Иррациональные уравнения

                                 Содержание.

1.Иррациональные уравнения.

2.Решение простейших  показательных уравнений.

3. Понятие логарифма числа.

5.Решение простейших логарифмических уравнений.

6. Формулы тригонометрии.

7. Решение  простейших тригонометрических уравнений.

8. Возвратные уравнения

 

Решение уравнений.

1. 1.Иррациональные уравнения.        

Уравнение А(х)=В(х), в котором хотя бы одно из выражений А(х), В(х) иррационально, называется иррациональным.

 

Примерами таких уравнений могут служить:

Понятие корня уравнения и его решения для иррациональных уравнений определяют так же, как и для рациональных.

Все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими.

Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла, если подкоренное выражение равно нулю, то корень так же равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любых действительных значениях подкоренного выражения.

 

Функции  у =   и   y= являются возрастающими на всей области определения.

 

Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, что уравнение не имеет решения, не прибегая к преобразованиям.

 

Задача 1. Докажите, что уравнение не имеет решения.

 

. Арифметический корень не  может быть отрицательным, уравнение  не имеет корней.

Задача 2.Почему уравнение не может иметь корни?

.Сумма двух не отрицательных  выражений не  равна 0.

                         2.Причина появления посторонних  корней.

 

Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении:

а) Если п>0, п-нечетное число , п =2k+1 ,то Аn(х)=Вn(х) и А(х)=В(х) равносильны;

Если п>0, п-четное число , п =2k ,то Аn(х)=Вn(х) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений : А(х)=В(х) или А(х)=-В(х).

Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе части в степень с четным показателем. Но могут появиться посторонние корни уравнения, т.е. корни уравнения А(х)=В(х).

 

Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней:

 

а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения).

 

б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.

 

3.Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием

 

( с последующей проверкой корней) можно производить следующим  образом:

 

• Найти ОДЗ исходного уравнения.
• Перейти от уравнения к его следствию.
• Найти корни полученного уравнения.
• Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.

 

                                  4.Проверка корней.

 

4) Чтобы отделить посторонние  корни, не всегда необходимо подставлять  найденные корни в данное уравнение. Рассмотрим два вида уравнений:

                                   6-х≥0,                  х ≤6,                                х ≤6,                        х ≤6,

       2х+3= (6-х)2 ;       2х+3= 36-12х+х2 ;             х2-14х+33=0;        х=3,

                                                                                                                                        х=11.

  Ответ: 3

 

1.2. Решение простейших показательных уравнений.

Что такое показательное уравнение? Это уравнение, в котором неизвестные (иксы) и выражения с ними находятся в показателях каких-то степеней. И только там! Это важно.

Вот примеры показательных уравнений:

а)5х+2=125

б)

в)

Ну, и так далее.

Обратите внимание! В основаниях степеней (внизу) - только числа. В показателях степеней (вверху) - самые разнообразные выражения с иксом. Если в уравнении х находится в другой постановке, не в показателе, например:

2х = 3-х,

это будет уже уравнение смешанного типа. Такие уравнения не имеют чётких правил решения. Уместно представить как      у=2х

                                                                   у=3-х и построить графики функций.

Вообще-то, даже чистые показательные уравнения чётко решаются далеко не всегда. Но существуют определённые типы показательных уравнений, которые решать можно и нужно. Вот эти типы мы и рассмотрим.

Решение простейших показательных уравнений.

Для начала решим что-нибудь совсем элементарное. Например:

3х= 9

Даже безо всяких теорий, по простому подбору ясно, что х=2. Больше-то никак, верно!? Никакое другое значение икса не устраивают. А теперь обратим внимание на запись решения этого хитрого показательного уравнения:

 

3х = 32

х = 2

Что мы сделали? Мы, фактически, просто выкинули одинаковые основания (тройки).  По   свойству возрастающей функции и теореме существования единственного корня, приравняем показатели степеней.  Действительно, если в показательном уравнении слева и справа стоят одинаковые основания в каких угодно степенях, то показатели так же будут равными.

Однако, запомним: убирать основания можно только тогда, когда слева и справа числа-основания находятся в гордом одиночестве! Безо всяких соседей и коэффициентов. Скажем, в уравнениях:

◄2х+2х+1 = 33, или

◄2·2х = 1024- необходимо сделать незначительные преобразования.

А следующее уравнение не так просто.

