История числа Пи

          

Cодержание:

 

1. История числа π

                Геометрический период

                Классический период

                Эра компьютерных вычислений

 

2. Свойства

                Трансцендентность

                иррациональность

 

3. Соотношения числа Пи

 

4. Оценки Числа Пи

 

5. История вычисления

 

6. История уточнения значения числа пи

 

7. Определение местоположения элементарных частиц через Пи

                 Нерешённые проблемы

      

8. День Рожденья Числа Пи

                 Дополнительные факты

 

Приложение А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Символ константы

 

1. История Числа Пи

 

 

Название и обозначение  π происходит от начальной буквы  греческого слова περιφερεια — периферия, окружность, περίμετρος — периметр.  Впервые обозначением этого числа греческой буквой воспользовался британский математик Джонс в 1706 году, а общепринятым оно стало после работ Леонарда Эйлера в 1737 году. История числа π шла параллельно с развитием всей математики. Некоторые авторы разделяют весь процесс на 3 периода: древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии, классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке, и эра цифровых компьютеров.

 

• Геометрический период

 

То, что отношение длины  окружности к диаметру одинаково  для любой окружности, и то, что  это отношение немногим более 3, было известно ещё древнеегипетским, вавилонским, древнеиндийским и древнегреческим геометрам. Самое раннее из известных приближений датируется 1900 годом до н. э.; это ²⁵/₈ (Вавилон) и ²⁵⁶/₈₁ (Египет), оба значения отличаются от истинного не более, чем на 1 %. Ведический текст «Шатапатха-брахмана» даёт π как ³³⁹/₁₀₈ ≈ 3,139. По-видимому, в Танахе, в третьей книге Царств, предполагается, что π = 3, что является гораздо более худшей оценкой, чем имевшиеся на момент написания (600 год до н. э.).

 

Алгоритм  Лю Хуэя вычисления π

 

 

Архимед, возможно, первым предложил математический способ вычисления π. Для этого он вписывал в окружность и описывал около неё правильные многоугольники. Принимая диаметр окружности за единицу, Архимед рассматривал периметр вписанного многоугольника как нижнюю оценку длины окружности, а периметр описанного многоугольника как верхнюю оценку. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед получил оценку    

В Индии Ариабхата и Бхаскара использовали приближение 3,1416. Брахмагупта предложил в качестве приближения . Около 265 года н. э. математик Лю Хуэй из царства Вэй предоставил простой и точный итеративный алгоритм (англ.) с любой степенью точности. Он самостоятельно провёл вычисление для 3072-угольника и получил приближённое значение для π по следующему принципу:

Позднее Лю Хуэй придумал быстрый  метод вычисления π и получил  приближённое значение 3,1416 только лишь с 96-угольником, используя преимущества того факта, что разница в площади  следующих друг за другом многоугольников  формирует геометрическую прогрессию со знаменателем 4. В 480-х годах китайский математик Цзу Чунчжи (англ.) продемонстрировал, что π ≈ ³⁵⁵/₁₁₃, и показал, что 3,1415926 < π < 3,1415927, используя алгоритм Лю Хуэя применительно к 12288-угольнику. Это значение оставалось самым точным приближением числа π в течение последующих 900 лет.

 

 

• Классический период

 

До II тысячелетия было известно не более 10 цифр π. Дальнейшие крупные  достижения в изучении π связаны  с развитием математического анализа, в особенности с открытием рядов, позволяющих вычислить π с любой точностью, суммируя подходящее количество членов ряда. В 1400-х годах Мадхава из Сангамаграма (англ.) нашёл первый из таких рядов:

Этот результат известен как ряд Мадхавы — Лейбница, или ряд Грегори — Лейбница (после того как он был заново обнаружен Джеймсом Грегори и Готфридом Лейбницем в XVII веке). Однако этот ряд сходится к π очень медленно, что приводит к сложности вычисления многих цифр числа на практике — необходимо сложить около 4000 членов ряда, чтобы улучшить оценку Архимеда. Однако преобразованием этого ряда в

Мадхава смог вычислить π как 3,14159265359, верно определив 11 цифр в записи числа. Этот рекорд был побит в 1424 году персидским математиком Джамшидом ал-Каши, который в своём труде под названием «Трактат об окружности» привёл 17 цифр числа π, из которых 16 верные.

