Имитационное моделирование

Формула пуассоновского потока определяет расстояние между двумя случайными событиями следующим образом: t = –Ln(r_рр)/λ. Тогда, учитывая, что λ = 4, имеем расстояния между двумя случайными соседними событиями: 0.85, 0.26, 0.38, 0.16 часа. То есть события наступают: первое — в момент времени t = 0, второе — в момент времени t = 0,85, третье — в момент времени t = 1,11, четвертое — в момент времени t = 1,49, пятое — в момент времени t = 1,65 и так далее. События — приход заявок отразим на первой линейке.

Берется первая заявка и, так как в этот момент каналы свободны, устанавливается  на обслуживание в первый канал. Заявка 1 переносится на линейку «Канал 1».

Время обслуживания в канале тоже случайное  и вычисляется по аналогичной  формуле:

где роль интенсивности  играет величина потока обслуживания μ₁ или μ₂ в зависимости от того, какой канал обслуживает заявку.

Расчет  расстояния между случайными событиями  на второй линейке, при условии, что μ₁=1.

rрр[0; 1]	ln(rрр[0; 1])	Расстояние между двумя случайными событиями	Время, мин
-	-	-	0
0,6855	-0,3776	0,37760	23:06
0,7644	-0,2687	0,26870	16:12
0,8276	-0,1892	0,18920	11:35
0,9595	-0,0413	0,04130	2:48
0,2194	-1,5169	1,51690	1:31:01
0,4268	-0,8514	0,85140	51:08
0,9526	-0,0486	0,04860	3:32
0,8395	-0,1749	0,17490	10:49
0,9232	-0,0799	0,07990	5:19
0,8109	-0,2096	0,20960	12:58

 

Расчет  расстояния между случайными событиями  на третьей линейке, при условии, что μ₁=2.

rрр[0; 1]	ln(rрр[0; 1])	Расстояние между двумя случайными событиями	Время, мин
-	-	-	51:03
0,451	-0,7963	0,3982	24:29
0,6048	-0,5029	0,2515	15:09
0,6617	-0,4129	0,2065	12:39
0,5997	-0,5113	0,2557	15:34
0,5492	-0,5993	0,2997	18:38
0,72	-0,3285	0,16425	10:26
0,114	-2,1716	1,08580	1:05:15
0,4062	-0,9009	0,45045	27:03
0,1214	-2,1087	1,05435	1:03:26
0,6713	-0,3985	0,19925	12:36

 

Если в некоторый момент окажется, что оба канала заняты, то следует  установить заявку в очередь. Заметим, что по условиям задачи в очереди  в отличие от каналов заявки находятся  не случайное время, а ожидают, когда  освободится какой-то из каналов. После  освобождения канала заявка поднимается  на линейку соответствующего канала и там организуется ее обслуживание.

Если все места в очереди  в момент, когда придет очередная  заявка, будут заняты, то заявку следует  отправить на линейку «Отказанные».

Процедуру имитации обслуживания заявок продолжают некоторое время наблюдения T_н. Чем больше это время, тем точнее в дальнейшем будут результаты моделирования. Реально для простых систем выбирают T_н, равное 50—100 и более часов, хотя иногда лучше мерить эту величину количеством рассмотренных заявок.

 

 

 

Временная диаграмма работы СМО

 

Анализ  временной диаграммы

Сначала нужно дождаться установившегося  режима. Откидываем первые четыре заявки как нехарактерные, протекающие  во время процесса установления работы системы. Измеряем время наблюдения, допустим, что в нашем примере  оно составит T_н = 3 часа. Подсчитываем из диаграммы количество обслуженных заявок N_обс., времена простоя и другие величины. В результате можем вычислить показатели, характеризующие качество работы СМО.

1. Вероятность обслуживания: P_обс. = N_обс./N = 9/9 = 1. Для расчета вероятности обслуживания заявки в системе достаточно разделить число заявок, которым удалось обслужиться за время T_н (см. линейку «Обслуженные») N_обс., на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время.
2. Пропускная способность системы: A = N_обс./T_н = 9/3 = 3 [клиента/час]. Для расчета пропускной способности системы достаточно разделить число обслуженных заявок N_обс. на время T_н, за которое произошло это обслуживание (см. линейку «Обслуженные»).
3. Вероятность отказа: P_отк. = N_отк./N = 0/9 = 0. Для расчета вероятности отказа заявке в обслуживании достаточно разделить число заявок N_отк., которым отказали за время T_н (см. линейку «Отказанные»), на число заявок N, которые хотели обслужиться за это же время.
4. Вероятность занятости одного канала: P₁ = T_зан./T_н = 1,05/3 = 0,35 где T_зан. — время занятости только одного канала (первого или второго). Измерениям подлежат временные отрезки, на которых происходят определенные события. Например, на диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых заняты или первый или второй канал. В данном задании есть шесть таких отрезков общей длиной 0,15+0,08+0,07+0,2+0,28+0,27=1,05 часа.
5. Вероятность занятости двух каналов: P₂ = T_зан./T_н = 1,67/3 = 0,56. На диаграмме ищутся такие отрезки, во время которых одновременно заняты и первый, и второй канал. В данном задании есть пять таких отрезков общей длиной 0,1+0,15+0,27+0,77+0,38=1,67 часа. Доля продолжительности этих событий в общем времени рассмотрения (T_н = 3 часа) определяется делением и составляет искомую вероятность занятости.
6. Среднее количество занятых каналов: N_ск = 0 · P₀ + 1 · P₁ + 2 · P₂ = 0,35+ 2*0,56 = 1,47. Чтобы подсчитать, сколько каналов занято в системе в среднем, достаточно знать долю (вероятность занятости одного канала) и умножить на вес этой доли (один канал), знать долю (вероятность занятости двух каналов) и умножить на вес этой доли (два канала) и так далее. Полученная цифра 1,47 говорит о том, что из возможных двух каналов в среднем загружено 1,47. Показатель загрузки –  73,5%.
7. Вероятность простоя хотя бы одного канала: P^*₁ = T_{простоя1}/T_н = 1,05/3=0,35.
8. Вероятность простоя двух каналов одновременно: P^*₂ = T_{простоя2}/T_н = 0,15.
9. Вероятность простоя всей системы: P^*_c = T_{простоя сист.}/T_н = 0,18.
10. Вероятность того, что в очереди будет одна заявка: P_1з = T_1з/T_н = 0,3/3 = 0,1 (всего на диаграмме два таких отрезка, в сумме дающих 0,3 часа).
11. Вероятность того, в очереди будет стоять одновременно две заявки: P_2з = T_2з/T_н = 0,07/3 = 0,02 (всего на диаграмме один такой отрезок, в сумме дающий 0,07 часа).
12. Среднее время ожидания заявки в очереди:

 

13. Среднее время обслуживания заявки:

 

14. Среднее время нахождения заявки в системе: T_{ср. сист.} = T_ср. ож. + T_{ср. обсл.} = 0,18+ 0,26 = 0,44 .