Геометрія сфери евклідова простору

Сферичні координати пункту A , а пункт B має сферичні координати . За формулами знаходимо

За довідковими даними протяжність території України з заходу на схід становить 1 316 км. Відносна похибка обчисленої нами відстані дорівнює 0,5 % і пояснюється похибками у географічних координатах пунктів (зокрема, ми знехтували секундами), неточностями у значенні радіуса Землі та недосконалістю математичної моделі (припущення, що Земля – ідеальна куля)

3.3. Розв’язання сферичних трикутників

Досліджені нами тригонометричні співвідношення дозволяють «розв’язати сферичний трикутник»

ЗАДАЧА 1

Визначити найкоротшу відстань (ортодромію) між двома точками М (52°17´; 55°36´), що лежать у північній частині земної кулі ( R = 6370 км). Знайти азимут точки М по відношенню до точки М .

Розглянемо сферичний трикутник М РМ (рис.18).  Тут Р – полюс; АВ – екватор; РМ Р та РМ Р - медіани, що проходять відповідно через точки М та М ; М М - дуга великого кола, що проходить через точки М та М . Дуга М М визначає найкоротшу відстань між точками М та М .

У цьому трикутнику кути: 
М РМ = ; РМ М = і РМ М = , а сторони М Р = 90° - .

Різниця довгот:

55°36´ - 49°30´; = 6°06´.

Для визначення ортодромії М М скористаємось формулою косинуса сторони сферичного трикутника:

cosa = cosbcosc + sinbsinccosA .

У даному випадку формула набуває вигляду:

сosМ М = cos(90° - )cos(90° - ) + sin(90° - ) sin(90° - ) cos ;

сosМ М = sin sin + cos cos cos .

Обчислення:

= 6°,100000 ; cos = 0,9943379;

= 52°183333; sin = 0,789977; cos = 0,613137;

- 58°,283333; sin = 0,850658; cos = 0,525719;

сosМ М = 0,992513, М М = 7°,015608;

М М = 0,122455 (рад);

М М = R ∙ 0.122445 = 6370 ∙ 0.122445 = 780 (км).

Азимут = РМ М - сферичний кут трикутника М РМ .

Для обчислення азимуту точки М по відношенню до точки М , що задані своїми координатами, необхідно розв’язати косокутний трикутник за двома сторонами та кутом між ними.

У даному випадку знайти азимут можна за формулою:

сosРМ = сos М РсosМ М + sinМ РsinМ М сosРМ М ,

де РМ = 90° - ; М Р = 90° - ; М М = 7°,0156078

(знайдено у першій  частині); РМ М = .

Обчислення:

сos = = 
= = = 0,889262

= 27°,219322 = 27°13´09´´.

У даному прикладі відносна похибка між знайденими величинами азимуту становить 0,024%.

ЗАДАЧА 2

Нехай О - центр земної кулі; ААВ - дуга кола широти, і треба довести, що ортодромія коротше локсодромії.

Ортодромія - найкоротша лінія між двома точками на поверхні обертання.

Локсодромія - лінія на сфері, що перетинає всі меридіани під постійним кутом.

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання. Нехай АаВ - дуга великого кола , тоді АО = OB = R , так як точка А і точка В лежать на широті 60°, тобто радіуси ОА і ОВ складають з ОС кут в 30 ° DАСО – прямокутний: 
AC = N

n = , ac = .

Довжина дуги АВ становить довжини кола широти , а тому коло цей має вдвічі менше довжину , ніж велике коло , то довжина малого кола дорівнює: 
АВ =  
для того щоб визначити довжину дуги великого кола - АаВ , треба знати градусну мepy ÐAOB 
АВ = , так як АВ - є сторона правильного шестикутника , стягуючого дугу в 60°.  , АВ = R.

Проведемо = DB і розглянемо D ODA, він прямокутний, тому що  
Ð D = 90° .

ЗАДАЧА 3

Мореплавець Христофор Веспуччі проплив 1800 миль в одному напрямку з точки А в точку В, повернув на 60 градусів і проплив в новому напрямку ще 2700 миль, опинився в точці С. Потрібно знайти відстань між точками А і С (по поверхні земної кулі).

