Автор работы: Пользователь скрыл имя, 10 Января 2014 в 23:27, курсовая работа
Статистические связи устанавливаются при расчёте средних значений моделируемого показателя по набору множества значений доминирующих факторов. Эти связи позволяют выявить степень воздействия как отдельных факторов, так и всей совокупности факторов, на изучаемый процесс.
Целью данной курсовой работы является изучение методов получения таких ЭСМ, как трендовые и корреляционные модели, а также определение с их помощью тесноты связей между различными факторами и закономерностей развития описываемых событий.
Первая часть (см. табл.1) составлена по годам от 1 до 6, а вторая – от 7 до 13, так, что t=1, t1=6, t1+1=7, N=13.
Подставив в уравнение (7) подсчитанные для первой части табл.1 суммы: t; Yt, и в уравнение (8) для второй части - суммы: t; Yt , получим:
6A + 21B = 410,9
7A + 70B = 560,4 (10)
Выразим из уравнения (10) параметр А:
A= 80.05-10B
Подставим (11) в уравнение (9), получим
6(80.05-10B)+21B=410.9. Откуда:
B=1.77
Подставим (12) в (9), получим
A=62.35
Линейная корреляционная функция окончательно примет вид:
=62.35+1.77t . (I) (14)
4.3. Выравнивание методом наименьших квадратов (МНК)
В качестве целевой функции в данном методе используется функционал
S =
( Yt –
)2 → min,
представляющий собой минимизируемую сумму квадрата отклонений экспериментальных значений Yt от соответствующих результатов, полученных по выравнивающей функции . Принципиальные отличия функционала (15) от (3) состоят в следующем. Для функционала (3) весь диапазон исходных данных приходится разбивать на равные части, количество которых должно быть равно количеству определяемых коэффициентов выравнивающей функции (А,В,С и т.д.). В функционале (15) интервал суммирования охватывает весь диапазон от t=1 до t= N и сам функционал стремится к min, а разность ( Yt – ) возводится в квадрат.
Примем в качестве выравнивающей линейную функцию
= A + Bt
Так как мы используем весь заданный интервал для t (от 1 до 13), то при написании знака суммы пределы суммирования опустим.
Подставим (16) в (15)
S=∑( Yt – A - Bt)2→min.
Функционал (17) содержит два неизвестных коэффициента (АиВ). Для получения двух уравнений запишем частные производные функционала по неизвестным коэффициентам:
= 2 ∑( Yt – A - Bt)*(-1)=0,
= 2 ∑( Yt – A - Bt)*(-t)=0.
Перепишем эту систему в виде нормальных уравнений
NА + В∑t = ∑Yt ,
А∑t + В∑t2 = ∑Ytt.
Подставим в полученную систему из табл.1 расчетные параметры:∑t ; ∑Yt ; ∑t2 ; ∑Ytt:
13A+91B=971.3;
91A+819B=7059.8 .
Решением системы уравнений (22) и (23) является результат:
A= 64.71, B=1.43.
Полученное уравнение тренда примет вид:
= 64.71+1.43t .
(II)
В этом случае начало координат переносится в середину динамического ряда таким образом, чтобы количество значений аргумента слева от начала координат было равно количеству значений справа. Для нашего случая середина диапазона изменения аргумента совпадает с точкой t=7. Эта точка принимается за нуль. Тогда слева от нуля записываются отрицательные значения времени (по годам), справа – положительные. В этом случае сумма нечётных степеней аргумента равна нулю
∑t= ∑ t3 = ∑t5
= …0.
Пусть в качестве выравнивающей принята линейная функция:
= A + Bt
Тогда система нормальных уравнений
примет вид
NА + В∑t = ∑Yt ,
А∑t + В∑t2 = ∑Ytt.
С учетом (26) система уравнений (28)-(29)запишется как:
NА= ∑Yt ,
В∑t2 = ∑Ytt.
Составим новую таблицу данных в связи с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента t, то есть в точку t=7:
Таблица 2
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
t |
t2 |
Yt |
Ytt |
t4 |
Ytt2 |
|
-6 |
36 |
55.4 |
-332.4 |
1296 |
1994.4 |
-5 |
25 |
58.3 |
-291.5 |
625 |
1457.5 |
-4 |
16 |
66.2 |
-264.8 |
256 |
1059.2 |
-3 |
9 |
74.1 |
-222.3 |
81 |
666.9 |
-2 |
4 |
77 |
-154 |
16 |
308 |
-1 |
1 |
79.9 |
-79.9 |
1 |
79.9 |
0 |
0 |
87.8 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
87.6 |
87.6 |
1 |
87.6 |
2 |
4 |
82.4 |
164.8 |
16 |
329.6 |
3 |
9 |
77.2 |
231.6 |
81 |
694.8 |
4 |
16 |
77 |
308 |
256 |
1232 |
5 |
25 |
76.8 |
384 |
625 |
1920 |
6 |
36 |
71.6 |
429.6 |
1296 |
2577.6 |
∑t=0 |
∑t2=182 |
∑Yt = 971.3 |
∑Ytt=260.7 |
∑t4=4550 |
∑Ytt2=12407.5 |
Подставив в (30) и ( 31) вычисленные в табл.2 значения
: ∑Yt , ∑t2
, ∑Ytt,
13A = 971.3
182B = 260.7
Откуда
A=74.71;
B=1.43.
