Формирование познавательной потребности у учащихся средствами информационных технологий

Так, например, нами применялись устные коллективные разминки, занимающие не более 5 минут, развивающие  быстроту реакции, внимательность, умение четко и конкретно мыслить. В  такие разминки следует включать вопросы, требующие однозначного, быстрого хорового ответа и направленные на актуализацию опорных знаний, и на проверку домашнего задания, и на отработку каких либо математических понятий и определений.

Для этого нами был проведен интегрированный урок.

Мотивируя применение интегрированных уроков необходимо отметить, что разнообразие занимательных форм (игры-путешествия, состязания, конкурсы, шарады, загадки) на уроках создаёт положительный эмоциональный фон деятельности, располагает к выполнению тех заданий, которые учащиеся считают трудными и непреодолимыми.

Творческие задания  представляют собой один из путей, с  помощью которого происходит у детей  формирование познавательного интереса.

Познавательная  деятельность учащихся в обучении, какой бы характер она не носила, какой бы активной она ни была, всегда должна направляться и организовываться учителем.

Тема: "Применение интеграла при решении физических задач" (см. приложение 1)

Цель: продолжить формирование умений самостоятельно в комплексе применять знания, умения и навыки, осуществлять их перенос в новые условия.

Задачи урока:

Обучающие: способствовать формированию знаний, умений по данной теме;

Развивающие: умственная деятельность (выполнять операции анализа, синтеза, делать выводы, выделять существенные признаки объектов);

Воспитательные: воспитывать умение организовать свою деятельность, формирование ценностной ориентации, мировоззрения.

Оборудование: компьютер, мультимедиа проектор, экран.

Содержание урока: данного урока нет в тематическом планировании, но нами предлагается использовать данную разработку изучении темы 7. Учащиеся знакомятся с примерами применения интеграла в физике и геометрии.

План урока:

1.         Организация начала урока.

2.         Постановка проблемы урока.

3.         Актуализация ЗУН, необходимых для творческого применения знаний

4.         Формирование новых понятий и способов действий

5.         Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

6.         Усвоение образца комплексного применения ЗУН

7.         Применение знаний умений и навыков в новых условиях

8.         Подведение итогов урока

Ход урока:

1.Организация начала урока.

2.Постановка проблемы урока. На прошлом уроке мы ознакомились с геометрическими задачами, которые решаются при помощи интеграла. Но интеграл применим не только в математике, другие области науки также используют его и сегодня мы с вами проверим это на примере такой науки как физика.

3.Актуализация  ЗУН, необходимых для творческого  применения знаний

Физические величины, вычисляемые с помощью интеграла, можно разделить на два типа, в зависимости от того, как они естественно определяются. К первому типу относятся "первичные" величины (длина пути, масса, количество электричества, количество теплоты и т. п.), т. е. такие величины, для которых другие, связанные с ними ("вторичные") величины (соответственно скорость, линейная плотность, величина тока, удельная теплоемкость и т. п.) определяются как производные этих величин. Ко второму типу относятся такие, которые определяются естественным образом как интегралы от "первичных" по отношению к ним величин (например, площадь, работа). Для первого типа величин интегральная формула для их вычисления может и должна быть доказана, опираясь на известное из предыдущего материала определение "вторичной" величины как производной от данной "первичной". Для второго типа интегральная формула появляется по определению.

4. Формирование  новых понятий и способов действий

При введении понятия  интеграла как предела интегральных сумм довольно наглядным и понятным для учащихся является пример задачи о давлении жидкости на стенку.

Задача. Бассейн  высоты H наполнен водой. Вычислить  давление воды на прямоугольную стенку бассейна с основанием прямоугольника, равным а.

Разделим высоту Н на n равных частей (Δh). Стенка разделится на "элементы". Так как кубометр воды весит тонну, то давление столба жидкости высоты hi м, имеющего сечение 1 м2, равно hi тоннам.

Давление же воды на элемент, находящийся на глубине hi, равно произведению hi на площадь  элемента: hia Δh. Обозначим произведение hia через F(hi). Тогда величина давления на всю стенку приближенно равна

Pn≈ F1(h1)Δh1+…+Fn(hn) Δhn.

Данную сумму  называют интегральной суммой функции F(h) на отрезке [0; H]. При этом предполагается, что функция F(h) непрерывна на отрезке [0; H] и может принимать любые значения. Если   и высоты "элементов" стремятся к нулю, то точное выражение суммы равно  . Его называют определенным интегралом от функции F(h) на отрезке [0; H] и обозначают  .

Далее понятие  определенного интеграла обобщается на произвольную непрерывную функцию F(x) и произвольный отрезок [a; b].

