Имитационное моделирование

Министерство образования и  науки Российской Федерации

федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение высшего  профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский  политехнический университет»

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Имитационное моделирование»

Вариант № 03

 

 

Выполнила студентка

Гуманитарного факультета

Заочного отделения

Группа ИЭ-09С

Костылева Ольга Викторовна

Проверил преподаватель:

Гоголева Т.В.

 

 

 

Пермь 2012 г.

Содержание

Задание № 1 3

Задание № 2 6

Задание № 3 7

 

 

Задание № 1

 

Определить площадь фигуры, заданной координатами вершин, методом Монте-Карло, проведя 20 испытаний. Оценить точность результата. Определить площадь фигуры аналитически и сравнить полученные результаты.

А(5;0),  B(2;3), C(10;18), D(15;15), E(20,5), F(10;0)

Нарисуем в двухмерных координатах  заданный шестиугольник, вписав его в прямоугольник, чья площадь составляет (20 – 2) · (18 – 0) = 324 (рис.1)

Рис. 1 Иллюстрация к решению задачи о площади фигуры методом Монте-Карло

Используем таблицу случайных  чисел для генерации пар чисел R, G, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Число R будет имитировать координату X (0 ≤ X ≤ 18), следовательно, X = 18 · R. Число G будет имитировать координату Y (0 ≤ Y ≤ 15), следовательно, Y = 15 · G. Сгенерируем по 10 чисел R и G и отобразим 10 точек (X; Y) на рис. 1 и в табл. 1

Таблица 1 
Решение задачи методом Монте-Карло

Номер точки	R	G	X	Y	Количество попаданий точки (X; Y) в  прямоугольник	Количество попаданий точки (X; Y) в  шестиугольник	Оценка вероятности попадания  случайной точки в испытуемую область	Оценка площади S методом Монте-Карло
1	0,9456	0,4150	18,912	7,470	1	0	0,00	162
2	0,3441	0,2779	6,882	5,002	2	1	0,50	108
3	0,0832	0,0308	1,664	0,555	3	1	0,33	162
4	0,5407	0,0384	10,814	0,690	4	2	0,50	194
5	0,4527	0,2042	9,054	3,676	5	3	0,60	216
6	0,3807	0,4554	7,615	8,197	6	4	0,67	231
7	0,8751	0,2393	17,502	4,307	7	5	0,71	203
8	0,7470	0,9217	14,939	16,591	8	5	0,63	180
9	0,3227	0,7759	6,455	13,966	9	5	0,56	162
10	0,7232	0,9440	14,464	16,993	10	5	0,50	147
11	0,3351	0,8217	6,701	14,791	11	5	0,45	162
12	0,8123	0,2130	16,246	3,834	12	6	0,50	150
13	0,0745	0,4435	1,490	7,983	13	6	0,46	162
14	0,1759	0,3659	3,518	6,586	14	7	0,50	173
15	0,3028	0,1434	6,056	2,582	15	8	0,53	162
16	0,2662	0,5779	5,323	10,402	16	8	0,50	172
17	0,5093	0,2303	10,187	4,146	17	9	0,53	162
18	0,8432	0,6452	16,864	11,613	18	9	0,50	171
19	0,6936	0,4398	13,872	7,916	19	10	0,53	178
20	0,4872	0,9587	9,745	17,257	20	11	0,55	162

 

Статистическая гипотеза заключается  в том, что количество точек, попавших в контур фигуры, пропорционально  площади фигуры: 11:20 = S:324. То есть, по формуле метода Монте-Карло, получаем, что площадь S пятиугольника равна: 324 · 11/20 = 178.

Поскольку в ответе все еще меняется значение второго разряда, то возможная  неточность составляет пока больше 10%. Точность расчета может быть увеличена с ростом числа испытаний.