Первым крупным европейским  вкладом со времён Архимеда был вклад  голландского математика Людольфа ван Цейлена, затратившего десять лет на вычисление числа π с 20-ю десятичными цифрами (этот результат был опубликован в 1596 году). Применив метод Архимеда, он довёл удвоение до n-угольника, где n = 60·2²⁹. Изложив свои результаты в сочинении «Об окружности» («Van den Circkel»), Лудольф закончил его словами: «У кого есть охота, пусть идёт дальше». После смерти в его рукописях были обнаружены ещё 15 точных цифр числа π. Лудольф завещал, чтобы найденные им знаки были высечены на его надгробном камне. В честь него число π иногда называли «лудольфовым числом», или «константой Лудольфа». Примерно в это же время в Европе начали развиваться методы анализа и определения бесконечных рядов. Первым таким представлением была формула Виета (англ.)

найденная Франсуа Виетом в 1593 году. Другим известным результатом стала формула Валлиса:

выведенная Джоном Валлисом в 1655 году.                                                           

В Новое время для вычисления π используются аналитические методы, основанные на тождествах. Перечисленные  выше формулы малопригодны для вычислительных целей, поскольку либо используют медленно сходящиеся ряды, либо требуют сложной  операции извлечения квадратного корня.

Первую эффективную формулу  нашёл в 1706 году Джон Мэчин (англ.)

Разложив арктангенс в ряд Тейлора

,

можно получить быстро сходящийся ряд, пригодный для вычисления числа  π с большой точностью. Эйлер, автор обозначения π, получил 153 верных знака.

Формулы такого типа, в настоящее  время известные как формулы Мэчина (англ.), использовались для установки нескольких последовательных рекордов и остались наилучшими из известных методов для быстрого вычисления π в эпоху компьютеров. Выдающийся рекорд был поставлен феноменальным счетчиком Иоганном Дазе (англ.), который в 1844 году по распоряжению Гаусса применил формулу Мэчина для вычисления 200 цифр π в уме. Наилучший результат к концу XIX века был получен англичанином Вильямом Шенксом (англ.), у которого ушло 15 лет для того, чтобы вычислить 707 цифр, хотя из-за ошибки только первые 527 были верными. Чтобы избежать подобных ошибок, современные вычисления подобного рода проводятся дважды. Если результаты совпадают, то они с высокой вероятностью верные. Ошибку Шенкса обнаружил один из первых компьютеров в 1948 году; он же за несколько часов подсчитал 808 знаков π.

Теоретические достижения в XVIII веке привели к постижению природы  числа π, чего нельзя было достичь  лишь только с помощью одного численного вычисления. Иоганн Генрих Ламберт доказал иррациональность π в 1761 году, а Адриен Мари Лежандр в 1774 году доказал иррациональность π². В 1735 году была установлена связь между простыми числами и π, когда Леонард Эйлер решил знаменитую Базельскую проблему (англ.) — проблему нахождения точного значения

,

которое составляет . И Лежандр, и Эйлер предполагали, что π может быть трансцендентным, что было в конечном итоге доказано в 1882 году Фердинандом фон Линдеманом. Считается, что книга Уильяма Джонса «Новое введение в математику» c 1706 года первая ввела в использование греческую букву π для обозначения этой константы, но эта запись стала особенно популярной после того, как Леонард Эйлер принял её в 1737 году. Он писал: Существует множество других способов отыскания длин или площадей соответствующей кривой или плоской фигуры, что может существенно облегчить практику; например, в круге диаметр относится к длине окружности как 1 к

 

• Эра компьютерных вычислений

 

Эпоха цифровой техники в XX веке привела к увеличению скорости появления вычислительных рекордов. Джон фон Нейман и другие использовали в 1949 году ЭНИАК для вычисления 2037 цифр π, которое заняло 70 часов. Ещё одна тысяча цифр была получена в последующие десятилетия, а отметка в миллион была пройдена в 1973 году. Такой прогресс имел место не только благодаря более быстрому аппаратному обеспечению, но и благодаря алгоритмам. Одним из самых значительных результатов было открытие в 1960 году быстрого преобразования Фурье, что позволило быстро осуществлять арифметические операции над очень большими числами.