Рассмотрим несколько  задач с физическими моделями, где интеграл определяется как приращение первообразной.

1. Задача о  перемещении точки.

Пусть v=v(t) скорость прямолинейного движения точки, заданная на некотором промежутке времени [t1; t2]. При этом пусть v(t)>0. Как выразится длина пути, пройденного точкой за данный промежуток времени?[5]

Обозначим координату движущейся точки в момент t через S(t). Тогда, так как движение при v>0 происходит только в положительном  направлении (или иначе, т. к. S(t) – функция возрастающая, ввиду того, что  ), то искомое расстояние будет выражаться числом S(t2)-S(t1). С другой стороны S(t) есть первообразная функции v(t) ( ). Таким образом вычисление длины пути, пройденного точкой за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной S(t) функции v(t), т. е. к интегрированию функции v(t).

Разность S(t2)-S(t1) называют интегралом от функции v(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

2.   Импульс силы.

Пусть на тело массой m в течение времени t действует какая-то сила F(t). Найти количество движения тела при заданной зависимости силы от времени за промежуток времени [t1; t2].

Как известно из физики второй закон Ньютона в  импульсном представлении выражает уравнение

ΔР=FΔt.

Произведение P=mv(t) массы на скорость называется "количеством движения". Так как скорость тела зависит от времени, то за промежуток времени [t1; t2] искомое количество движения может быть найдено так: Р(t2)-Р(t1). С другой стороны Р(t) есть первообразная функции F(t). Таким образом вычисление количества движения тела за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной Р(t) функции F(t).

Разность P(t2)-P(t1) называют интегралом от функции F(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Величина   называется также "импульсом силы" за время [t1; t2]. Словесная формулировка результата: изменение количества движения равно импульсу силы.

3.   Количество электричества.

Представим себе переменный ток, текущий по проводнику. Вычислим количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b] через сечение  проводника. Если бы сила не менялась со временем, то изменение количества электричества q равнялось бы произведению I(b-a). Пусть задан закон изменения I=I(t) в зависимости от времени. Тогда количество электричества, протекающего за интервал времени [a; b], равно q(b)-q(a). С другой стороны на малом промежутке времени можно считать силу тока постоянной и равной I(t), а dq=I(t)dt, следовательно, вычисление количества электричества за данный промежуток времени, сводится к отысканию первообразной функции I(t).

Разность q(b)-q(a) называют интегралом от функции I(t) на отрезке [a; b] и обозначают так:

.

 

Вытекание воды из сосуда

Данная  задача проста и наглядна в своей  постановке для учащихся.

Представим  себе сосуд, из которого вытекает вода. В момент времени t поток воды вычисляется по формуле q=q(t). Найдем объем воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2]. Объем воды, находящейся в сосуде, обозначим через V. Этот объем со временем меняется, т. е. V есть функция времени t.

Рассмотрим промежуток времени [t1; t2]. Очевидно, что за это время из сосуда вытечет V(t2)-V(t1) воды. С другой стороны, поток воды – это величина, характеризующая скорость изменения количества воды в сосуде, т.е. dV=q(t)dt. Следовательно, вычисление объема воды, вытекающей из сосуда за промежуток времени [t1; t2], сводится к отысканию первообразной функции q(t).

Разность V(t2)-V(t1) называют интегралом от функции q(t) на отрезке [t1; t2] и обозначают так:

.

Все вышерассмотренные  модели – это наиболее часто встречающиеся  в школьном курсе физики законы и  формулы, поэтому они не требуют  от учащихся дополнительных знаний по физике, а, следовательно, удовлетворяют  как принципу научности, так и принципу доступности материала.

Зачетное занятие  было проведено нами в форме обобщающего  урока по теме "Первообразная. Интеграл", проведенный с помощью мультимедийной презентации.

Обобщающий урок по теме "Первообразная. Интеграл".

Цель: обобщить и систематизировать знания по теме "Первообразная. Интеграл"

Задачи:

Обучающие: обобщение  и систематизация знаний учащихся, закрепление основных понятий базового уровня.

Развивающие: развитие познавательных потребностей учащихся, логического мышления и внимания, формирование потребности в приобретении знаний.

Воспитательные: воспитание сознательной дисциплины и  норм поведения, воспитание ответственности, умения принимать самостоятельные  решения.

Оборудование: мультимедийный проектор, презентации.

План урока

1.   Организация начала урока.

2.   Обобщение и систематизация знаний и способов деятельности

3.   Подведение итогов урока

Ход урока

1. Организация  начала урока.

Проверка домашнего  задания с места (фронтально).

