Геометрія сфери евклідова простору

 

2.4. Багатокутники  на сфері

Сферичним багатокутником називається частина сфери, обмежена дугами великих кіл , меншими півкола, кінцями яких служать точки перетину цих великих кіл, взятих у послідовному порядку.

Сферичний багатокутник називається опуклим, якщо він розташований по одну сторону від кожного з більших кіл, частиною яких служать його сторони; в іншому випадку він називається неопуклим .

У випадку, коли багатокутник опуклий, кожне велике коло, частиною якого служить сторона багатокутника, ділить сферу на дві півсфери, з яких одна містить увесь многокутник; загальна область R всіх таких півсфер, які містять даний багатокутник, і буде внутрішньою областю багатокутника (мал 9,10).

 

Сферичний двокутник - фігура, утворена двома півколами великих кіл сфери, що виходять із діаметрально протилежних точок (мал.11).

 

На відміну від площини, де трикутник є багатокутником з найменшою кількістю сторін, на сфері є багатокутники з числом сторін менше трьох - двокутники. Двокутником є частина сфери, обмежена двома половинами великих кіл із загальними кінцями; ці загальні кінці, звані вершинами двокутника, є діаметрально протилежними точками сфери.

Величина внутрішнього кута при вершині В сферичного многокутника, утвореного  дугами АВ і ВС на сфері, визначається як кут між двома променями, що виходять з точки В і дотикаються до дуг АВ і ВС в точці В. Оскільки ці промені  перпендикулярні радіусу ОВ, то кут при вершині В дорівнює двогранному куту між  площинами ОАВ і ОВС. Зрозуміло, що два кути сферичного двокутника завжди  рівні (рис.12).

 

2.5. Сферичний трикутник

Серед усіх сферичних багатокутників найбільший інтерес представляє сферичний трикутник.

Сферичним трикутником називається частина поверхні сфери, що обмежена трьома попарно сполученими дугами великих кіл (рис.13). Сферичний трикутник ABC має шість основних елементів: три кути A ,  B , C та три сторони a, b, c. Кути позначають тими ж великими літерами, що й вершини трикутника, а протилежні їм сторони – відповідними малими буквами. Кути та сторони можуть приймати значення лише в межах від 0° до 180°.

Сферичні трикутники мають висоти, медіани та бісектриси, означення яких аналогічні означенням цих елементів у плоскій геометрії. Наприклад, бісектрисою кута A сферичного трикутника ABC називається дуга AL великого кола, що ділить цей кут навпіл. Бісектриси трьох кутів сферичного трикутника перетинаються у сферичному центрі малого кола, вписаного в трикутник. Серединні перпендикуляри до трьох сторін сферичного трикутника перетинаються у сферичному центрі малого кола, описаного навколо трикутника.

 Три великих кола, перетинаючись  попарно в двох точках, утворюють  на сфері вісім сферичних трикутників. Знаючи елементи (сторони і кути) одного з них можна визначити  елементи всіх інших, тому розглядають  співвідношення між елементами одного з них, того, у якого всі сторони менше половини великого кола.

Більшість властивостей сферичного трикутника (а вони одночасно є і властивостями тригранних кутів) майже повністю повторюють властивості звичайного трикутника, серед них і нерівність трикутника. Всі планіметричні наслідки згаданих теорем залишаються справедливими на сфері. Так, безліч точок, рівновіддалених від кінців відрізка, буде і на сфері перпендикулярною до нього прямою, що проходить через його середину, звідки випливає, що серединні перпендикуляри до сторін сферичного трикутника мають спільну точку, точніше, дві діаметрально протилежні спільні точки, що є полюсами його єдиного описаного кола. У стереометрії це означає , що навколо будь-якого тригранного кута можна описати конус. Можна перенести на сферу і теорему про те, що бісектриси трикутника перетинаються в центрі його вписаного кола. Теореми про перетин висот і медіан також залишаються вірними.

А от сума кутів будь-якого сферичного трикутника завжди більша 180.