Таким образом, трендовая модель может быть записана как:
=74.71+1.43.
(III)
4. 5. Трендовые модели с квадратичной выравнивающей функцией
Выравнивание по квадратичной функции осуществим методом наименьших квадратов с началом отсчёта в середине динамического диапазона.
Это задание решается аналогично двум предыдущим. Запишем функционал
S =∑( Yt –
)2→min.
Пусть выравнивающая функция представлена квадратичной функцией
=A+Bt+Сt2 .
Подставим (35) в (34)
S=∑( Yt – A – Bt - Сt2)2→min.
Запишем (36) в частных производных по искомым параметрам А, В и С:
= 2 ∑( Yt
– A – Bt - Сt2)*(-1)=0,
= 2 ∑( Yt
– A – Bt - Сt2)*(-t)=0,
= 2 ∑( Yt – A – Bt - Сt2)*(-t2)=0.
В нормальной форме система уравнений (37) – (39) может быть представлена в виде
NА +
В∑t + С∑t2 = ∑Yt
,
А∑t + В∑t2
+С∑t3 = ∑Ytt,
А∑t2 + В∑t3
+С∑t4 = ∑Ytt2.
Так как ∑t=∑t3=0, то система нормальных уравнений примет вид:
NА + С∑t2
= ∑Yt ,
В∑t2
= ∑Ytt,
А∑t2
+С∑t4 = ∑Ytt2
.
Подставим данные табл.2 в систему уравнений (43) – (45) и получим:
13A + 182C = 971,3;
182B = 260,7;
182A + 4550C = 12407,5.
Решение этой системы уравнений дает возможность получить искомые коэффициенты:
A = 82.92; B = 1.43; C = - 0.59. (46)
Тогда квадратическая трендовая модель примет вид:
= 82.92+ 1.43t – 0.59t2 . (IV) (47)
4.6. Определение коэффициентов вариации трендовых моделей
С использованием коэффициентов вариации Vr по формуле (48) определим точность полученных методом наименьших квадратов линейной модели-11(уравнение (25)) и параболической модели-1V(уравнение (47))
Vr=
Исходные данные для расчета входящих в уравнение (48) составляющих параметров представлены в таблице 3.
Таблица 3
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
t (2) |
t(4) |
Yt |
Yt модель-11 |
Yt- |
(Yt- )2 |
Yt модель1V |
Yt- |
(Yt- )2 |
|
1 |
-6 |
55.4 |
66.14 |
-10.74 |
115.3 |
53.1 |
2.3 |
5.29 |
2 |
-5 |
58.3 |
67.57 |
-9.27 |
85.93 |
61.02 |
-2.72 |
7.39 |
3 |
-4 |
66.2 |
69 |
-2.8 |
7.84 |
67.72 |
-1.56 |
2.43 |
4 |
-3 |
74.1 |
70.43 |
3.67 |
13.46 |
73.32 |
0.78 |
0.60 |
5 |
-2 |
77 |
71.86 |
5.14 |
26.41 |
77.7 |
-0.7 |
0.49 |
6 |
-1 |
79.9 |
73.29 |
6.61 |
43.69 |
80.9 |
-1 |
1 |
7 |
0 |
87.8 |
74.72 |
13.08 |
171.08 |
82.92 |
4.88 |
23.81 |
8 |
1 |
87.6 |
76.15 |
11.45 |
131.10 |
83.76 |
3,84 |
14,74 |
9 |
2 |
82.4 |
77.58 |
4.82 |
23.23 |
83.42 |
-1.02 |
1.04 |
10 |
3 |
77.2 |
79.01 |
1.81 |
3.27 |
81.9 |
-4.7 |
22.09 |
11 |
4 |
77 |
80.44 |
-3.44 |
11.83 |
79.4 |
-2.4 |
5.76 |
12 |
5 |
76.8 |
81.87 |
-5.07 |
25.70 |
75.32 |
1.48 |
2.19 |
13 |
6 |
71.6 |
83.3 |
-11.7 |
136.8 |
70.26 |
1.34 |
1.79 |
=91 |
=0 |
∑Yt = 971.3 |
Yt=64.71+1.43t |
∑=795.7 |
Yt=82.92+ 1.43t– 0.59t2 |
∑=88,62 |