22х - 8х+1 = 0

Первый зоркий взгляд - на основания. Они... Они разные! 2 и 8. Но впадать в уныние - рано. Самое время вспомнить, что 8 = 23  , 8х+1 = (23)х+1 или 23(х+1), то вообще отлично получается:

22х - 23(х+1) = 0

Переносим 23(х+1) вправо (элементарных действий математики никто не отменял!), получаем:

22х = 23(х+1)

Вот, практически, и всё. Убираем основания:

2х = 3(х+1)

Ну а корень линейного уравнения находим без затруднения -

х = -3

Это правильный ответ.

В этом примере нас выручило знание степеней двойки. Мы опознали в восьмёрке зашифрованную двойку. Этот приём  очень важный приём в показательных уравнениях! Да и в логарифмах тоже. Надо уметь узнавать в числах степени других чисел. Это крайне важно для решения показательных уравнений.

Например, при решении показательных уравнений очень часто помогает вынесение общего множителя за скобки (привет 7 классу!). Смотрим примерчик:

3(2х+4) -11·9х = 210

И вновь, первый взгляд - на основания! Основания у степеней разные... Тройка и девятка. А нам хочется, чтобы были - одинаковые. Что ж, в этом случае желание вполне исполнимое!) Потому, что:9х = (32)х = 32х - по тем же правилам действий со степенями:32х+4 = 32х·34,значит,

32х·34 - 11·32х = 210 мы привели уравнения к одинаковым основаниям. И что дальше!? Вовсе нет. Запоминаем самое универсальное и мощное правило решения всех математических заданий:

Что в этом показательном уравнении можно сделать? Да в левой части прямо просится вынесение за скобки! Общий множитель 32х явно намекает на это. Попробуем, а дальше видно будет:

32х(34 - 11) = 210

32х ·70= 210

Вспоминаем, что для ликвидации оснований нам необходима чистая степень, безо всяких коэффициентов. Нам число 70 мешает. Вот и делим обе части уравнения на 70, получаем:

32х = 3

32х = 31

2х = 1

х = 0,5

Это окончательный ответ.

Случается, однако, что выруливание на одинаковые основания получается, а вот их ликвидация - никак. Такое бывает в показательных уравнениях другого типа. Освоим этот тип.

Замена переменной в решении показательных уравнений.

Примеры.

Решить уравнение:4х - 3·2х +2 = 0

Сначала - как обычно. Переходим к одному основанию 2.

Получаем уравнение:

22х - 3·2х +2 = 0 . В этом случае предыдущий способ применить не получается, применим другой способ. Называется он - замена переменной .Этот  универсальный способ знаком был при решении возвратных  и биквадратных уравнений.

Суть способа проста до удивления. Вместо одного сложного значка (в нашем случае - 2х) пишем другой, попроще (например - t). Такая, казалось бы, бессмысленная замена приводит к быстрому результату!) Просто всё становится ясным и понятным!

 

Итак, пусть

 

2х = t

 

Тогда 22х = 2х2 = (2х)2 = t2

 

Заменяем в нашем уравнении все степени с иксами на t:

 

t2 - 3t+2 = 0

 

Квадратные уравнения не забыли ещё? Решаем через дискриминант или уместно применить теорему Виета, получаем:

 

t = 2

 

t = 1

 

Тут, главное, не останавливаться, как бывает... Это ещё не ответ, нас интересует  не t. Возвращаемся к х, т.е. делаем обратную замену. Сначала для t1:

 

t = 2 = 2х

Стало быть,

2х = 2

х = 1

Один корень нашли. Ищем второй, из :

t= 1 = 2х

2х = 1

Значит:

2х = 20

х = 0

Вот теперь всё. Получили 2 корня:

х = 1

х = 0

Это ответ.

Практические советы:

1. Первым делом смотрим на  основания степеней. Соображаем, нельзя  ли их сделать одинаковыми. Пробуем  это сделать, активно используя  действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже  можно превращать в степени!

 

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах - считаем.

 

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего - квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

 

4. Для успешного решения показательных  уравнений надо степени некоторых  чисел знать "в лицо".