2.6. Площа сферичного трикутника

Площа сферичної фігури, за аналогією з площею плоскої фігури, має такі властивості:

1. площа сферичної фігури є додатнім числом (властивість позитивності);
2. площа сферичної фігури не змінюється при русі (властивість інваріативності);
3. якщо сферична фігура розкладена на дві сферичні фігури, то площа даної фігури дорівнює сумі площ двох фігур, на які вона поділена (властивість адитивності),
4. площа всієї поверхні сфери радіуса R дорівнює 4pR2 (властивість нормування).

Насамперед знайдемо площу двокутника. З властивості адитивності, інваріантності та нормування випливає, що якщо розділити сферу на n рівних двокутників (мал. 14), то площа кожного з них (тобто площа двокутника з кутом ) дорівнює . Тому площа двокутника з  кутом  , складеного з m розглянутих двокутників, дорівнює  , а якщо кут деякого двокутника більше   і менше , то  площа цього двокутника знаходиться між і (це випливає з першої і третьої властивості площі). Необмежено збільшуючи число n, ми можемо за допомогою граничного переходу знайти площу будь-якого двокутника: площа двокутника, кути при вершинах якого рівні a, дорівнює

,

Тобто                                           (1)

                     

 

Якщо нам дано сферичний трикутник АВС, то пара великих кіл, що проходять через дві його сторони, визначає два двокутника, кути яких рівні куту сферичного трикутника між цими сторонами (мал. 15). Всього таким чином виходить шість двокутників, два з кутом А, два – з кутом В і два – з кутом С. Трикутник АВС і діаметрально протилежний йому трикутник  А'В'С' (рівний трикутнику АВС), входять у три двокутника, інші точки сфери, що не лежать на сторонах двокутників, входять тільки в один двокутник. Тому сума площ шести двокутників рівна сумі площ S усієї сфери й четвертій частині площі трикутника АВС, тобто

2S(A)+2S(B)+2S(C)=S+4S(D).

Оскільки

S(A)=2r2A,     S(B)=2r2B,      S(C)=2r2C,

То ми отримуємо

4r2 (A+B+C)=4pr2+4S(D),

Тобто

S (D) =r2 (A+B+C-p).                                              (2)

Через те, що величини S(D) і r2 додатні, то величина А+В+С-p також додатня, звідки слідує, що А+В+С>p,

тобто сума кутів сферичного трикутника більша  розгорнутого  кута. Різниця (вимірюється в радіанах) – величина додатня і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника.

Таким чином, площа сферичного трикутника дорівнює добуткові його кутового надлишку на квадрат радіуса сфери.

Замінюючи в нерівності (2) кути А, В і С рівними їм виразами де, а', b', с' – сторони полярного трикутника, ми отримаємо нерівність

а'+ b'+ с'< 2pr,

що показує, що сума сторін сферичного трикутника менша довжини великого кола.

2.7. Сферична теорема синусів та косинусів.

2.7.1 Теорема  конусів

Розглянемо рис. 17,  на якому зображено трикутник ABC на сфері з радіусом, що дорівнює одиниці,  та центром у точці O .  У вершині A проведені дотичні AE та AD до сторін b та c .  Ці дотичні перетинаються у точках D і E з продовженням радіусів сфери, що проходять через вершини C і B.

Застосуємо теорему косинусів тригонометрії на площині до трикутників AED та OED і запишемо її для сторони DE :

 

Прирівняємо між собою праві частини рівнянь і знайдемо:

, 
Зважаючи, що радіус сфери R = 1 маємо:

; ;

Далі одержуємо: 
 
Помножимо всі доданки останнього рівняння на cosb  cosc і остаточно дістанемо:

Побудова на рис. 17  можлива,  якщо кожна зі сторін b і c менша 90°.  Тому вираз потрібно узагальнити на той випадок, коли трикутник має сторони більші за 90°. Для цього звернемося до рис. 13.  На ньому зображено ∆ABC ,  що має сторони b > 90° і c > 90°.   . Якщо продовжимо сторони b і c до їх перетину в точці  D , то одержимо спряжений трикутник BCD , в якому кожна зі сторін 180° −  b  і 180° −  c  буде менша за 90°. Застосовуючи цей вираз до трикутника BCD , можемо записати:

,

або

.

Отже, маємо теорему косинусів.