В начале XX века индийский  математик Сриниваса Рамануджан обнаружил множество новых формул для π, некоторые из которых стали знаменитыми из-за своей элегантности и математической глубины. Одна из этих формул — это ряд

,

и похожая на неё, найденная братьями Чудновскими (англ.) в 1987 году,

,

который вычисляет по 14 цифр за ход. Чудновские использовали эту формулу для того, чтобы установить несколько рекордов в вычислении π в конце 1980-х, включая то, в результате которого в 1989 году было получено 1 011 196 691 цифр десятичного разложения. Эта формула используется в программах, вычисляющих π на персональных компьютерах, в отличие от суперкомпьютеров, которые устанавливают современные рекорды.

В то время как последовательность обычно повышает точность на фиксированную  величину с каждым следующим членом, существуют итеративные алгоритмы, которые на каждом шагу умножают количество правильных цифр, требуя, правда, высоких вычислительных затрат на каждом из таких шагов. Прорыв в этом отношении был сделан в 1975 году, когда Ричард Брент (англ.) и Юджин Саламин (англ.) независимо друг от друга открыли алгоритм Брента — Саламина (англ.), который, используя лишь арифметику, на каждом шагу удваивает количество известных знаков.^[3] Алгоритм состоит из установки начальных значений

и итераций:

пока a_n и b_n не станут достаточно близки. Тогда оценка π даётся формулой

При использовании этой схемы 25 итераций достаточно для получения 45 миллионов десятичных знаков. Похожий  алгоритм, увеличивающий на каждом шаге точность в четыре раза, был  найден Джонатаном Боруэйном (англ.) Питером Боруэйном (англ.).^[4] При помощи этих методов Ясумаса Канада и его группа, начиная с 1980 года, установили большинство рекордов вычисления π вплоть до 206 158 430 000 знаков в 1999 году. В 2002 году Канада и его группа установили новый рекорд — 1 241 100 000 000 десятичных знаков. Хотя большинство предыдущих рекордов Канады были установлены при помощи алгоритма Брента — Саламина, вычисление 2002 года использовало две формулы типа мэчиновских, которые работали медленнее, но радикально снижали использование памяти. Вычисление было выполнено на суперкомпьютере Hitachi из 64 узлов с 1 терабайтом оперативной памяти, способном выполнять 2 триллиона операций в секунду. Важным развитием недавнего времени стала формула Бэйли—Боруэйна—Плаффа (англ.), открытая Саймоном Плаффом (англ.) и названная по авторам статьи, в которой она впервые была опубликована.^[5] Эта формула,

 

 

примечательна тем, что она  позволяет извлечь любую конкретную шестнадцатеричную или двоичную цифру числа π без вычисления предыдущих.^[5] С 1998 до 2000 года распределённый проект PiHex использовал видоизменённую формулу ББП Фабриса Беллара для вычисления квадриллионного бита числа π, который оказался нулём.^[6]

В 2006 году Саймон Плафф, используя PSLQ, нашёл ряд красивых формул.^[7] Пусть q = e^π, тогда

и другие вида

где q = e^π, k — нечётное число, и a, b, c — рациональные числа. Если k — вида 4m + 3, то эта формула имеет особенно простой вид:

для рационального p у которого знаменатель — число, хорошо разложимое на множители, хотя строгое доказательство ещё не предоставлено.

В 2009 году учёные из японского  университета Цукубо рассчитали последовательность из 2 576 980 377 524 десятичных разрядов.

В 2010 году французский программист  Фабрис Беллар на персональном компьютере рассчитал последовательность из 2 699 999 990 000 десятичных разрядов.

     2.Свойства Числа Пи

 

Число пи — математическая константа, равная отношению длины ккружности к ее диаметру. Число пи является иррациональным и трансцендентным, цифровое представление которого является бесконечной непериодической десятичной дробью — 3,141592653589793238462643... и так до бесконечности.

100 знаков после запятой: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679.

1452717 знаков после запятой

 

• Трансцендентность и иррациональность

 

π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1767 году путём разложения числа в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π².

π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году.^[2]

Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.