Для аналитического расчета площади  фигуры можно использовать формулу  нахождения площади треугольника с  известными координатами вершин:

 

Пусть точки А₁(2;3), А₂(10;18), А₃(5;0) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Пусть точки А₂(10;18), А₃(5;0), А₄(15;15) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Пусть точки А₃(5;0), А₄(15;15), А₅(10;0) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Пусть точки А₄(15;15), А₅(10;0), А₆(20;5) – вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:

Общая площадь равна: 34,5+52,5+37,5+62,5 = 187

 

 

 

 

Задание № 2

 

Кафе быстрого питания может  обслужить 15 человек в час. Определить вероятность того, что за 0,5 часа:

•   будут обслужены 5 человек.
•   не будет обслужено ни одного человека
•   обслужат хотя бы одного человека

(Поток является простейшим  Пуассоновским)

 

Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/T_н, где N — число событий, произошедших за время наблюдения T_н.

λ=15/1=15чел/час

Для простейшего  потока вероятность появления m событий за время τ равна:

 

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Вероятность появления хотя бы одного события (P_ХБ1С) вычисляется так:

 

Задание № 3

 

Салон в среднем посещают 4 клиента  за час. Обслуживанием занимаются 2 мастера, первый в среднем обслуживает 1 клиента в час, а второй в среднем  обслуживает 2 клиента в час. В фойе рассчитано на ожидание очереди 2 клиентами. Сгенерируйте поток случайных событий. Проанализируйте временную диаграмму за время наблюдения 3 часа.

Определите:

1. Вероятность обслуживания
2. Пропускную способность системы
3. Вероятность отказа
4. Вероятность занятости одного канала
5. Вероятность занятости двух каналов
6. Среднее количество занятых каналов
7. Вероятность простоя хотя бы одного канала
8. Вероятность простоя двух каналов одновременно
9. Вероятность простоя всей системы
10. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка
11. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки
12. Среднее время ожидания заявки в очереди
13. Среднее время обслуживания заявки
14. Среднее время нахождения заявки в системе

Построим  схему объекта моделирования

 

 

 

 

 

Построим временную диаграмму работы СМО, отражая на каждой линейке (ось времени t) состояние отдельного элемента системы. Временных линеек проводится столько, сколько имеется различных мест в СМО, потоков. В нашей задаче их 7 (поток заявок, поток ожидания на первом месте в очереди, поток ожидания на втором месте в очереди, поток обслуживания в канале 1, поток обслуживания в канале 2, поток обслуженных системой заявок, поток отказанных заявок).

Для генерации времени прихода  заявок используем формулу вычисления интервала между моментами прихода  двух случайных событий  

В этой формуле  величина потока λ должна быть задана (до этого она должна быть определена экспериментально на объекте как статистическое среднее),

r — случайное равномерно распределенное число от 0 до 1 из ГСЧ или таблицы случайных чисел, в которой случайные числа нужно брать подряд (не выбирая специально).

Сгенерируем поток из 15 случайных событий с интенсивностью появления событий 4 клиента/час. Для этого возьмем случайные числа, равномерно распределенные в интервале от 0 до 1, и вычислим их натуральные логарифмы.

Расчет  расстояния между случайными событиями  на первой линейке.

rрр[0; 1]	ln(rрр[0; 1])	Расстояние между двумя случайными событиями	Время, мин.
-	-	-	0
0,0333	-3,4022	0,85055	51:03
0,3557	-1,0337	0,25843	15:51
0,2172	-1,5269	0,38173	23:30
0,5370	-0,6218	0,15545	9:33
0,1958	-1,6307	0,40768	24:46
0,7003	-0,3562	0,08905	5:34
0,9499	-0,0514	0,01285	1:17
0,2748	-1,2917	0,32293	19:38
0,4443	-0,8113	0,20283	12:17
0,1090	-2,2164	0,55410	33:25
0,6982	-0,3592	0,6982	5:39
0,5643	-0,5722	0,5643	8:58
0,0415	-3,1821	0,0415	48:13
0,1652	-1,8006	0,1652	27:01
0,8155	-0,204	0,8155	3:06