Сегодня на уроке  мы должны обобщить все знания и умения по теме "Первообразная и интеграл" с целью подготовки к контрольной работе. Начнём повторение мы с устной работы, затем проведём групповую работу, которая откроет нам некоторые исторические факты. Вспомним вычисление площадей фигур, а также повторим, где используют интеграл в физике. В заключении урока проведём самостоятельную работу по перфокартам.

Устная работа (фронтально).

1)На экране  спроецирована таблица для устного  счёта. Для функций, указанных  в таблице, составить хотя бы  одну первообразную. (Таблица в презентации).

2) Устное повторение  теоретического материала (фронтально):

- Дайте определение  первообразной.

- Как читается  основное свойство первообразной?

- Какие правила  нахождения первообразной существуют?

- Что называется  неопределённым интегралом?

- Что называется  криволинейной трапецией?

- Как выглядит  формула Ньютона – Лейбница?

- В чём состоит  геометрический смысл определенного  интеграла?

- В чём состоит  физический смысл определенного  интеграла?

3)Верно ли? На  слайде для каждой функции f(x) записана первообразная F(x), но в записи первообразной есть ошибка. Найдите ошибку и прокомментируйте.

f(x)=(8x-5)2, F(x)=(8x-5)3/3+C

Ответ: не хватает  перед первообразной множителя 1/8так, как функция f(x) сложная.

f(x)=sin(5+4x), F(x)= -1/5cos(5+4x)+C

Ответ: перед  первообразной должен быть множитель1/4, а не 1/5так, как коэффициент к=4.

Ответ: не хватает  перед первообразной множителя 2.

2. Обобщение  и систематизация знаний и  способов деятельности

1а) Групповая  работа над темой. На экране  через проектор с компьютера проецируются портреты математиков: 1 - Лейбница, 2 - И. Бернулли, 3 - Ферма, 4 – Я. Бернулли, 5 - Ньютона. Класс делится на пять групп. Каждая группа получает карточку со своим заданием: найти значение постоянной С. На этой же карточке дана историческая справка о вкладе конкретного учёного в развитие теории интегрального исчисления. Вычислив значение С, каждая группа связывает это число с номером портрета математика. Представитель от группы зачитывает историческую справку для других. (Портреты в презентации, задания для групп в приложениях 1 и 2).

1б) Продолжим  групповую работу. Установить соответствие.

На экране три  функции f,g,h и три графика первообразных  для данных функций. Для каждой функции  записать первообразную и найти  график этой первообразной. Решают все на месте в тетрадях также группами, затем озвучивают результаты.

1. f(x)=sinx, 2. g(x)=cosx, 3. h(x)=cos2x

 

Решение:

F(x)= -cosx+C, G(x)=sinx+C, H(x)=0,5 sin2x+C

2) Устно. Первообразная  тесно связана с интегралом. Мы  с вами вспоминали формулу  Ньютона – Лейбница. Вы знаете, что определённый интеграл используют для вычисления площадей плоских фигур, и в первую очередь для вычисления площади криволинейной трапеции.

Посмотрим на экран  и выясним являются ли фигуры криволинейными трапециями.

Физкультминутка

3) Работа у  доски. Три ученика выходят  к доске и получают карточки  с заданием вычислить площадь  фигуры. Остальные учащиеся на  местах решают две задачи на  нахождение площади фигур, затем правильность решения проверяется с помощью проектора.

Задание классу.

Учебник №360(г), №364(г).

Задание 1 ученику - 365(в),

Задание 2 ученику - 365(г),

Задание 3 ученику - 361(б).

4) Работа у  доски.

Определённый  интеграл используют и в других дисциплинах. Например, на уроках физики с помощью определённого интеграла можно вычислить работу переменной силы, массу, центр масс, электрический заряд, перемещение и количество теплоты.

Задача 1.Сила упругости  пружины, растянутой на 6 см, равна 4,2 Н. Какую работу надо произвести, чтобы растянуть пружину на 6см?

Решение:F=kx;

4,2=k*0,06;

k=420:6;

k=70, F=70x

5) Контролирующая  самостоятельная работа по перфокартам.

В каждом варианте 6 заданий. К каждому заданию 4 варианта ответов, только один из них правильный. У каждого ученика на парте лежит контрольный талон. Решив задание в тетради, уч ся выбирает номер верного ответа и зачёркивает его в контрольном талоне. После выполнения всех 6 заданий в каждом контрольном талоне будет зачёркнуто 6 чисел. Ученики сдают талоны учителю, который при помощи шаблона с прорезями быстро проверяет работы, накладывая шаблон на талон.

Контрольный талон

Фамилия, имя Класс вариант
1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25

Шаблон для  проверки

 

1 вариант

		Х
	Х		X
Х				X
			X