Розв’язання. Позначимо через a, b і с довжини дуг ВС, АС і АВ відповідно, y — внутрішній кут при вершині В сферичного трикутника АВС. Тоді

,

, де R — радіус земної кулі, виражений  в морських милях.

За теоремою косинусів для сферичного трикутника

 

За таблицею або за допомогою калькулятора знаходимо, що

радиан.

Відповідно, двжина дуги АС = b дорівнює b = R∙0.90662 = 3437.4∙0.90662 ≈ 3116.7 миль.

Відповідь: 3117 морських миль 5772 км.

 

 

ВИСНОВОК

В наш час все більшого значення набуває визначення зміни положення точок земної поверхні, які спричиняються глобальними еволюційними процесами в житті Землі і проявляються в рухах Землі, переміщенням літосферних плит, нерівномірності обертання Землі, переміщення полюсів та центра мас.

Були досліджені теорема косинусів та синусів для сферичного трикутника, формули для знаходження площі в сферичному трикутнику.

Матеріал, який використовувався під час роботи буде корисним учням 11 класів, які збираються по закінченню школи навчатись на кафедрі геодезії та картографії.

Вивчаючи теорію сферичної геометрії і розглядаючи практичні задачі, ми прийшли до висновку, що елементи сфери: кути, відрізки, многокутники розглядаються по-іншому, ніж ці фігури на площині або в просторі в евклідовій геометрії.

По-різному трактуються знайомі нам теореми. Наприклад, ми знаємо, що сума кутів трикутника 180 градусів, але сума кутів будь-якого сферичного трикутника завжди більша за 180 градусів. (вимірюється в радіанах) – величина позитивна і називається сферичним надлишком даного сферичного трикутника.

В шкільному курсі геометрії ми вивчали, що мінімальне число вершин многокутника дорівнює трьом. Насправді, неможливо побудувати многокутник з меншою кількістю вершин. Вивчаючи сферичну геометрію ми дізналась про нову для нас фігуру – двокутник.

Також ми продемонстрували як за допомогу переходу від географічних координат до сферичних можна визначити відстань між точками на земній поверхні більш точно та якісно.

Сферичні координати широко використовуються для визначення положення тіл у просторі. Наприклад, у навігації при визначенні місця знаходження літака, корабля тощо, в астрономії при визначенні положення зірок та інших небесних тіл, в географії при визначенні положення об’єктів на поверхні Землі і т.д.

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

1. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч.2. М. Учпедгиз, 1958. Андреев
2. Атанасян Л.С. Геометрия. Ч.2. – М: Просвещение, 1987. – 352с.
3. Базылев В.Т. Геометрия. М: Просвещение, 1975.
4. Базылев В.Т. Сборник задач по геометрии. М: Просвещение, 1980. -       240с.
5. Егоров И.П. Геометрия. – М: Просвещение, 1979. – 256с.
6. Егоров И.П. Основания геометрии. – М: Просвещение, 1984. – 144с.
7. Задачник «Кванта»: Математика. Часть 1. / Под ред. Н.Б. Васильева. М: 1997.
8. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. Развитие понятия о геометрическом пространстве. М. Наука., 1976. – 408с.
9. Энциклопедия элементарной математики. Кн.4 – Геометрия. М., 1963
10. Борисенко О.А., Ушакова Л.М. Аналітична геометрія. – Х.: Основа, 1993. – 192 с.
11. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия. – М.: Наука, 1977. – 135 с.
12. Кашкаха В.Е., Откидач В.В. Сферическая тригонометрия и вычислительные методы в маркшейдерском деле. – Донецк: ДонГУ, 1984. – 112 с.
13. Кранц П. Сферическая тригонометрия. – М.: URSS.ЛКИ, 2007. – 93 с.
14. Матвиевская Г.П. Становление плоской и сферической тригонометрии. Из истории математических идей. – М.: Знание, 1982. – 64 с.
15. Пандул И.С. Сферическая тригонометрия и сферическая астрономия применительно к решению инженерно-геодезических задач. – Л.: ЛГИ, 1982. – 99 с.
16. Сандраков П.В. Решение сферических треугольников. –
17. Пермь: ПермПИ, 1970. – 81 с.
18. Тарасенкова Н.А., Петрова Є.В. Вступ до сферичної гео- метрії. – Черкаси: ЧНУ, 2008. – 80 с.