Теорема. Косинус сторони сферичного трикутника дорівнює добутку двох інших сторін плюс добуток синусів цих сторін на косинус кута між ними.

2.7.2 Теорема синусів

Синуси сторін сферичного трикутника відносяться як синуси протилежних кутів.

Нехай довжини сторін сферичного трикутника (рис. 16) дорівнюють а, b, с, а протилежні їм кути цього трикутника рівні А, В, С відповідно, r-радіус сфери, тоді

.

За теоремою косинусів досліджується відношення і доводять, що воно є сталим :

 

РОЗДІЛ 3 
ВІДСТАНЬ МІЖ И НА ЗЕМНІЙ КУЛІ

3.1. Зв’язок між географічними і сферичними координатами

Як відомо з географії, земна куля лише наближено може вважатися кулею з погляду математичного означення: на ній є гори і западини, земна куля сплюснута на полюсах і витягнута на рівні екватора. У представленому математичному дослідженні ми нехтуємо цими відхиленнями і вважаємо земну кулю ідеальною кулею у розумінні математичного означення. Радіус кулі R приймемо за 6370 км, поверхню кулі – сферу позначимо C.

Для знаходження відстані між пунктами на земній поверхні  буде потрібна система координат на сфері, дещо відмінна від загальноприйнятої географічної системи координат. Нехай O – центр кулі на мал., N і S – географічні північний і південний полюси, так що NS – діаметр кулі. Дугу великого кола – півколо NQS, що збігається з меридіаном Гринвіча, назвемо нульовим меридіаном. Через центр кулі перпендикулярно до діаметра NS проведемо площину. Перетин цієї площини зі сферою C назвемо екватором і позначимо літерою K. Координати точки P C, відмінної від полюсів, визначимо таким чином. Проведемо велике півколо NQS. Через E і F позначимо точки перетину півкіл NQS і NPS з екватором K. Сферичною довготою точки P назвемо градусну міру дуги EF. Відмітимо, що і вимірюється проти годинникової стрілки, якщо дивитися з північного полюса N. Сферичною широтою назвемо градусну міру

Введенні координати – сферична довгота і сферична широта - однозначно визначають положення точки P C. Для полюсів сферичну довготу вважатимемо не визначеною, а сферичну широту північного полюса N – рівною , а південного полюса S – . Позначимо географічну широту через , а географічну довготу через і встановимо формули переходу від географічних до визначених нами сферичних координат. Розглянемо 4 випадки.

1. Східна частина північної півкулі:

2. Західна частина північної півкулі:

3. Східна частина південної півкулі

4. Західна частина південної півкулі:

Приклад. 
Географічні координати Києва північної широти і східної довготи. Це східна частина північної півкулі. Тому за допомогою формул знаходимо: Отже, сферичні координати Києва .

3.2. Формула відстані через сферичні координати

За допомогою теореми косинусів для тригранного кута виведемо формулу для обчислення відстані між точками на сфері за їх сферичними координатами.

Нехай – точки на сфері C, що не збігаються з полюсами N, S і не лежать на одному меридіані. Проведемо дуги великих кіл NA, NB i AB. При цьому отримаємо сферичний трикутник ABN.

Сполучимо вершини сферичного трикутника ABN з центром O сфери C і проведемо площини через кожну пару радіусів OA, OB, ON. Отримаємо тригранний кут OABN, що відповідає сферичному трикутнику ABN.

Враховуючи, що у тригранному куті OABN плоскі кути вимірюються дугами, на які вони спираються, тобто сторонами сферичного трикутника.

Повертаючись до обраних на сфері C точок , маємо: . Тут . Двогранний кут при ребрі ON дорівнює . Внаслідок теореми косинусів для тригранного кута, .

Оскільки , то .

Нарешті,

У випадку, коли одна з точок збігається з полюсом, при

а при

Приклад.  
Знайдемо сферичне відстань між крайньою західною та крайньою східною точками України. Крайньою західною точкою України є м. Чоп Закарпатської області (пункти A) з географічними координатами північної широти та східної довготи, а крайньою східною – с. Червона Зірка Міловського району Луганської області (пункт B) з географічними координатами північної широти та східної довготи. За формулами знаходимо сферичні координати цих пунктів.