Решить показательные уравнения:

 

◄6х = 216

◄8х+1 = 0,125

◄2х+3 - 2х+2 - 2х = 48

◄9х - 8·3х = 9

◄24х+2 5-3х-1=6,25 2х+2

◄ 2х = 7   - В этом случае при решении   в конце иногда получается какое-то неудобное выражение (x = log27 пока трудно, о таких уравнениях в грядущей теме)

Для начала решите в уме вот такое уравнение:

 

3x = 9

 

Это показательное уравнение. Оно так называется потому, что х стоит в показателе степени. Если вы не в ладах с показательными уравнениями, или вообще про них ничего не слышали - не страшно. Просто подберите х, чтобы равенство сработало. Удалось? Ну да, х = 2. Три в квадрате - это девять.

 

А теперь решите почти то же самое:

 

3x = 8

 

Что, что-то не так? Согласитесь, что это как-то нечестно – с девяткой пример решается в уме, а с восьмеркой не решается вовсе! Ну чем девятка лучше восьмерки?! Математика не терпит такой дискриминации. Для математики все числа равны! Ну, не буквально, конечно….

Можно сообразить, что икс – какое-то дробное число, между единичкой (31 = 3) и двойкой (32 = 9). И даже приближенно подобрать, найти это число. Математика решает вопрос как всегда радикально и элегантно. Просто введением понятия логарифма. Итак, что такое логарифм?

Вернёмся к нашему загадочному примеру:

 

3x = 8.

х - это число, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8. Фраза понятна? Если не понятна, прочитайте ещё раз. И ещё. Это важно.

Вот и назовём это число логарифмом восьми по основанию три. Записывается это вот как:

х = log38

Читаем ещё раз: "икс равен логарифму восьми по основанию три".

Где что пишется – запомнить легко: число 3 – называется основанием, пишется в логарифме и в показательном выражении внизу. Основание у чего угодно - оно, обычно, внизу бывает.

И это правильный ответ!

Вот и всё.

Мы решили показательное уравнение 3x = 8!

 

Ответ: х = log38 .

 И, неожиданно для себя, научились  решать все показательные уравнения  такого типа!

Как решить пример:

5x = 12 ?

Легко! х - это число, в которое надо возвести 5, чтобы получить 12. В математической записи:

х = log512

Ещё пример:

2x =135 ?

х = log2135

И ещё:

19x = 0,352 ?

х = log190,352

Это все верные ответы! 

На вопрос: чему равен х в уравнении

3x = 8 ?

 Мы честно отвечаем: х равен  числу, в которое надо возвести 3, чтобы получить 8! Или, чтобы так долго не говорить, пишем в сокращённом варианте, через логарифм:

х = log38

Вас смущает, что вместо конкретного числа мы пишем какие-то значки с цифрами? Это конкретное число:

х = log38 = 1,892789260714.....

И это число никогда не кончается. Иррациональное оно...

х = log24 нехорош. Этот логарифм вычисляется, и его вы обязаны посчитать. Собственно, это и есть решение логарифма.

И чему же равен log24?

log24 - это число, в которое надо возвести 2 (основание), чтобы получить 4. Ну, во что надо возвести 2, чтобы получить 4!?

Да! Во вторую:

log24 = 2

А log327 чему равен? Тройка в какой степени даст 27? В третьей! Ответ:

log327 = 3

Усвоили? Ну-ка разовьём успех! Решаем примеры:

 

◄log381 =

 

◄log416 =

 

◄log55 =

 

◄log6216 =

 

 

 

 

 

 

Вот мы и познакомились с логарифмами. На понятном уровне. Вы убедились, что они не опасны. Но есть, есть особенность! Самая важная - это ограничения.

 До сих пор мы знали  два жёстких ограничения. Нельзя  делить на ноль и извлекать  корень чётной степени из отрицательного  числа. Эти ограничения играют огромную роль в решении заданий. Про ОДЗ помните? Теперь добавляются ограничения, связанные с логарифмами.

 

Запишем в общем виде, т.е. через буквы:

 

c = logab

 

или, что едино:

 

logab = c

 

Вспомним: а - это основание, которое нужно возвести в степень с, чтобы получить b.

а > 0;   a ≠ 1

 

А если мы положительное число возведём в любую степень, мы получим... получим... Да! Положительное число и получим. Отсюда:

b > 0.

Вот и все ограничения. Только на а и b. с может быть совершенно любым числом.

 

При решении числовых логарифмов эти ограничения практически не сказываются. Но при решении логарифмических уравнений и неравенств - это важно.