентов

Остановимся подробнее на второй и третьей  причинах (так как первая очевидна). Если совместить приведённые в предыдущем параграфе графики роста задолженности, то получится следующая картина:

 

Рисунок 3- Сравнение графиков роста задолженности по методам простых и сложных процентов

Таким образом, если используется одна и та же процентная ставка, то:

• для промежутков времени меньше года задолженность, найденная по методу простых процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу сложных процентов;
• для промежутков времени больше года, наоборот, задолженность, найденная по методу сложных процентов, всегда будет больше задолженности, найденной по методу простых процентов;
• для промежутка времени, равного одному году, результаты совпадают.

При этом, если процентная ставка невелика, а  промежуток времени — меньше года, то Sсл(t) и Sпр(t) достаточно близки друг к другу. Однако всегда надо помнить, что если эти условия не выполняются, то расхождения в результатах могут быть значительными.

Пример.

В начале 90-х годов, в период сильной инфляции, российские банки предлагали очень  большие — исчисляемые сотнями  процентов — процентные ставки по рублёвым вкладам и кредитам.

В качестве примера посмотрим, к каким расхождениям может привести использование простых  процентов для полугодового вклада, когда процентная ставка составляет 300% годовых. Если размер вклада составляет S рублей, то через полгода на счету вкладчика будет сумма

 

S(½) = (1+ 3 · ½ ) S = 2,5 S.

 

Если  бы банк использовал сложные проценты, то итоговая сумма составила бы

 

S(½) = (1+ 3)½  S = 2 S.

 

Разница в результатах составляет ½ S , или 25% относительно сложного итога.

Комбинированные схемы начисления процентов

На практике для продолжительных, но не целых  промежутков времени особо щепетильные  кредиторы иногда применяют комбинированную  схему начисления процентов. При  этом для целого числа лет используется метод сложных процентов, а для  нецелого «остатка» — метод простых  процентов. Например, если ссуда размером 1 млн рублей выдана на 3 года и 73 дня (73 дня — это 0,2 невисокосного  года) под 10% годовых, то итоговая задолженность  может быть найдена следующим  способом:

 

S(3,2) = (1+0,1)3 · (1+0,1 · 0,2) · 1 000 000 = 1 357 620 рублей.

 

Комбинирование  простых и сложных процентов  может также естественным образом  возникать при многократном повторении одной и той же краткосрочной  операции. К примеру, банки предлагают своим клиентам краткосрочные депозиты (вклады) на сроки от месяца до года. В течение периода действия депозитного  договора увеличение суммы на счету  вкладчика происходит по простой  схеме. По окончании срока вклада происходит капитализация (присоединение  процентных денег к исходной сумме). Если клиент не забирает деньги, то договор  по вкладу пролонгируется на новый срок и базой для начисления процентов становится уже увеличенная сумма. Таким образом, с точки зрения клиента банка сумма вклада, оставленного на несколько сроков, будет расти по схеме сложных процентов:

 

S(n t) = (1+ i t )n S0 ,

 

где t —  продолжительность того самого «базового» вклада, а n — число периодов.

Пример.

Некий банк предлагает своим клиентам срочные  вклады сроком на полгода под простую  процентную ставку 10% годовых. Если клиент этого банка положил на депозит 200 000 рублей, а затем дважды продлевал  договор по вкладу, то через полтора  года он снял со своего счёта

 

S(1,5) = (1+0,1 · ½ )3 · 200 000 = 231 525 рублей.